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Der Rechenschieber: Eine Einführung

NHR@FAU38:12 180.416 Aufrufe veröffentlicht Auf YouTube

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Transkriptautomatisch erstellt · 188 Zeilen
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  1. [Musik] Herzlich willkommen zu meinem Rechenschieber-Workshop. In der nächsten halben Stunde werde ich ein bisschen was über dieses faszinierende Gerät erklären, das hunderte
  2. von Jahren für Wissenschaftler und Ingenieure die Rolle übernommen hat, die heutzutage der Taschenrechner oder die Handy-App für uns spielen. Rechenschieber aber gab es in vielen verschiedenen
  3. Bauformen. Das ist jetzt nur eine davon. In der Tat ist das hier ein Demonstrationsmodell, das in dieser Art und Weise in Schulen im letzten Jahrhundert sehr breit im Einsatz war. So ein
  4. Standardwerk besteht eigentlich immer aus drei Teilen. Ein Teil ist der sogenannte Stabkörper. Der Stabkörper besteht aus zwei Leisten, hier oben und unten, die mit Skalen versehen sind, die wir
  5. uns später noch ganz genau anschauen werden. Diese beiden Leisten sind am Rand links und rechts durch Spangen verbunden und sind damit fest. Der zweite Teil ist die sogenannte Zunge. Die Zunge ist frei
  6. verschiebbar zwischen den Leisten des Stabkörpers angebracht und ebenfalls mit Skalen ausgestattet, und das dritte Teil ist der sogenannte Läufer. Der Läufer ist dieses Gerät hier, das sich frei über
  7. dem gesamten Rechenschieber verschieben lässt und das ein oder mehrere dünne Linien hat, mit denen man zum Beispiel Zahlen von einer Skala auf die andere übertragen kann. Um uns diesem Gerät ein
  8. bisschen zu nähern, konzentrieren wir uns zunächst mal auf die zwei wichtigsten Skalen. Die zwei wichtigsten Skalen sind hier mit C und D markiert. Und um es noch ein bisschen einfacher zu machen
  9. schauen wir uns zunächst mal nur die Skala D an und wie sie geteilt ist. Dazu entferne ich mal die Zunge und wir schauen uns die Skala D genau an. Die beginnt bei 1, geht dann weiter 1,5 1,8
  10. 1,9 bis 2, 3, 4 und so weiter. Was hier auffällt ist schon mal, dass der Abstand von der 1 zur 2 und der Abstand von der 2 zur 3 offensichtlich nicht gleich ist,
  11. sondern die Abstände werden kleiner je weiter man auf der Skala nach rechts geht. Ganz am rechten Rand der Skala befindet sich die 10. Mit anderen Worten: Die D-Skala geht von 1 bis
  12. 10 mit einer etwas seltsamen Teilung, die nach rechts hin immer enger zusammenrückt. Zunächst mal müssen wir lernen, wie man zahlen auf diesen Skalen abliest das ist im Prinzip
  13. so wie bei einem Lineal, nur dass sich eben aufgrund des Zusammenrückens der Teilungen manchmal der Abstand zwischen zwei Teilstrichen ein bisschen ändert. Also, es ist sehr einfach
  14. die einst abzulesen die 1,1, denn die sind beschriftet. Zwischen der 1 und der 1,1 steht in der Mitte die 1,05 da ist der Strich ein bisschen länger.
  15. Auch das ist einfach und dann heißt es natürlich, dadurch dass ich hier neun Teilstriche habe, dass jeder kleine Teilstrich für 0,01 steht. Das heißt, 1,01 ist der erste Teilstrich neben
  16. der 1. Dann kommt 1,02, 1,03 und so weiter. Das geht so weiter bis zu 2. Ab der 2 sind jetzt die Striche schon so nah zusammen, dass es nicht mehr möglich ist, einen Teilstrich für 0,01 zu
  17. spendieren. Jetzt bedeutet ein Teilstrich 0,02. Das heißt, der erste Teil steht neben der 2 bis 2,02. Dann folgt 2,04 2,06, 2,08 und 2,1 und so weiter bis zur 3, zur 4. Ab der 4 wird es dann
  18. wieder ein bisschen eng mit den Teilstrichen, deswegen haben wir jetzt einen Teilstrich für 0,05. Der erste Teilstrich neben der vier ist also 4,05, dann kommt 4,1, 4,15, 4,2 und so
  19. weiter. Das heißt, ich muss mich ein bisschen daran gewöhnen, dass, je nachdem wo ich mich auf der Skala befinden, die Teilstriche andere Abstände zueinander haben. Warum ist das jetzt so?
