Portfoliotheorie

Grundidee und Ziel

Die Portfoliotheorie ist ein Teilgebiet der Kapitalmarkttheorie. Sie untersucht, wie Anlegerinnen und Anleger ihr Vermögen auf verschiedene Anlagen, zum Beispiel Aktien, verteilen sollten. Die moderne Portfoliotheorie geht auf Harry M. Markowitz und eine Arbeit aus dem Jahr 1952 zurück. Markowitz zeigte mathematisch, dass Diversifikation, also die Verteilung auf mehrere Wertpapiere, Risiko und Rendite eines Gesamtportfolios verbessern kann. Dafür erhielt er 1990 den Wirtschaftsnobelpreis. Spätere Ansätze wie das Single-Index-Modell, das Capital Asset Pricing Model und die Arbitragepreistheorie gelten als Weiterentwicklungen seiner Portfolio-Selection-Theorie.

Ziel der Portfoliotheorie ist es, Handlungsanweisungen für die „bestmögliche“ Kombination von Anlagealternativen zu geben. Ein optimales Portfolio soll die Präferenzen des Anlegers bezüglich Risiko, Ertrag und Liquidität berücksichtigen. Dabei soll das Risiko eines Wertpapierportfolios minimiert werden, ohne die zu erwartende Rendite zu verringern. Eine notwendige Voraussetzung ist, dass die Wertpapiere nicht vollständig korreliert sind, ihre Kurse sich also nicht immer genau gleich bewegen.

Die zentrale Einsicht lautet: Die Risiken einzelner Anlagen sind verschieden. Werden mehrere nicht vollständig gleichlaufende Anlagen kombiniert, kann das Gesamtrisiko sinken. Diese Risikostreuung ist die wichtigste Grundlage des praktischen Portfoliomanagements.

Annahmen und Risiken

Die Portfoliotheorie nimmt einen Investor an, der sich ausschließlich an bekannten Finanzdaten orientiert, etwa Börsenkurs, Dividende oder Cash flow, und sein Vermögen mehren will. Er handelt rational und nutzenmaximierend, also als Homo Oeconomicus. Das bedeutet: Er informiert sich über den Kapitalmarkt, wägt Chancen und Risiken ab und entscheidet entsprechend. Außerdem wird angenommen, dass er risikoavers ist. Risikoaversion bedeutet, dass ein höheres Risiko nur akzeptiert wird, wenn der erwartete Ertrag überproportional steigt.

Zur Vereinfachung wird außerdem ein vollkommener Kapitalmarkt angenommen. Über die Frage, welche Informationen aus beobachtbaren Marktdaten gewonnen werden können, gab es eine intensive fachliche Debatte, unter anderem im Anschluss an Eugene Famas Arbeiten zur Informationseffizienz.

Wichtig ist die Unterscheidung zwischen systematischem und unsystematischem Risiko. Systematisches Risiko betrifft alle Wertpapiere am Markt. Es lässt sich nicht durch Diversifikation beseitigen und ist das allgemeine Risiko des Anlegens. Unsystematisches Risiko betrifft einzelne Wertpapiere oder Gruppen von Wertpapieren. Es kann durch Diversifikation verringert werden, wenn die Zahl verschiedener Wertpapiere im Portfolio steigt.

Effizienz von Portfolios

Ein Portfolio dominiert ein anderes Portfolio, wenn es bei gleicher oder höherer erwarteter Rendite μ ein geringeres Risiko hat oder wenn es bei gleichem Risiko eine höhere erwartete Rendite μ bietet. Risiko wird dabei durch die Standardabweichung σ des Portfoliowertes gemessen. Die Standardabweichung beschreibt die Streuung der Kursschwankungen und ist somit ein Maß für das Risiko.

Ein Portfolio heißt effizient, wenn es von keinem anderen Portfolio dominiert wird. Das bedeutet: Es gibt kein anderes Portfolio, das bei gleicher Renditeerwartung ein geringeres Risiko oder bei gleichem Risiko eine höhere Rendite hat. Die Effizienzlinie ist der geometrische Ort aller effizienten Ertrags-Risiko-Kombinationen.

