Oloid

Definition und Entdeckung

Ein Oloid (auch Polysomatoloid) ist ein geometrischer Körper. Es ist die konvexe Hülle zweier gleich großer Kreise mit Radius r, die sich senkrecht schneiden und deren Mittelpunkte genau den Abstand r haben. Es hat keine Ecken, zwei Kanten und eine zusammenhängende Oberfläche. Die Kanten sind jeweils 240°-Bögen der beiden Kreise; ihre Länge beträgt jeweils (4/3)πr.

Entdeckt wurde das Oloid 1929 von dem Bildhauer und Maschinenbauer Paul Schatz zusammen mit dem umstülpbaren Würfel. Schatz zerlegte einen Würfel in drei Teile, darunter eine Kette aus sechs unregelmäßigen Tetraedern. Werden diese an benachbarten Kanten gelenkig verbunden, kann die Kette vollständig umgestülpt werden. Drei gleich lange Raumdiagonalen des ursprünglichen Würfels bleiben dabei erhalten. Fixiert man ein Tetraeder, überstreicht die gegenüberliegende Diagonale eine Regelfläche, also eine Fläche, die durch bewegte Geraden entsteht. Diese Fläche ist die Oberfläche des Oloids. Eine analytisch-mathematische Beschreibung seiner Eigenschaften erschien erstmals 1997.

Form, Abrollen und Anwendung

Das Oloid gehört zu den wenigen bekannten Körpern, die auf ihrer gesamten Oberfläche abrollen können. Seine vollständige Oberfläche ist abwickelbar: Sie lässt sich knickfrei aus einem einzigen Stück Pappe herstellen. Bei Kegel und Zylinder ist dagegen nur die Mantelfläche in diesem Sinn abwickelbar.

Auf einer Schräge rollt das Oloid taumelnd hinab, ohne über seine Kanten zu poltern. Die Spur beim Abrollen entspricht seinem Netz, also der abgewickelten Oberfläche. Der Winkel an den Mittelpunkten der Kanten beträgt 60°. Blickt man senkrecht auf beide Kanten, bilden die Konturen im Querschnitt exakt ein Quadrat. Das kann zur Beurteilung handwerklich hergestellter Oloide dienen, weil Unsymmetrien dann sichtbar werden.

Die Oberfläche hat mit 4πr² genau denselben Flächeninhalt wie eine Kugel mit Radius r. Oloide werden als Oloid-Rührer zum Umwälzen und Belüften von Wasser eingesetzt, etwa in der Abwasserreinigung und Gewässersanierung. Eine Anwendung als Alternative zum Schiffspropeller blieb bislang bei Prototypen und Versuchen.

Wichtige Maße und Regelfläche

Zu jedem Punkt x auf einer Kante gibt es – bis auf Spiegelung – genau einen Punkt y auf der anderen Kante, sodass die gesamte Verbindungsstrecke xy auf der Oberfläche liegt. Deshalb ist die Oloidoberfläche eine Regelfläche. Alle diese Strecken haben dieselbe Länge √3 r. Das ist zugleich die Länge der drei Raumdiagonalen der Tetraederkette; der zugehörige zerlegte Würfel hat die Seitenlänge r.

Das Quadrat, das die Konturen aus einem bestimmten Blickwinkel bilden, hat die Seitenlänge √2 r. Der kleinste Quader, der das Oloid umfasst, hat daher die Maße 3r · √2 r · √2 r. Insgesamt ist das Oloid 1,5-mal so lang wie hoch: l = 1,5b = 1,5h = 3r. Ein Sphericon ist dagegen gleich lang, breit und hoch: l = b = h = 2r.

Koordinaten und Parametrisierungen

Für eine Einbettung in den dreidimensionalen euklidischen Raum liegt der Mittelpunkt des waagerechten Kreises im Ursprung und der Mittelpunkt des senkrechten Kreises bei (r,0,0). Ein Punkt der waagerechten Kante ist für t ∈ [π/3,5π/3] gegeben durch x = (r cos t, r sin t,0). Die zugehörigen Punkte der senkrechten Kante im Abstand √3 r lauten y = (y₁,0,±y₃), wobei y₁ = r/(1 − cos t) und y₃ = r√(1 − 2 cos t)/(1 − cos t). Das Vorzeichen beschreibt die obere beziehungsweise untere Hälfte des Oloids.

Die Oberfläche lässt sich durch Φ: [0,1] × [π/3,5π/3] → ℝ³ beschreiben: Φ(s,t) = (Φ₁,Φ₂,±Φ₃) mit Φ₁ = r(s/(1 − cos t) + (1 − s) cos t), Φ₂ = r(1 − s) sin t und Φ₃ = rs√(1 − 2 cos t)/(1 − cos t). Für s = 0 liegt der Punkt auf der waagerechten, für s = 1 auf der senkrechten Kante.

Für das Volumen wird ein Höhenparameter h ∈ [0,1] eingeführt: Ψ(h,s,t) = (Φ₁,Φ₂,±hΦ₃). Bei h = 1 erhält man die Oberfläche, bei h = 0 die waagerechte Schnittfläche durch die Mitte des Oloids.

Oberfläche und Volumen

Der Oberflächeninhalt wird mit einem Oberflächenintegral aus dem Betrag des Kreuzprodukts der partiellen Ableitungen von Φ bestimmt. Das Ergebnis lautet exakt F = 4πr². Damit stimmt der Flächeninhalt mit dem einer Kugel des Radius r überein.

Für das Volumen wird das Integral des Betrags der Jacobideterminante der Volumenparametrisierung Ψ verwendet. Das exakte Ergebnis enthält vollständige elliptische Integrale erster und zweiter Art K und E: V = (2/3)r³(K(3/4) + 2E(3/4)) ≈ 3,0524r³.

Die Konstante beträgt genauer 3,052418468… . Sie kann beliebig genau numerisch berechnet werden. Algebraische Zusammenhänge zu anderen Konstanten sind nicht bekannt; ebenso ist nicht bekannt, ob sie transzendent ist.

Algebraische Fläche und Sphericon

Das Oloid kann als Teil einer algebraischen Fläche achten Grades, einer Oktik, aufgefasst werden. Für r = 1 beschreibt die Lösungsmenge einer Polynomgleichung mit 48 Termen und ganzzahligen Koeffizienten eine solche Fläche. Ihr Mittelpunkt liegt bei (1/2,0,0). Zusätzliche, nicht triviale Nebenbedingungen sind nötig, damit aus der algebraischen Fläche ausschließlich das Oloid ausgewählt wird.

Ein Sphericon entsteht aus einem gleichseitigen geraden Kreisdoppelkegel: Schneidet man ihn in einer Ebene durch beide Spitzen, erhält man quadratische Schnittflächen. Dreht man eine Kegelhälfte um 90° um eine senkrechte, mittige Achse der Schnittfläche und fügt die Hälften wieder zusammen, entsteht das Sphericon. Seine Oberfläche ist F = 2√2 πr² und sein Volumen V = (2/3)πr³. Das ist die Hälfte des Volumens einer Kugel mit gleichem Radius.