  20. Um das ein bisschen zu erforschen nehmen wir mal dieses Stück Holz hier, diese Latte, und legen die Latte vorne bei 1 an. Bisschen Terminologie: Der Punkt eins auf der D-Skala nennt sich auch Index.
  21. Darauf werde ich später noch zurückkommen. Wir legen also diese Latte hier bei der einst vorne an, so dass sie genau auf der eins liegt und markieren uns auf dem Stück Holz genau da
  22. wo die zwei ist. Ich habe also jetzt mit diesem Stück Holz die Distanz zwischen 1 und 2 auf der D-Skala abgegriffen und jetzt einfach noch mal zum Spaß, schaue ich mal was passiert,
  23. wenn ich dieses Stück, diesen abgegriffen Abstand irgendwo anlege, zum Beispiel wenn ich den beginn meiner Holzlatte bei 1,5 anlege. Wo ist dann das Ende meiner abgegriffenen Distanz? Bei 3! Ok.
  24. Legen wir es mal bei 1,8 an. Wo ist das Ende, die abgegriffene Distanz? Bei 3,6. 1,5 mal 2 ist 3. 1,8 mal 2 ergibt 3,6. Also scheint dieses Stück, diese Distanz, die ich hier abgegriffen habe,
  25. zwischen den 1 und 2 Markierungen auf der der D-Skala irgendwas mit einem Faktor 2 zu tun zu haben und das ist die Magie der Teilungen auf dem Rechenschieber. Die Distanz zwischen 1 und
  26. 2 bedeutet einen Faktor 2 und immer dann wenn ich diese Distanz irgendwo anlegen z.B. bei 1,6 und um diese Distanz nach rechts gehe, multipliziert die Zahl an der ich angelegt
  27. habe mit diesem Faktor 2 und da sehen wir schon die Macht des Rechenschiebers. Ich kann einen Faktor in einer Multiplikation durch eine Länge darstellen und durch Aneinanderlegen von solchen
  28. Strecken Zahlen miteinander multiplizieren. Jetzt wäre es natürlich ein bisschen umständlich, wenn man zum Rechner mit dem Rechenschieber immer eine Holzlatte oder ein kleines Stück Holz oder
  29. Lineal mitführen müsste. Diese Rolle übernimmt die über der D-Skala auf der Zunge liegende C-Skala. Angenommen wir möchten gerne Dinge mit zwei multiplizieren. Eine Möglichkeit, die ich dafür
  30. habe ist, ich nehme den Index auf der C-Skala, also die 1, und stellte sie über den Faktor, mit dem ich multiplizieren möchte. Das ist hier in dem fall die 2. Also die 1 steht über der 2. wir haben
  31. gerade gelernt dass das Multiplizieren von Zahlen mit dem Rechenschieber dem Addieren von Strecken entspricht. Also addiere ich die Strecke von 1 bis 2 auf der D-Skala zu der Strecke, die meinem
  32. zweiten Faktor entspricht auf der C-Skala. Also wir wollen gerne rechnen: 2 mal 1,5. Wie mache ich das? Ich lege an die Strecke 2 auf der D-Skala die Strecke 1,5 auf der C-Skala an und lese die
  33. Summe der Strecken natürlich nicht, sondern das Produkt der angetragenen Zahlen unter der Markierung für 1,5 ab. Also 3. 2 x 1,5 ist gleich 3. Dass das funktioniert hat mit der komischen
  34. Teilung diese Skalen zu tun. Die Tatsache, dass die Zahlen hier vorne sehr fein geteilt sind und hinten sehr grob geteilt sind, hat damit zu tun dass ich mit solchen Additionen
  35. von Strecken multiplizieren kann. Für die Experten: Es handelt sich hier um eine logarithmische Teilung. Man sieht gleich eine schöne Eigenschaft
  36. des Rechenschiebers. Ich habe nämlich mit dieser Einstellung des Schiebers, also dem Index von C über der 2 von der C-Skala nicht nur eine einzige Rechenaufgaben gelöst. Ich
  37. habe gleichzeitig viele, eigentlich unendlich viele Rechenaufgaben in einem Schwung gelöst, nämlich alle Rechenaufgaben bei denen der erste Faktor 2 ist. Ich kann nämlich, ohne die Zunge
