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Glatte Funktion
Eine glatte Funktion ist eine mathematische Funktion, die beliebig oft differenzierbar ist. Die Bezeichnung „glatt“ ist durch die Anschauung motiviert: Der …
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Grundidee und Schreibweise
Eine glatte Funktion ist eine mathematische Funktion, die beliebig oft differenzierbar ist. Anschaulich bedeutet das: Ihr Graph hat keine „Ecken“, also keine Stellen, an denen die Funktion nicht differenzierbar ist. Glatte Funktionen sind wichtig, weil man mit ihnen in vielen Bereichen der Analysis besonders gut rechnen kann. Sie werden zum Beispiel als Abschneidefunktionen oder als Testfunktionen für Distributionen verwendet. Jede holomorphe Funktion ist ebenfalls glatt.
Für eine nichtleere, offene Teilmenge D ⊂ R bezeichnet C(D), C^0(D) oder C^0(D, R) die Menge der Funktionen f: D → R, die auf ganz D stetig sind. Die Menge der einmal stetig differenzierbaren Funktionen heißt C^1(D). Für jede natürliche Zahl n bezeichnet C^n(D) die Menge der n-mal stetig differenzierbaren Funktionen.
Rekursiv wird C^n(D) durch die Bedingung definiert: f ∈ C^n(D) genau dann, wenn f ∈ C^1(D) gilt und f' ∈ C^(n−1)(D) ist. Dabei gilt immer die Kette C^n(D) ⊂ C^(n−1)(D) ⊂ … ⊂ C^1(D) ⊂ C^0(D). Je größer also n ist, desto stärker ist die Voraussetzung an die Funktion.
Definition der Glattheit
Eine Funktion f: D → R heißt unendlich oft stetig differenzierbar oder glatt, wenn f ∈ C^n(D) für alle n ∈ N gilt. Das bedeutet: Man kann die Funktion beliebig oft ableiten, und alle diese Ableitungen sind stetig.
Die Menge aller glatten Funktionen auf D wird mit C^∞(D) bezeichnet. Sie ist definiert durch C^∞(D) := ⋂_(n∈N) C^n(D). Das heißt: C^∞(D) ist der Durchschnitt aller Klassen C^n(D). Eine Funktion liegt genau dann in C^∞(D), wenn sie in jeder Klasse C^n(D) liegt.
Diese Beschreibung ist besonders für topologische Betrachtungen nützlich, weil sie den Raum der glatten Funktionen als Schnitt vieler Funktionsräume beschreibt.
Verallgemeinerungen und Eigenschaften
Der Begriff der glatten Funktion lässt sich auf Funktionen mehrerer Variablen übertragen. Eine Funktion f: R^m ⊃ D → R^n heißt unendlich oft differenzierbar beziehungsweise glatt, wenn alle partiellen Ableitungen unendlich oft differenzierbar sind. Partielle Ableitungen sind Ableitungen nach einzelnen Variablen. Außerdem werden glatte Funktionen auch zwischen glatten Mannigfaltigkeiten definiert und untersucht.
Eine wichtige Eigenschaft ist: Alle differenzierbaren Ableitungen sind stetig, weil Differenzierbarkeit Stetigkeit impliziert. In mathematischen Texten findet man häufig den Ausdruck „hinreichend glatt“. Damit ist gemeint, dass eine Funktion für ein ausreichend großes n in C^n(D) liegt, also genau oft genug differenzierbar ist, um den jeweiligen Gedankengang durchführen zu können. So vermeidet man die stärkere Forderung, dass die Funktion gleich unendlich oft differenzierbar sein muss.
Mit C^ω(D) bezeichnet man die Menge aller analytischen Funktionen. Das sind unendlich oft differenzierbare Funktionen, deren Taylor-Entwicklung um jeden beliebigen Punkt in einer Umgebung gegen die gegebene Funktion konvergiert. Im reellwertigen Fall sind die Inklusionen C^0(D) ⊃ … ⊃ C^n(D) ⊃ C^(n+1)(D) ⊃ … ⊃ C^∞(D) ⊃ C^ω(D) alle echt. Das bedeutet: Jede dieser Mengen enthält im Allgemeinen wirklich mehr Funktionen als die folgende.
