Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

Umfang und zentrale Bedeutung

Leonhard Eulers wissenschaftliches Werk gilt als das umfangreichste, das ein Mathematiker geschaffen hat. Es umfasst grundlegende Beiträge zur Infinitesimalrechnung, Analysis, Mechanik, Astronomie, Geodäsie, Zahlentheorie, Algebra, Trigonometrie, Geometrie, Musiktheorie und Optik. Zu den bekanntesten Ergebnissen gehören die Lösung des Basler Problems, der Eulersche Polyedersatz und die Eulersche Identität e^(iπ) + 1 = 0.

Euler veröffentlichte insgesamt 866 Publikationen. Seine gesammelten Werke umfassen bisher 76 Bände. Nach ihm sind die Eulersche Zahl e ≈ 2,71828 und die Euler-Mascheroni-Konstante γ ≈ 0,57721 benannt. Die Irrationalität von e ist bekannt und wurde zuerst von Euler gezeigt; bei γ ist bis heute nicht bekannt, ob sie rational oder irrational ist. Seine vielseitige Arbeitsweise verband konkrete Beispiele, algebraische Rechnungen und allgemeine Methoden. Manche Beweise genügen allerdings nach heutigen Maßstäben nicht vollständig den Anforderungen mathematischer Strenge.

Notation, Analysis und Variationsrechnung

Euler prägte zahlreiche bis heute gebräuchliche mathematische Schreibweisen. Er führte die Funktionsnotation f(x) ein und formulierte 1748 einen frühen, formalen Funktionsbegriff für Größen, die voneinander abhängen. Von ihm stammen außerdem die verbreiteten Bezeichnungen der trigonometrischen Funktionen, e als Basis des natürlichen Logarithmus, Σ für Summen, i für die imaginäre Einheit und Δ für Differenzen. Euler popularisierte auch π als Bezeichnung der Kreiszahl.

In der Analysis verwendete Euler Potenzreihen als „unendliche Polynome“. Für die Exponentialfunktion gilt e^x = Σ(n=0 bis ∞) x^n/n!, insbesondere e = Σ(n=0 bis ∞) 1/n!. Für Sinus und Kosinus gab er die Reihen sin(x) = Σ(n=0 bis ∞)(−1)^n x^(2n+1)/(2n+1)! und cos(x) = Σ(n=0 bis ∞)(−1)^n x^(2n)/(2n)! an. Daraus leitete er die Eulersche Formel e^(iφ) = cos(φ) + i sin(φ) für reelle Winkel φ im Bogenmaß sowie die Eulersche Identität ab. In der Integralrechnung entwickelte er unter anderem die Eulersche Substitution und untersuchte bereits 1766 einen Vorläufer der Laplace-Transformation.

1736 löste Euler das Basler Problem: Σ(n=1 bis ∞) 1/n² = π²/6 ≈ 1,64493. Allgemeiner zeigte er für gerade Exponenten ζ(2k) = (−1)^(k−1)(2π)^(2k)B₂ₖ/[2(2k)!]. Er berechnete π mit schnell konvergierenden Reihen und untersuchte als Erster systematisch auch divergente Reihen. Außerdem fand er die Euler-Produktformel der Zeta-Funktion, die die Summe über alle natürlichen Zahlen mit einem Produkt über alle Primzahlen verbindet.

Die Variationsrechnung bestimmt unbekannte Funktionen so, dass ein von ihnen abhängiges Integral extremal wird. Euler systematisierte dieses Gebiet 1744 in der Methodus inveniendi lineas curvas. Für das Funktional J(y) = ∫ f(x,y,y′) dx lautet die zentrale Euler-Lagrange-Gleichung d/dx(∂f/∂y′) − ∂f/∂y = 0. Euler begründete seine Methode geometrisch und setzte sie auch für höhere Ableitungen fort. Bei der Brachistochrone führte die Gleichung y(1 + y′²) = a, a = const., zur Lösung in Form einer Zykloidenkurve. In den Ergänzungen behandelte er elastische Kurven sowie das Prinzip der kleinsten Aktion, formal δ∫ₚ₁ₚ₂ mv ds = 0.