  38. weiter zu verschieben einfach auf der C-Skala eine beliebige andere Zahl aussuchen zum Beispiel 1,7 und unter dieser Zahl das Produkt mit 2 ablesen. 2 x 1,7 ist 3,4 oder 2 x 2,2 ist 4,4. Also kann
  39. ich mit einer Einstellung viele unterschiedliche Multiplikationsaufgaben lösen. Das ist was, was der Taschenrechner in der Form, nicht so einfach kann. Wozu ist das gut? Ein praktisches Beispiel:
  40. Wir sind in ein Restaurant, vielleicht in den Vereinigten Staaten. In den vereinigten Staaten ist üblich, bei der Rechnung im Restaurant in gewissen Betrag, einen gewissen Prozentsatz,
  41. als Trinkgeld aufzuschlagen, irgendwo zwischen 15 und 25 Prozent. Nehmen wir mal an, wir waren zufrieden mit dem Service und wir würden gerne 18 Prozent auf die Rechnung aufschlagen. Ich
  42. weiß nicht, wenn ich das Restaurant betrete, was meine Rechnungsbetrag sein wird. OK. Also denke ich schon: Na gut, ich weiß die Zahlen nicht, aber ich weiß den Faktor. Vielleicht
  43. bin ich ja zufrieden mit diesem Restaurant, schon immer gewesen, also denke ich mir, ich möchte gerne 18 Prozent Trinkgeld geben. Also gehe ich bevor ich ins Restaurant gehe zu
  44. meinem Rechenschieber, den habe ich vielleicht in der Tasche und stellt schon mal einen Faktor von 1,18 ein. Das ist der Faktor, mit dem ich meine Rechnung multiplizieren möchte,
  45. um den Zahlbetrag auszurechnen. Das habe ich hier schon mal vorbereitet: Ich stelle dem Index von C über die 1,18 auf der D-Skala. Jetzt esse ich, es kommt zum Bezahlen und
  46. der Rechnungsbetrag sagen wir mal, um es einfach zu halten, ist 4 Dollar. OK. Ziemlich billiges Essen. 4 Dollar lese ich hier auf der C-Skala ab. Die Multiplikation von 1,18 mit 4, haben gerade
  47. gelernt, kann ich einfach dadurch machen, dass ich ablese, was unter der 4 auf der D-Skala steht. Und wir sehen das ist
  48. 4,5-4,6 ungefähr 4,7. Also ungefähr 4,70 Dollar muss ich bezahlen, um 18 Prozent Trinkgeld auf meine 4 Dollar aufzuschlagen. So weit, so gut. Wenn der Rechnungsbetrag 5
  49. Dollar gewesen wäre, wäre mein Ergebnis 5,90 Dollar, auch einfach. Da kommt aber ein kleines Problem:Was passiert wenn mein Rechnungsbetrag 9 Dollar wäre? Wenn ich mir die 9 auf der D-Skala
  50. anschaue und wenn ich hier runtergehe, sehe ich, dass auf der D-Skala gegenüber der 9 kein Teilungsstrich mehr ist. Das heißt, ich kann diese Aufgabe mit dieser Einstellung nicht
  51. berechnen. Und jetzt kommt die zweite tolle Eigenschaft des Rechenschiebers, nämlich, dass das was ich hier als 10 sehe auf der Skala und als 1 am Anfang der Skala,
  52. eigentlich dieselbe Zahl ist. Ob ich eine 1 oder eine 10 einstelle ist egal. Was bedeutet das? Ich kann einfach statt den Index 1 von der C-Skala über meine 1,18 zu stellen,
  53. auch den 10er Index darüberstellen. Das rechte Ende der Skala heißt nämlich auch Index, der ist mit 10 bezeichnet, es gibt aber auch Rechenschieber wo dort 1 steht. Ja, weil man
  54. sich darüber im Klaren ist, dass es eigentlich die gleiche Zahl ist. Statt also die 1 auf der C-Skala über die 1,18 zu stellen, stelle ich die zehn trüber. Kann ich jetzt mal Ergebnis ablesen?
  55. Ich möchte gerne wissen was 1,18x9 ist also gehe ich auf die neun und lese ab 1,01 10,5, ungefähr 1,06. Natürlich sind neun dollar +18 Prozent nicht 1Dollar und 6 Cent, was muss ich tun?