Bei einem risikolosen und einem riskanten Wertpapier lässt sich der Zusammenhang besonders einfach zeigen. Das risikolose Wertpapier hat die Rendite r, das riskante Wertpapier die Rendite μ₂. Ohne Leerverkauf investiert der Anleger einen Anteil x ∈ [0,1] in das riskante Papier und den Anteil 1−x in die risikolose Anleihe. Wenn μ₂ > r gilt, lautet die erwartete Gesamtrendite:

μₓ = (1−x)r + xμ₂ = r + ((μ₂−r)/σ₂) · σₓ, wobei σₓ = σ₂ · x.

Der Rendite-Risiko-Zusammenhang ist in diesem Fall linear. Der Vorfaktor des Portfoliorisikos ist eine normierte Risikoprämie: die Überrendite des riskanten Wertpapiers geteilt durch dessen Risiko. Alle Portfolios auf dieser Strecke sind effizient.

Sind Leerverkäufe erlaubt, ist x nicht mehr auf [0,1] beschränkt. Bei μ₂ > r kann der Leerverkauf der risikolosen Anlage, also x > 1, die erwartete Portfoliorendite erhöhen, gleichzeitig aber auch das Risiko. Das wird als Leverage-Effekt bezeichnet. Der Leerverkauf der riskanten Anlage bedeutet x < 0; in diesem Fall liegt die Gesamtrendite unter der risikolosen Rendite r und die erzeugten Portfolios sind nicht effizient. Gilt dagegen μ₂ < r, ist ohne Leerverkauf nur das vollständig risikolose Portfolio effizient. Mit Leerverkauf kann durch x < 0 die Portfoliorendite beliebig gesteigert werden, allerdings nur bei steigendem Gesamtrisiko.

Mehrere riskante Wertpapiere

Bei zwei riskanten Wertpapieren hängt der Diversifikationseffekt stark von ihrer Korrelation ab. Korrelation beschreibt, wie stark die Renditen zweier Wertpapiere gemeinsam schwanken. Wenn die Wertpapiere unkorreliert sind, also ρ = 0 gilt, tritt immer ein Diversifikationseffekt auf. Das optimale Mischungsverhältnis im global varianzminimalen Portfolio ergibt sich durch inverse Varianzgewichtung:

x₁* = σ₂² / (σ₁² + σ₂²)

x₂* = σ₁² / (σ₁² + σ₂²).

Bei korrelierten Wertpapieren wird das Minimum-Varianz-Portfolio, kurz MVP, mit dem Korrelationskoeffizienten ρ bestimmt:

x₁* = (σ₂² − σ₁ · σ₂ · ρ) / (σ₁² + σ₂² − 2 · σ₁ · σ₂ · ρ)

x₂* = (σ₁² − σ₁ · σ₂ · ρ) / (σ₁² + σ₂² − 2 · σ₁ · σ₂ · ρ).

Ist die Kovarianz σ₁₂ = σ₁ · σ₂ · ρ bekannt, kann für x₁* auch geschrieben werden:

x₁* = (σ₂² − σ₁₂) / (σ₁² + σ₂² − 2σ₁₂).

Bei drei riskanten Wertpapieren unterscheidet der Artikel Fälle, in denen das global varianzminimale Portfolio negative oder positive Anteile enthält. Die Aufteilung kann in einem x₁-x₂-Diagramm dargestellt werden; x₃ ergibt sich aus dem Rest, weil x₁ + x₂ + x₃ = 1 gilt. Für die erwartete Rendite gilt:

μₓ = μ₁x₁ + μ₂x₂ + (1−x₁−x₂)μ₃.

Für n Wertpapiere lässt sich das effiziente Portfolio nur noch rechnerisch bestimmen. Zu minimieren ist:

min₍x₁,…,xₙ₎ Σ[ρᵢⱼ · σᵢ · σⱼ xᵢxⱼ].

Dabei müssen Restriktionen wie Mindestrendite, Budgetbedingung und gegebenenfalls Leerverkaufsbeschränkung berücksichtigt werden.

