Risikoprämie

Begriff und Bedeutung

Die Risikoprämie (RP) ist allgemein die Entschädigung für ein Finanzrisiko, das ein Risikoträger übernimmt. Je nach Vorzeichen wird sie auch Risikoabschlag oder Risikozuschlag genannt. In der Kostenrechnung entspricht sie dem im Gewinn enthaltenen Äquivalent für das allgemeine Unternehmerwagnis. Bei Kapitalanlagen setzt sich die erwartete Gleichgewichtsrendite einer Aktie aus dem risikolosen Basiszinssatz und der Risikoprämie zusammen. In der Außenwirtschaft ist die Risikoprämie die Differenz zwischen der erwarteten Rendite einer Anlage in Fremdwährung und der Rendite einer vergleichbaren Anlage in Inlandswährung.

In der Finanzmathematik und Entscheidungstheorie ist die Risikoprämie die Differenz zwischen dem Erwartungswert E(w) eines unsicheren Vermögens und seinem individuellen Sicherheitsäquivalent CE. Das Sicherheitsäquivalent ist die sichere Auszahlung, die für eine Person subjektiv denselben Nutzen besitzt wie das unsichere Vermögen:

RP = E(w) − CE.

Das Vorzeichen zeigt die Risikoeinstellung:

• E(w) > CE: RP > 0. Die Person zahlt eine Prämie dafür, dass jemand anderes das Risiko übernimmt. Sie ist risikoscheu oder risikoavers.
• E(w) = CE: RP = 0. Die Person ist risikoneutral und gewichtet mögliche Verluste und Gewinne gleich.
• E(w) < CE: RP < 0. Die Person ist risikofreudig, risikoaffin oder risikoliebend und zahlt dafür, ein zusätzliches Risiko mit Gewinnchance übernehmen zu dürfen.

Risikoaverse Personen gewichten mögliche Vermögensverluste stärker als mögliche Gewinne; bei risikoaffinen Personen ist es umgekehrt.

Formale Berechnung und Nutzenfunktion

Ausgangspunkt ist eine reelle, messbare und umkehrbare Nutzenfunktion u(w) mit der inversen Funktion w(u). Das unsichere Vermögen lautet x = x̄ + X. Dabei ist x̄ das sichere Ausgangsvermögen und X eine Zufallsvariable mit E(X) = 0. Deshalb gilt:

E(x) = E(x̄ + X) = x̄.

Die Risikoprämie RP(x̄, X) ist eindeutig durch folgende Gleichung bestimmt:

u(x̄ − RP) = E(u(x)) = E(u(x̄ + X)).

Ist u umkehrbar, kann sie berechnet werden als:

RP(x̄, X) = E(x) − w(E(u(x))).

Bei einer konkaven Nutzenfunktion ist der Entscheider risikoavers. Die positive Risikoprämie ist dann der Abschlag, den er bei gleichem durchschnittlichem Ertrag akzeptiert, um das Risiko X zu vermeiden. Bei einer konvexen Nutzenfunktion ist er risikoaffin; die negative Risikoprämie −RP bezeichnet den Zuschlag, den er für die Übernahme des zusätzlichen Risikos zu zahlen bereit ist.

Für kleine Werte der Varianz Var(X) und des Erwartungswerts E(X³) kann der Risikoabschlag nach John W. Pratt (1964) näherungsweise angegeben werden durch:

RP(x̄, X) ≈ ARA(x̄) / 2 · Var(X).

ARA bezeichnet das Arrow-Pratt-Maß der absoluten Risikoaversion. Die Risikoprämie hängt damit nicht nur vom Erwartungswert und der Streuung des Vermögens, sondern auch von der Krümmung und dem Anstieg der individuellen Nutzenfunktion ab.

Typische Beispiele und Einflussgrößen

Bei einem Münzwurf erhält man entweder 1,00 € oder nichts. Der Erwartungswert beträgt 0,50 €, ebenso der faire Lospreis. Ein risikoaverser Spieler akzeptiert stattdessen einen sicheren Betrag unter 0,50 €; seine Risikoprämie ist positiv. Ein risikoneutraler Spieler akzeptiert genau 0,50 €, sodass die Risikoprämie null ist. Ein risikoaffiner Spieler verkauft das Los nur für mehr als 0,50 €; seine Risikoprämie ist negativ.

Bei einer Tombola mit 1 % Wahrscheinlichkeit auf 2500 € und 99 % Wahrscheinlichkeit auf 25 € beträgt der Erwartungswert 49,75 €. Für den risikoaversen Spieler mit u(w) = √w ergibt sich ein Sicherheitsäquivalent von etwa 29,70 € und RP = 20,05 €. Für den risikoaffinen Spieler mit u(w) = w² beträgt das Sicherheitsäquivalent etwa 251,23 € und RP = −201,48 €.