  56. Ich muss das Koma versetzen. Ja, geht natürlich nicht um 1 Dollar und 6 Cent, sondern um 10 Dollar 60 und das ist mein eigentliches Ergebnis. Und da sehen wir schon die dritte Eigenschaft,
  57. die man beim Rechnen mit dem Rechenschieber im Auge behalten sollte: Eine Zahl, die ich ablese, bedeutet nicht nur das, was da auf dem Rechenschieber steht.
  58. Es ist eben nicht nur 9 es ist auch 90 oder 0,9 oder 900 oder 9000 und die Zahl die ich darunter ablese ist eben nicht nur 1,06 sondern auch 10,6 oder 106 oder 1060. Also,
  59. wo das Komma bei einer Multiplikation steht, das muss ich mir vorher überlegen. Ich muss in der Lage sein, die Rechnung im Kopf so zu überschlagen, dass das Ergebnis
  60. ungefähr plausibel ist und ich dann anhand der genauen Einstellung in das Ergebnis das Komma an der richtigen Stelle einfügen kann. Es braucht also ein bisschen mitdenken beim Rechnen mit dem
  61. Rechenschieber im Gegensatz zum Taschenrechner, der mir automatisch das Komma an der richtigen Stelle ausgibt, aber das muss ja kein Nachteil sein. Dieses verfahren, dass ich manchmal die
  62. Zunge durchschieben muss, um das Ergebnis auf dem Schieber ablesen zu können nennt sich auch Zungendurchschlag. Das ist eine wichtige Eigenschaft oder eine definierende Eigenschaft
  63. des Rechenschiebers in dieser Bauform, dass manchmal dieser Zungendurchschlag bei der Multiplikation notwendig ist. Aber dieser lineare Rechenschieber oder
  64. Rechenstab ist nur eine der möglichen Bauformen und wir schauen uns jetzt mal ein paar andere Bauformen an, die über die Jahrhunderte für den Rechenschieber oder Rechenstab
  65. entwickelt worden sind. Wir haben ein paar schöne Beispiele. Wir haben ja gesehen, dass der Abstand von den Teilungen auf dem Rechenschieber schon einen Einfluss darauf hat,
  66. wie genau ich bestimmte Ablesungen machen kann und wie genau ich eine Zahl ablesen kann und natürlich ist es so: je länger ein Rechenstarb ist, desto genauer kann ich Zahlen ablesen,
  67. denn desto mehr Teilungen bekomme ich auch unter.Dieser Rechenstab hier ist 50 cm lang und ich kann dadurch natürlich wesentlich genauere Rechnungen durchführen.
  68. Solche Stäbe waren populär in Ingenieurbüros, wo vielleicht eine halbe Stelle oder eine Stelle mehr an Genauigkeit durchaus sinnvoll war. Man sieht hier auch eine schöne andere wichtige Eigenschaft,
  69. die an vielen Rechenschiebern zu beobachten ist und zwar sieht man jenseits von der 10, hier natürlich auf der anderen Seite auch, links von der 1 so ein paar extra Teilungen,
  70. die noch auf dem Schieber angebracht sind. Die erlauben mir in Fällen wo das Ergebnisse ein Bisschen über 10 oder ein Bisschen unter 1 liegt, den Zungendurchschlag zu vermeiden.
  71. Das ist natürlich ein sehr voluminöses Gerät und natürlich gab es auch den Bedarf an sehr kleinen und portablen Geräten. Hier haben wir ein schönes Beispiel made in DDR. Das ist ein Stift,
  72. ein sogenannter Fallbleistift, in dem die Mine vorne durch Metallklammern gehalten wird und dieser Stift ist kombiniert mit einem Rechenschieber. Wir haben hier unsere Läufer. Es
  73. gibt keine Zunge, es gibt nur zwei gegeneinander verschiebbare Skalen, das entspricht also den C und D-Skalen und mit diesem Gerät kann ich tatsächlich multiplizieren und wie
  74. wir später noch sehen werden auch dividieren. Natürlich mit gewisser begrenzter Genauigkeit, denn die Skalenlänge hier ist bloß circa 15 cm. Dadurch passen natürlich nicht viele
  75. Teilstriche auf diese Skala. Natürlich ist dieser Zungendurchschlag, den ich manchmal machen muss bei dem linearen Rechenschieber ein bisschen nervig und kostet auch Zeit,
  76. wenn man schnell rechnen will. Um das zu vermeiden, kann man auch die Skala des Rechenschieber
  77. zu einem Kreis biegen und das sehen wir hier. In der tat war es so, dass die ersten Rechenschieber, die entwickelt worden sind, im frühen 17. Jahrhundert,
  78. tatsächlich kreisförmige Skalen hatten. Das schöne an einer kreisförmigen Skala ist, wir sehen dass hier an der Grenze zwischen grau und weiß, dass die Skala in sich gebogen ist
  79. und wann immer das Ergebnis über 10 ist, gehe ich einfach in die nächste Runde und kann das Ergebnis direkt ablesen. Das ist der Vorteil von einem kreisförmigen Rechenschieber
  80. oder einer sogenannten Rechenscheibe. Der Nachteil ist, dass speziell auf Skalen die weit innen liegen, die Genauigkeit begrenzt ist, weil die Länge der Skala eben immer kleiner wird,
  81. je weiter innen ich mich befinde. Um das in gewisser Weise zu korrigieren und zu verbessern hat man sich natürlich schon sehr früh überlegt: Wie könnte ich
  82. die Skalen trotzdem sehr lang machen auf so einer kreisförmigen Rechenscheibe? Und da kam man zum Beispiel mit diesem Design. Hier sieht man,
  83. wenn man genauer hinschaut, dass manche der Skalen nicht kreisförmige sind sondern zu Spiralen gebogen sind.