Bei komplexwertigen und komplex differenzierbaren, genauer holomorphen Funktionen ist die Situation anders: Jede auf einer offenen Menge komplex differenzierbare Funktion ist unendlich oft differenzierbar und sogar analytisch. Daher bezieht sich die Schreibweise C^n(D) meist auf Funktionen über den reellen Zahlen, reelle Vektorräume, reelle Mannigfaltigkeiten oder ähnliche Zusammenhänge. Jeder Raum C^n(D), auch C^∞(D) und C^ω(D), ist ein unendlichdimensionaler Vektorraum.
Typische Beispiele
Alle Polynomfunktionen sind unendlich oft differenzierbar und sogar analytisch.
Für n ∈ N_0 wird eine Funktion f: R → R betrachtet, die durch f(x) = x^(n+1) für x ≥ 0 und f(x) = −x^(n+1) für x < 0 definiert ist. Diese Funktion erfüllt f ∈ C^n(R), ist also n-mal stetig differenzierbar. Ihre n-te Ableitung ist f^(n)(x) = (n+1)! |x|. Diese Ableitung ist an der Stelle x = 0 nicht stetig differenzierbar. Deshalb gilt f ∉ C^(n+1)(R). Das Beispiel zeigt, dass eine Funktion genau bis zu einer bestimmten Ordnung stetig differenzierbar sein kann, aber nicht darüber hinaus.
Die Funktion g: R → R mit g(x) = e^(−1/x^2) für x ≠ 0 und g(0) = 0 ist unendlich oft differenzierbar, aber nicht analytisch. Der Grund ist, dass die Taylorreihe um den Nullpunkt in keiner Umgebung um 0 mit der Funktion übereinstimmt, weil alle Ableitungen bei 0 den Wert 0 haben.
Auch die Funktion h: R → R mit h(x) = e^(−1/x^2) für x > 0 und h(x) = 0 für x ≤ 0 ist unendlich oft differenzierbar. Aus diesem Beispiel folgt: Aus lokaler Kenntnis einer unendlich oft differenzierbaren Funktion kann man keine globalen Aussagen herleiten. Hier gilt zwar g(x) = h(x) für alle positiven x, aber trotzdem g ≠ h.
Der Schwartz-Raum enthält nur glatte Funktionen und ist eine echte Teilmenge der unendlich oft differenzierbaren Funktionen.
Konstruktionen mit glatten Funktionen
Die Funktionen g und h sind wichtige Hilfsmittel zur Konstruktion glatter Funktionen mit besonderen Eigenschaften. Mit ihnen kann man zum Beispiel eine glatte Zerlegung der Eins, hier auf R, konstruieren.
Die Funktion j: R → R mit j(x) = h(1+x) · h(1−x) ist unendlich oft differenzierbar und hat den kompakten Träger [−1, 1]. Ein kompakter Träger bedeutet hier: Außerhalb dieses Bereichs ist die Funktion gleich 0.
Die Funktion k: R → R mit k(x) = h(1+x) / (h(1+x) + h(1−x)) ist ebenfalls unendlich oft differenzierbar. Für sie gilt: k(x) = 0 für x ≤ −1, 0 < k(x) < 1 für −1 < x < 1 und k(x) = 1 für x ≥ 1. Solche Funktionen sind nützlich, wenn man Übergänge glatt gestalten will, etwa von 0 auf 1, ohne Sprünge oder Ecken zu erzeugen.
Topologie des Funktionenraums
Für eine offene Teilmenge D ⊂ R^n kann man auf dem Raum der glatten Funktionen f: D → R eine Topologie einführen, besonders in der Distributionentheorie. Eine Topologie beschreibt, vereinfacht gesagt, welche Funktionen als „nahe beieinander“ gelten.
Dazu verwendet man eine Familie von Halbnormen. Eine Halbnorm ist ähnlich wie eine Norm, muss aber nicht jede von 0 verschiedene Funktion auf einen positiven Wert abbilden. Die Halbnormen haben die Form f ∈ C^∞(D) ↦ ∑|α|=m sup(x∈K) |(∂^α/∂x^α) f(x)|, wobei m ∈ N gilt und K ⊂ D alle kompakten Teilmengen durchläuft.
Mit dieser Struktur wird der Raum der glatten Funktionen zu einem lokal-konvexen Raum. Er ist vollständig und damit ein Fréchet-Raum. Da außerdem jede abgeschlossene und beschränkte Menge kompakt ist, ist er sogar ein Montel-Raum. Der Raum C^∞(D) zusammen mit dieser lokal-konvexen Topologie wird meist mit E(D), genauer mit dem Zeichen 𝓔(D), bezeichnet.