Optimales Portfolio und Ergebnisse

Ein optimales Portfolio hängt von der Risikopräferenz des Investors ab. In der grafischen Darstellung gilt: Bei optimalen Portfolios ist die Steigung der Indifferenzkurve des Investors gleich der Steigung der Effizienzlinie. Eine Indifferenzkurve zeigt Kombinationen aus Risiko und Rendite, zwischen denen ein Investor gleichgültig ist, weil sie ihm denselben Nutzen bringen.

Die komparative Statik ergibt für den Anteil des riskanten Wertpapiers: Er ist stets größer Null, wächst mit der Überschussrendite, fällt mit steigendem Risiko des riskanten Wertpapiers und fällt mit steigender Risikoaversion des Investors. Anleger, die sich an erwarteter Rendite und erwartetem Risiko orientieren, halten laut Artikel nie ein vollständig risikoloses Portfolio. Begründet wird dies damit, dass sie im μ-σ-Diagramm im Punkt σ = 0 eine waagerechte Tangente der Indifferenzkurve besitzen.

Das wichtigste Resultat der Portfoliotheorie ist die Risikodiversifikation. Für jeden Investor existiert ein optimales Portfolio aus allen Anlagemöglichkeiten, das dessen Risiko-Chancen-Profil bestmöglich abbildet. Dieses optimale Portfolio hängt weder vom ursprünglichen Vermögen des Investors noch von seiner unmittelbaren Risikoeinstellung ab. Entscheidend sind die Risiko-Rendite-Kombinationen der gehandelten Titel. Der Beweis geht auf James Tobin zurück; das Theorem heißt Tobin-Separation.

Eine Mischung effizienter Portfolios muss nicht wieder effizient sein. Ohne Leerverkäufe kann die Effizienzlinie geknickt sein, sodass eine Mischung zweier Portfolios von unterschiedlichen Teilen der Linie nicht mehr auf der Effizienzlinie liegt. Mit Leerverkäufen kann ein Leerverkauf eines effizienten Portfolios ineffiziente Portfolios erzeugen.

Kritik

Die Annahmen und Aussagen der Portfoliotheorie werden in der Wirtschaftswissenschaft kritisch bewertet, auch wenn die Theorie als gesichert gilt. Ein Kritikpunkt ist, dass viele Prognosen nur mit historischen Daten arbeiten. Zugleich nimmt die Theorie an, dass man aus der Vergangenheit keine verlässlichen Schlüsse auf die Zukunft ziehen und diese generell nicht vorhersehen kann. Dennoch beruhen wichtige Größen wie zukünftige Renditen auf Schätzungen. Schätzfehler bei zukünftigen Renditen können große Auswirkungen auf die Erwartungswert-Varianz-Optimierung und die Anlageallokation haben.

Weitere Kritikpunkte sind, dass Anlegerpräferenzen nicht eindeutig operationalisierbar sind und sehr große Datenmengen verarbeitet werden müssen. Bei 100 Wertpapieren wären 100 mathematische Gleichungen zu lösen; bei täglicher Betrachtung über ein Jahr wären rund 25.000 Datensätze zu berücksichtigen. Solche Berechnungen sind in überschaubarer Zeit nur mit Computerprogrammen möglich, und die Ergebnisse sind nicht ohne Weiteres nachprüfbar.

Realistischere dynamische Modelle, die zusätzliche Faktoren berücksichtigen, sind schwer nachvollziehbar. Außerdem werden Auswirkungen, die eine Investition selbst auf den Kurs haben könnte, nicht berücksichtigt. Die Theorie effizienter Märkte beschreibt eine idealisierte Finanzwelt. Als Beispiel nennt der Artikel Warren Buffett, der seine Anlageerfolge in seinem Essay The Superinvestors of Graham-and-Doddsville mit unterbewerteten Unternehmen erklärt, die es in einem effizienten Markt per Definition nicht gibt. Laut William F. Sharpe, der Buffetts Erfolg als „6-sigma event“ bezeichnet, sind langfristige Anlageerfolge wie die von Buffett statistisch möglich, ohne die Theorie effizienter Märkte zu widerlegen.