Transzendente Funktionen und Zahlentheorie

Euler entwickelte die Theorie hypergeometrischer Reihen, q-Reihen und hyperbolischer trigonometrischer Funktionen. Zur Riemannschen Zeta-Funktion untersuchte er bereits Zusammenhänge zwischen ζ(s) und ζ(1−s), die später von Bernhard Riemann streng bewiesen und für die Theorie der Primzahlen genutzt wurden. Außerdem entdeckte Euler die Grundlagen der Beta- und Gammafunktion. Für komplexe z mit positivem Realteil gilt Γ(z) = ∫₀¹(−log x)^(z−1) dx = ∫₀∞ t^(z−1)e^(−t) dt; die Beta-Funktion ist B(x,y) = ∫₀¹ t^(x−1)(1−t)^(y−1) dt. Die Gammafunktion verallgemeinert die Fakultät, wobei bereits (1/2)! = √π/2 angegeben wurde. Euler bewies auch den Ergänzungssatz 1/[Γ(z)Γ(−z)] = −(z/π) sin(πz). Für elliptische Integrale bewies er ein Additionstheorem; bei R(t) = 1 + mt² + nt⁴ folgt aus der Summe zweier Integrale z = [x√R(y) + y√R(x)]/(1 − nx²y²).

In der Zahlentheorie untersuchte Euler Teilbarkeit, Primzahlen, vollkommene Zahlen und Quadratsummen. Er zeigte, dass Primzahlen der Form 4n + 1 als Summe zweier Quadratzahlen darstellbar sind; beispielsweise 29 = 5² + 2² = 4×7 + 1, während 7 nicht als Summe zweier Quadrate geschrieben werden kann. Die Zahl 1 000 009 ist keine Primzahl, da 1 000 009 = 1 000² + 3² = 972² + 235². Euler widerlegte Fermats Vermutung über die Primzahligkeit aller Fermat-Zahlen durch 641 | F₅, wobei F₅ = 2^(2^5) + 1. Er bewies den Euklid-Euler-Satz über gerade vollkommene Zahlen und Mersenne-Primzahlen und stellte 1732 die vollkommene Zahl P = 2³⁰ · (2³¹ − 1) auf. Er bewies den kleinen fermatschen Satz, führte die Euler-Phi-Funktion ein und vermutete das später von Gauß bewiesene Gesetz der quadratischen Reziprozität. Für den großen fermatschen Satz bewies er die Fälle n = 3 und n = 4; der vollständige Beweis gelang erst 1995 Andrew Wiles und Richard Taylor.

In der Kombinatorik untersuchte Euler fixpunktfreie Permutationen. Für deren Anzahl Π(n) gilt Π(n) = (n−1)(Π(n−1) + Π(n−2)) sowie Π(n) = n!(1 − 1/1! + 1/2! − … + (−1)^n/n!). Der Quotient Π(n)/n! nähert sich 1/e ≈ 0,367879. Mit dem 1750 bewiesenen Pentagonalzahlensatz entwickelte Euler Rekursionen für die Partitionsfunktion p(n); p(4) = 5 und p(200) = 3.972.999.029.388. Bei griechisch-lateinischen Quadraten fand er Konstruktionen für ungerade und durch vier teilbare Ordnungen. Seine Vermutung, für 4k + 2 gebe es keine Lösungen, war jedoch falsch: Lösungen fehlen nur für die Ordnungen 2 und 6.

Geometrie, Topologie und Logik

Euler verband geometrische Probleme häufig mit algebraischen und analytischen Methoden. Er prägte die ebene und sphärische Trigonometrie, untersuchte geodätische Linien, Krümmungen und Schmiegekreise und fand die Hauptkrümmungen κ₁ und κ₂ einer Oberfläche. Für einen Normalenabschnitt, der mit einem Hauptnormalschnitt den Winkel α bildet, gilt die Euler-Gleichung κ = κ₁ cos²(α) + κ₂ sin²(α). Außerdem untersuchte er abwickelbare Oberflächen wie Zylinder und Kegel sowie Regelflächen, die durch die Bewegung einer Geraden entstehen. Die Kreisevolvente bestimmte er als geeignete Profilform für Zahnräder.