  84. Das heißt wenn ich von 1 nach 10 gehe, muss ich mehrfach um den Kreis rumgehen, um die richtige Zahl zu erwischen. Dadurch kann man auch mit diesem recht kompakten Taschengerät
  85. recht genaue Berechnungen durchführen. Eine andere Möglichkeit, die Skalen zu verlängern, ist sie auf Zylinder aufzuwickeln so wie hier bei diesen schönen Gerät. Hier sieht man den Läufer,
  86. das ist dieses schwarze Teil. Das ist dem Fall nicht durchsichtig, sondern einfach zwei Markierungen hier und hier. Das entspricht der Linie auf dem Läufer und die beiden Skalen
  87. befinden sich hier und hier. Die sind in dem Fall nicht auf eine Scheibe gezeichnet, sondern spiralförmig um diesen Stab gewickelt und damit kann ich dieselben Rechnung durchführen, wie mit
  88. der C und D-Skala auf dem linearen Rechenschieber. Auch das ist ein sehr kompaktes Taschengerät, das ich gegebenenfalls sehr kompakt zusammenschieben kann. Die Genauigkeit ist recht gut. Die gesamte
  89. Länge einer Skala von den beiden hier beträgt ca. zwei Meter. Also das ist schon mehr, als ich von zu einem linearen Rechenschieber erwarten kann.
  90. Ich habe gerade schon erwähnt, dass Multiplizieren natürlich die einzige Operation ist, die auf dem Rechenschieber möglich ist. Wenn wir uns nur auf die C und D-Skalen beschränken,
  91. kann ich auch zahlen dividieren und das schauen wir uns als Nächstes an. Wenn das multiplizieren von Zahlen dem Aneinanderlegen,
  92. dem Addieren von Strecken entspricht, dann sollte eigentlich das Dividieren von Zahlen dem Subtrahieren, dem Abziehen von Strecken entsprechen und das versuchen
  93. wir jetzt mal. Wir versuchen die Divisionsaufgabe 5 : 4 zu lösen. Die 5 kann ich zum Beispiel hier unten auf der D-Skala identifizieren, hier ist die 5,
  94. und ich möchte gerne die Strecke, die der 4 entspricht, von der Strecke, die der 5 entspricht, abziehen. Was tue ich also? Ich stelle den Divisor, die 4, über die 5. Also der Bruch,
  95. den ich berechnen möchte, steht quasi umgekehrt hier auf dem Rechenschieber: 5 geteilt durch 4. Um jetzt die strecke 5
  96. zu nehmen und die strecke 4 abzuziehen, muss ich nur auf der C-Skala nach links gehen bis zum Index und nach unten gehen und lese hier ab: 1,25. Offensichtlich das richtige Ergebnis: Division
  97. 5 geteilt durch 4 ist gleich 1,25. Also, das Multiplizieren auf dem Rechenschieber entspricht dem Addieren von Strecken. Das Dividieren entspricht dem Subtrahieren von Stecken. So weit,
  98. so gut. Was passiert wenn der Dividend und Divisor unterschiedlichen Größenverhältnisse haben? Rechnen wir mal 4 geteilt durch 5. 4 geteilt durch 5 heißt, ich möchte gerne die Strecke,
  99. die 5 entspricht von der Strecke abziehen, die der 4 entspricht. Also suchen wir uns wieder die 4 auf der D-Skala aus und stellen die fünf auf der C-Skala obendrüber. 4 geteilt durch 5.
