Risiko-Ertrags-Verhältnis

Kernidee und Bedeutung

Das Risiko-Ertrags-Verhältnis beschreibt in der Portfoliotheorie den Zielkonflikt eines Kapitalanlegers: Er möchte einen möglichst hohen Ertrag erzielen, muss dafür aber meist ein höheres Risiko eingehen. Risiko und erwarteter Ertrag sind in der Regel positiv miteinander verbunden: Wenn der erwartete Ertrag steigt, steigt normalerweise auch das Risiko.

Das Thema ist wichtig, weil Anleger vor einer Investition entscheiden müssen, welche Mischung aus Sicherheit und möglicher Rendite zu ihren Zielen passt. Kapitalmarktteilnehmer, besonders Vermögensverwalter, analysieren diesen Zielkonflikt, bevor sie Anlageentscheidungen treffen. Wichtige Kennzahlen des Risiko-Ertrag-Verhältnisses sind RORAC und RAROC.

Historisch wurde das Verhältnis zwischen Risiko und Ertrag in den 1950er-Jahren besonders durch Harry M. Markowitz und sein Portfolio-Selection-Modell geprägt. Darauf bauten unter anderem William F. Sharpe mit dem Capital Asset Pricing Model und Stephen Ross mit der Arbitragepreistheorie auf.

Ziel und Arten von Anlagen

Ausgangspunkt ist ein Investor, der Kapital in ein Portfolio anlegen möchte, zum Beispiel in Aktien und/oder Anleihen. Er erwartet einen Anlageertrag, der über der Inflationsrate liegt. Dabei wird angenommen, dass der Anleger heutigen Konsum in die Zukunft verlagert, um später mit dem Anlageertrag mehr Güter kaufen zu können.

Eine Anlage ist eine Investition, die einen Geldstrom oder einen Leistungsstrom verspricht. Ein Leistungsstrom kann zum Beispiel die Wohnungsleistung für den Eigentümer eines Hauses sein; durch Vermietung kann daraus ein Geldstrom werden. Bei Geldströmen unterscheidet man explizite Zahlungen, etwa Dividenden, und implizite Zahlungen, etwa Kursänderungen. Kursänderungen führen zu Kapitalgewinnen oder Kapitalverlusten, die erst beim Verkauf realisiert werden.

Es gibt riskante und risikolose, auch risikofreie, Anlagen. Bei riskanten Anlagen sind Geld- oder Leistungsströme unsicher, etwa bei Aktien, bei denen unklar ist, ob und in welcher Höhe eine Gewinnausschüttung erfolgt. Bei risikolosen Anlagen sind die Zahlungen sicher; als Beispiel nennt der Artikel kurzfristige Schatzwechsel, bei denen Kupons und eingesetzter Betrag als sicher gelten.

Magisches Dreieck

Jede Vermögensanlage wird durch drei Merkmale bestimmt: Sicherheit, Liquidität und Rentabilität. Diese Merkmale beeinflussen sich gegenseitig und können nicht unabhängig voneinander betrachtet werden.

Sicherheit bedeutet, wie gut das eingesetzte Kapital erhalten bleibt. Sie hängt unter anderem von Bonität, Kursrisiken und Währungsrisiken ab. Durch Risikodiversifizierung kann Sicherheit erhöht werden: Das Kapital wird auf verschiedene Wertpapierarten, Länder oder Branchen verteilt, um das Risiko zu verringern.

Liquidität beschreibt, wie schnell das eingesetzte Kapital wieder in Bargeld oder Bankguthaben umgewandelt werden kann. Je weniger Zeit dafür nötig ist, desto liquider ist die Anlage.

Rentabilität wird aus dem Ertrag einer Anlage abgeleitet. Erträge können Dividenden, Zinsen, Kurssteigerungen oder andere Ausschüttungen sein. Zum Vergleich verschiedener Anlagen verwendet man die Rendite; sie ist das Verhältnis zwischen Ertrag und eingesetztem Kapital.

Das magische Dreieck zeigt zwei zentrale Konflikte: Erstens steht Sicherheit im Konflikt mit Rentabilität. Mehr Sicherheit bedeutet meist geringere Rendite, höhere Rentabilität verlangt meist mehr Risiko. Zweitens steht Liquidität im Konflikt mit Rentabilität, weil sehr liquide Anlagen oft Renditenachteile haben. Einen Idealfall mit hoher Sicherheit, hoher Liquidität und hoher Rentabilität gibt es wegen dieser Konkurrenz nicht.

Risiko, Rendite und Volatilität

Die erwartete Rendite ist der Ertrag, den ein Anleger vor der Investition erwartet. In vereinfachten Modellen wird sie oft mit dem Durchschnitt vergangener Renditen gleichgesetzt, also mit dem empirischen Erwartungswert. Die tatsächliche Rendite ist dagegen der später realisierte Ertrag und ist zum Zeitpunkt der Investition unbekannt.

Das Risiko einer Investition besteht darin, dass die erwartete Rendite nicht erreicht wird und Abweichungen vom Erwartungswert entstehen. Besonders die negative Abweichung ist für den Investor das eigentliche Risiko. Zur Einschätzung werden Daten aus der Vergangenheit verwendet: Frühere Renditeausprägungen werden mit ihren relativen Häufigkeiten gewichtet, um Erwartungswert und Standardabweichung zu bestimmen.