Der Eulersche Polyedersatz lautet E − K + F = 2, wobei E, K und F die Anzahl der Ecken, Kanten und Flächen eines konvexen Polyeders bezeichnen. Für einen Würfel gilt 8 − 12 + 6 = 2, für ein Dodekaeder 20 − 30 + 12 = 2 und für ein Ikosaeder 12 − 30 + 20 = 2. Euler veröffentlichte 1758 Arbeiten zu diesem Zusammenhang, sein Beweis enthielt jedoch eine nach heutigen Maßstäben bestehende Lücke, die Henri Lebesgue 1924 hervorhob. Die Konstante wurde später als Euler-Charakteristik verallgemeinert; der erste lückenlose Beweis gelang Adrien-Marie Legendre.

Mit dem Königsberger Brückenproblem von 1735, veröffentlicht 1741, begründete Euler die Graphentheorie. Gesucht war ein Rundweg über sieben Brücken, bei dem jede Brücke genau einmal überquert wird. Euler zeigte, dass dies unmöglich ist, weil mindestens ein Landstück eine ungerade Anzahl an Brücken besitzt. Das Problem entspricht der Frage, ob der zugehörige Graph einen Eulerkreis besitzt.

Euler-Diagramme stellen Mengen durch geschlossene Kurven dar. Überlappungen bedeuten gemeinsame Elemente, vollständige Einschließung bedeutet Teilmengenbeziehung und getrennte Kurven Disjunktheit. Euler verwendete solche Diagramme zur Erklärung von Syllogismen und hypothetischen Aussagen. Die Briefe 101 bis 108 von 1761 enthalten Darstellungen, die später fälschlich als Venn-Diagramme bezeichnet wurden. Ab den 1960er Jahren wurden Euler- und Venn-Diagramme im Unterricht der Mengenlehre verwendet.

Angewandte Mathematik und Physik

Die Euler-Maclaurin-Formel verbindet Summen und Integrale. In ihrer Grundstruktur gilt Σ(k=0 bis n) f(k) = ∫₀ⁿ f(t) dt + [f(0)+f(n)]/2 + Σ(k=1 bis m) B₂ₖ/(2k)! · [f^(2k−1)(n) − f^(2k−1)(0)] + Rₘ. Sie ist nützlich, wenn eine Summe schwer, das entsprechende Integral aber leicht zu berechnen ist. Euler nutzte sie, um langsam konvergierende Reihen schnell anzunähern; ζ(2) berechnete er auf 20 Stellen als 1,64493406684822643647. Eine naive Summation hätte für diese Genauigkeit bei 20 Sekunden pro Summand etwa 63 Billionen Jahre benötigt.

Das explizite Euler-Verfahren von 1768 nähert die Lösung y′ = f(x,y) mit y(x₀) = y₀ an. Für die Schrittweite h gilt xₙ₊₁ = xₙ + h und yₙ₊₁ = yₙ + h f(xₙ,yₙ) = yₙ + h y′ₙ + O(h²). Bei stetigem f konvergieren die Euler-Polygonlinien für h → 0 auf einem hinreichend kleinen abgeschlossenen Intervall gleichmäßig zur unbekannten Funktion.

Eulers Mechanik umfasste Punktmassen, starre, elastische, flüssige und gasförmige Körper. Für die Translationsbewegung formulierte er dK⃗ = dm · d²x⃗/dt², also Kraft = Masse × Beschleunigung. Für Drehbewegungen untersuchte er Drehmomente, Trägheitsmomente, Schwerpunkte und Kreisel. Die Eulerkraft wird in heutiger Form als F⃗Euler = −m · dω⃗/dt × r⃗ geschrieben. In der technischen Mechanik fand sich bereits 1740 die Biegeliniengleichung k · w⁗(x) = q(x); außerdem formulierte Euler die Drehgleichung M = α · I und begründete die Stabilitätstheorie der Knickung.