Die Risikoprämie hängt außerdem vom Ausgangsvermögen ab. Bei einem Los mit 50 % Gewinnchance auf 7 € beträgt der Erwartungswert des Gewinns 3,50 €. Hat der Spieler kein Ausgangsvermögen, ergibt sich bei u(w) = √w ein Sicherheitsäquivalent von etwa 1,75 € und eine Risikoprämie von 1,75 €. Bei einem sicheren Ausgangsvermögen von 9 € steigt das unsichere Gesamtvermögen im Erwartungswert auf 12,50 €, während das Sicherheitsäquivalent 12,25 € und die Risikoprämie nur noch 0,25 € beträgt. Höheres Ausgangsvermögen verringert in diesem Beispiel den Risikoabschlag.

Auch die Gewinnspanne ist entscheidend. Bei einer Show kann man zwischen 0 € und 1600 € wählen oder sicher 800 € erhalten. Der Erwartungswert des Spiels beträgt ebenfalls 800 €. Für u(w) = √w beträgt das Sicherheitsäquivalent jedoch 400 € und die Risikoprämie 400 €. Wird der mögliche Gewinn auf 3200 € verdoppelt, steigen Erwartungswert und Sicherheitsäquivalent auf 1600 € beziehungsweise etwa 800 €; die Risikoprämie beträgt 800 €. Erst bei Gewinnen über 3200 € würde sich die Entscheidung eindeutig zugunsten des Spiels wenden.

Einfluss des Verlaufs der Nutzenfunktion

Zwei Personen mit gleicher Ausgangslage und gleicher Risikoeinstellung können unterschiedliche Risikoprämien verlangen, wenn ihre Nutzenfunktionen unterschiedlich verlaufen. Bei einem Vermögen von 100.000 € besteht eine Wahrscheinlichkeit von 10 %, dass wegen nicht übernommener Krankheitskosten 90 % des Vermögens verloren gehen. Das unsichere Vermögen beträgt dann mit 10 % Wahrscheinlichkeit 10.000 € und mit 90 % Wahrscheinlichkeit 100.000 €; sein Erwartungswert ist 91.000 €.

Für die risikoaverse Nutzenfunktion f₁ = √(w/10) ergibt sich ein Sicherheitsäquivalent von etwa 86.788 € und eine Risikoprämie von 4.212 €. Für die ebenfalls risikoaverse Funktion f₂ = (200.000 w − w²) / 10⁸ beträgt das Sicherheitsäquivalent etwa 71.540 € und die Risikoprämie 19.460 €. Je nach Verlauf der Funktion wäre der Versicherte somit bereit, insgesamt bis zu 13.212 € beziehungsweise bis zu 28.460 € für die Vermeidung des Risikos zu zahlen.

Auch bei Risikoaffinität führt der Funktionsverlauf zu unterschiedlichen Ergebnissen. Ein Spieler mit 10.000 € Vermögen kann mit 10 % Wahrscheinlichkeit sein Vermögen auf 100.000 € verzehnfachen; der Erwartungswert beträgt 19.000 €. Für f₃ = w² / 10⁸ ergibt sich ein Sicherheitsäquivalent von etwa 33.015 € und RP ≈ −14.015 €. Für f₄ = 100 − √(10⁴ − w/10) beträgt das Sicherheitsäquivalent etwa 27.085 € und RP ≈ −8.085 €. Der Spieler wäre damit je nach Nutzenfunktion bereit, bis zu 33.015 € beziehungsweise 27.085 € für die Gewinnchance zu zahlen.

Versicherungswesen und wirtschaftliche Einordnung

Im Versicherungswesen ist die Risikoprämie der wichtigste kalkulatorische Bestandteil der Versicherungsprämie. Sie ist der eingepreiste Ausgleich für den Risikotransfer, der durch einen einzelnen oder mehrere kollektive Versicherungsverträge entsteht. Die Nettoprämie bildet aus Sicht der Risikopolitik die Preisuntergrenze. Hinzu kommt ein Risikozuschlag für Zufallsschwankungen der Versicherungsleistungen (Schwankungszuschlag) und für das Kalkulationsrisiko:

Nettoprämie + Risikozuschlag = Risikoprämie.

Zusätzlich zur Risikoprämie berücksichtigt die Prämienkalkulation die Betriebskosten des Versicherungsunternehmens.

Wirtschaftlich wird die Risikoprämie der Risikoeinstellung des Entscheidungsträgers zugeordnet: R = 0 bedeutet risikoneutral, R > 0 risikoscheu und R < 0 risikofreudig. Im Bank- und Versicherungswesen ist diese Einstellung besonders wichtig. Kreditinstitute müssen gemäß § 64 Abs. 4 WpHG vor einer Wertpapierorder in einer Geeignetheitserklärung bestätigen, dass das Finanzrisiko mit der Risikoeinstellung des Anlegers vereinbar ist; dabei sind Anlageklasse und Risikoklasse zu berücksichtigen.

Auf dem Versicherungsmarkt hängt die Zahlungsbereitschaft vom Erwartungswert E_w des Schadens ab. Ein risikofreudiger Kunde zahlt nur V < E_w, ein risikoaverser ist auch zu V > E_w bereit, und ein risikoneutrales Wirtschaftssubjekt zahlt V = E_w. Der Erwartungswert des Schadens ergibt sich aus E_w · Eintrittswahrscheinlichkeit und ist ein Entscheidungsparameter des Versicherungsnehmers.