Die Standardabweichung misst, wie stark Renditen um den Erwartungswert schwanken. In der Finanzwirtschaft heißt sie Volatilität. Je höher die Volatilität, desto größer ist das Risiko, dass der tatsächliche Ertrag vom erwarteten Ertrag abweicht. Hat eine Investition eine Volatilität von null, gilt sie als risikolos.

Im Beispiel möchte ein Anleger 10.000 € investieren. Kurzfristige Schatzwechsel bringen als risikolose Anlage 4 % pro Jahr, also 400 €. Aktien haben schwankende Renditen mit den Ausprägungen 40 %, 20 %, 15 %, −15 % und −20 % sowie relativen Häufigkeiten von 6 %, 25 %, 38 %, 25 % und 6 %. Daraus ergibt sich eine erwartete Rendite der Aktien von 8,15 %. Der Anleger muss also zwischen sicheren 4 % und einer unsicheren, aber höheren erwarteten Rendite wählen. Bei Aktien kann er maximal 40 %, also 4.000 €, gewinnen, im schlimmsten Fall aber 20 %, also 2.000 €, verlieren.

Formale Darstellung

Für die formale Darstellung wird der erwartete Ertrag einer risikolosen Anlage mit E_f bezeichnet, der erwartete Ertrag einer riskanten Anlage mit E_m und der tatsächlich eintretende Ertrag der riskanten Anlage mit r_m. Es gilt E_m > E_f. Wäre das nicht der Fall, würden risikoaverse Anleger nur risikolose Wertpapiere kaufen, und riskante Wertpapiere wären unverkäuflich; dabei wird ein perfekt funktionierender Markt angenommen.

Der erwartete Ertrag des Gesamtportfolios E_p ergibt sich als gewichteter Durchschnitt: E_p = b · E_m + (1 − b) · E_f. Dabei ist b der Anteil des Kapitals in der riskanten Anlage, während (1 − b) der Anteil in der risikolosen Anlage ist. Wenn zum Beispiel je die Hälfte des Kapitals in Aktien und kurzfristige Schatzwechsel fließt und diese erwartete Erträge von 9 % und 3 % haben, beträgt der erwartete Ertrag der Gesamtinvestition 6 %.

Das Portfoliorisiko wird über die Standardabweichung gemessen. Für die Standardabweichung der riskanten Anlage gilt σ_m, für die Standardabweichung des Portfolios σ_p. Der Zusammenhang lautet: σ_p = b · σ_m. Daraus folgt nach Umformen: E_p = E_f + ((E_m − E_f) / σ_m) · σ_p.

Diese Gleichung ist eine Budgetgerade. Sie zeigt den Zielkonflikt zwischen erwartetem Ertrag E_p und Risiko σ_p. Die Steigung (E_m − E_f) / σ_m beschreibt den Preis des Risikos: Sie gibt an, wie viel zusätzliches Risiko ein Anleger für einen höheren erwarteten Ertrag eingeht. Bei b = 0 wird nur in die risikolose Anlage investiert und nur E_f erzielt. Bei b = 1 wird nur in Aktien investiert, wodurch E_m erwartet wird, aber auch das volle Risiko σ_m getragen wird. Bei Mischungen liegen erwarteter Ertrag und Risiko zwischen diesen beiden Extrempunkten.

Lösung und Risikoeinstellungen

Zur Lösung des Zielkonflikts muss ein Trade-off zwischen Risiko und Ertrag gefunden werden. Gesucht ist die Aufteilung des Kapitals auf Aktien und kurzfristige Schatzwechsel, die dem Investor den größtmöglichen Nutzen bringt. Dafür werden Indifferenzkurven verwendet. Eine Indifferenzkurve zeigt Kombinationen von Risiko und Ertrag, die für den Anleger denselben Nutzen haben.

Da Risiko im Allgemeinen unerwünscht ist, verlaufen Indifferenzkurven steigend: Je höher das Risiko, desto höher muss der erwartete Ertrag sein, damit der Anleger die Kombination akzeptiert. Das optimale Verhältnis zwischen Risiko und Ertrag liegt dort, wo eine erreichbare Indifferenzkurve die Budgetgerade tangiert. In der Darstellung des Artikels ist dies die Indifferenzkurve U_2; U_3 hätte zwar einen höheren Nutzen, ist aber nicht erreichbar, während U_1 erreichbar ist, aber einen geringeren Nutzen bietet. Das Ergebnis ist ein erwarteter Ertrag E* bei einem Risiko σ*.

Unterschiedliche Risikoeinstellungen führen zu unterschiedlichen optimalen Punkten. Ein äußerst risikoaverser Anleger A bevorzugt wenig Risiko und legt sein Kapital hauptsächlich in kurzfristige Schatzwechsel an. Er erwartet E_A, einen etwas höheren Wert als den risikolosen Ertrag E_f. Ein risikofreudiger Anleger B legt dagegen einen größeren Teil in Aktien an, nimmt mehr Risiko in Kauf und erwartet dafür eine höhere Rendite E_B.