In der Strömungsmechanik stellte Euler Gleichungen für ideale, kompressible und inkompressible Flüssigkeiten sowie die Kontinuitätsgleichung auf. Er arbeitete an Turbinen, Schiffsschrauben und Flügelradantrieben. Die Euler-Winkel beschreiben die Drehlage eines Körpers im dreidimensionalen Raum durch drei unabhängige Winkel. In der Astronomie berechnete Euler unter anderem Kometenbahnen, die Sonnenparallaxe, Mondtabellen und planetare Störungen von Jupiter und Saturn. In der Optik vertrat er die Wellentheorie des Lichts und untersuchte Dispersion und Linsen. Für die Ballistik übersetzte er 1745 Benjamin Robins’ Werk über den Einfluss des Luftwiderstands. In der Schiffbaukunde entwickelte er Stabilitätskriterien und untersuchte rückführende Momente.

Musik, populäre Schriften und Überlieferung

Eulers Musiktheorie beschreibt musikalische Intervalle mathematisch. In reiner Stimmung entsprechen Oktave, Quinte, Quarte und große Terz den Frequenzverhältnissen 1:2, 2:3, 3:4 und 4:5. In der gleichstufigen Stimmung beträgt das Verhältnis zweier Halbtonschritte 12√2 ≈ 1,059463. Für eine natürliche Zahl n = p₁^a₁ · … · pᵣ^aᵣ definierte Euler den Gradus suavitatis Γ(n) = 1 + Σⱼ aⱼ(pⱼ − 1). Für ein gekürztes Intervall a:b gilt Γ(a:b) = Γ(a·b). Eine reine Quinte hat daher Γ(2:3) = 4. Für den Dur-Dreiklang im Verhältnis 4:5:6 ergibt sich der neunte, für den Moll-Dreiklang 10:12:15 der vierzehnte Grad. Euler beschrieb außerdem 18 Gattungen zur Unterteilung der Oktave durch die Primzahlen 3 und 5. Sein Modell wurde später weiterentwickelt und steht in Verbindung mit dem Tonnetz.

Eine breite Leserschaft erreichte die populärwissenschaftliche Schrift Lettres à une princesse d’Allemagne von 1768. Die 234 ursprünglich französischen Briefe erklärten Grundzüge von Physik, Astronomie, Mathematik, Philosophie und Theologie. Euler schätzte darin die Entfernung zwischen Erde und Sonne auf „trente Millions de Milles“. Außerdem behandelte er das Springerproblem und griechisch-lateinische Quadrate, eine Vorform des Sudoku. Seine Behauptung, Quadrate der Größe 4k + 2 seien unmöglich, wurde erst um 1960 widerlegt; Ausnahmen sind nur die Ordnungen 2 und 6.

Nach Eulers Tod wurden zahlreiche unveröffentlichte Arbeiten in Sankt Petersburg herausgegeben. Gustaf Eneström erstellte 1910 bis 1913 ein Verzeichnis mit 866 Nummern, E001 bis E866. Die Euler-Kommission wurde 1907 auf Initiative Ferdinand Rudios gegründet. Der Nachlass gelangte 1910 bis 1912 in sieben Kisten in die Schweiz und wurde erst am 15. Mai 1947 zurückgegeben. Die Opera Omnia erscheint seit 1911; sie umfasst Reihen zu Mathematik, Mechanik und Astronomie, Physik und Sonstigem sowie Briefwechseln. Die Angaben zum Editionsstand weichen im Artikel teilweise voneinander ab: Einerseits werden 76 von 81 vorgesehenen Bänden als erschienen genannt (Stand 2018), andererseits werden einzelne Reihen später als vollständig bezeichnet. Das Euler-Archiv stellt digitale Abbildungen von über 95 Prozent der veröffentlichten Werke bereit. Seit 2022 führt die Bernoulli-Euler-Gesellschaft die Arbeit der ehemaligen Euler-Kommission weiter.