Einhüllende

Grundidee und Definition

Eine Einhüllende, auch Hüllkurve oder Enveloppe genannt, ist eine Kurve, die eine Kurvenschar einhüllt. Eine Kurvenschar ist eine Menge von Kurven Kₜ, die durch den Parameter t beschrieben werden. Die Einhüllende H berührt jede Scharkurve; dabei wird jedes Element der Kurvenschar an mindestens einer Stelle xₕ berührt.

Formal müssen zwei Bedingungen erfüllt sein: H wird in jedem ihrer Punkte von einer der Kurven Kₜ berührt, und H berührt jedes Element Kₜ an einer Stelle xₕ. Jede ebene Kurve ist die Hüllkurve ihrer Tangenten. Die Evolute E einer ebenen Kurve C ist die Hüllkurve ihrer Normalen; C heißt dann Evolvente von E.

Berechnung einer Hüllfunktion

Für eine durch y=f(x,t) gegebene Kurvenschar wird die Hüllfunktion schrittweise bestimmt:

• Man leitet f(x,t) nach t ab und bestimmt die Nullstellen t₀ dieser Ableitung in Abhängigkeit von x.
• Man setzt t₀ in f(x,t) für t ein. Dadurch erhält man einen Kandidaten h(x) für die Hüllfunktion.
• Man bestimmt alle Stellen xₕ, an denen H ein Element Kₜ berührt.
• Schließlich weist man nach, dass jedes Element Kₜ die Kurve H an mindestens einer Stelle berührt.

Die Nullstellenbedingung liefert somit zunächst eine mögliche Hüllkurve. Erst der abschließende Nachweis der Berührung erfüllt die vollständige Definition.

Beispiel einer Geradenschar

Gegeben ist die durch t parametrisierte Geradenschar y=f(x,t):=tx−t². Die Einhüllende wird durch das Gleichungssystem

y=f(x,t)=tx−t², 0=∂ₜf(x,t)=x−2t

beschrieben. Aus der zweiten Gleichung folgt t=x/2. Durch Elimination von t erhält man die parameterfreie Darstellung

y=x²/4.

In der dreidimensionalen Darstellung wird die Fläche durch (x,t)↦(x,t,y)=(x,t,f(x,t)) beschrieben. Die Konturlinie dieser Fläche wird entlang der t-Achse auf die x-y-Ebene projiziert; diese Projektion ist die Enveloppe. Ein weiteres Beispiel sind Wurfparabeln mit gemeinsamer Anfangsgeschwindigkeit: Auch sie besitzen eine Hüllkurve.

Anwendungen bewegter Objekte

Hüllkurven beschreiben den benötigten Platz bewegter Gegenstände. Damit lässt sich beispielsweise prüfen, ob ein Schrank um eine Ecke in einem Flur bewegt werden kann. Ebenso kann man bestimmen, wie schmal eine Straße in einer Kurve sein darf und welche Form sie haben muss, damit ein LKW sicher darauf fahren kann. Für die meisten technischen Anwendungen sind numerische Verfahren besonders geeignet.

In den Wirtschaftswissenschaften bezeichnet man bei zeitlich veränderlichen Kostenfunktionen auch eine obere und eine untere Einhüllende. Zwischen beiden liegen sämtliche Kostenverlaufskurven. Zu jedem Zeitpunkt nimmt die tatsächliche Kostenfunktion einen Verlauf innerhalb dieser oberen und unteren Grenzen an.

Hüllkurven werden außerdem in der Geometrie, Computergrafik und Computersimulation eingesetzt. In der industriellen Fertigung helfen sie unter anderem dabei, die Sichtbarkeit von Maschinenteilen und Anlagenkomponenten zu berechnen und sicherzustellen, dass alle Teile von einem festen Punkt aus sichtbar sind.

Einhüllende von Flächenscharen

Nicht nur Kurven, sondern auch Flächen können als Einhüllende von Flächenscharen beschrieben werden. Kanal- und Rohrflächen sind beispielsweise Einhüllende von Kugelscharen. Böschungsflächen sind Einhüllende von Kegelscharen.