  100. Wir gehen nach links und... ohoh! Unter dem Index steht gar nichts. Jetzt könnte man denken: na ja, vielleicht ist wieder ein Zungendurchschlag nötig? Es zeigt sich,
  101. dass die Division in diesem Zusammenhang, in diesem Kontext einfacher funktioniert, als die Multiplikation. Denn wir wissen, dass diese 1
  102. hier eigentlich auch eine 10 ist, oder eine 100 oder eine 1000 oder 0,1. Genauso ist die 10 am anderen Ende
  103. der Skala auch eine 1 oder eine 10 oder eine 0,1. Das heißt, statt das Ergebnis über der 1 abzulesen, kann ich es auch unter der 10
  104. ablesen. Hier steht 8 und jetzt kommt wieder das Mitdenken ins Spiel: Das Ergebnis von 4 geteilt durch 5 ist natürlich nicht 8 sondern 0,8. Das Komma muss ich im Kopf an der richtigen
  105. Stelle einfügen. Das Schöne am Dividieren ist eben, dass ich diese Rechnung machen kann, ohne den Schieber noch mal anfassen zu müssen. Ich muss nicht die Zunge
  106. durchschieben oder irgendwo anders hinstellen, ich kann einfach ans andere Ende der Skala gehen und unter dem 10er Index das Ergebnis 0,8 direkt ablesen.
  107. Der Rechenschieber kann aber noch viel mehr und das Geheimnis steckt in vielen anderen Skalen, die er noch für uns bereithält. Schauen wir uns mal auf der
  108. Zunge diese rote Skala an, die CI-Skala und da sehen wir schon eine wichtige Besonderheit: Die geht nicht von links nach rechts von 1 bis 10, sondern sie geht von 10 zurück bis
  109. 1. Sie ist quasi die gespiegelte Version der C-Skala. Deswegen ist sie auch rot, das ist bei vielen Rechenschiebern der Fall. Skalen, die nicht von links nach rechts,
  110. sondern von rechts nach links aufsteigend aufgetragen sind, sind manchmal rot. Was nützt mir jetzt diese CI-Skala? Machen mal ein Experiment. Dazu
  111. brauchen wir das erste mal den Läufer hier und wir möchten gerne wissen: Was passiert wenn wir eine Zahl von der C-Skala auf die CI-Skala übertragen?
  112. Zum Beispiel die 2, die hier steht. Wenn ich nach oben gehe, was steht über der 2? Die 5. Behalten wir das mal im Hinterkopf. Was steht über der 4? Da
  113. muss ich aufpassen! Das hier ist nicht die 3,5, denn die CI-Skala ist ja von rechts nach links aufsteigend markiert. Das hier ist die 2,1 ... 2... 3...4...5. Also über der vier steht die 2,5.
  114. Über der 8 steht die 1,25 und jetzt dämmert ees uns schon so langsam, was es mit der CI-Skala auf sich hat. Durch das Spiegeln der C-Skala und
  115. das Darüberlegen der CI-Skala habe ich eine Skala geschaffen, die mir zu jedem Wert auf der C-Skala den Kehrwert berechnet. 1 durch 3 ist natürlich nicht 5,
  116. sondern 0,5. 1 durch 4 ist 0,25. 1 durch 0,4 ist 2,5. Wie auch sonst immer muss ich mir das Komma an der richtigen Stelle berechnen und 1 durch 8
  117. ist 0,125 oder 10 durch 8 ist 1,25. All diese Rechnungen kann ich durchführen. Wenn ich also einen Kehrwert wissen möchte, muss ich einfach nur von der C-Skala auf die CI-Skala gehen und
  118. bin fertig. Natürlich kann ich die Skala auch für andere Zwecke verwenden, denn die Strecke zwischen 1 und 2 auf der CI-Skala bedeutet ja auch ein Faktor 2. Deswegen gibt es viele Tricks
  119. und damals in der Hochzeit der Rechenschieber kannten das die Ingenieure und Wissenschaftler, wie man mit diesen Skalen so rechnet, dass möglichst wenig Zungenbewegungen
  120. oder Läuferbewegungen notwendig sind. Es gibt aber natürlich noch viel, viel mehr. Als nächstes schauen wir uns die A- und B-Skalen an. Ähnlich wie bei der C- und D-Skala befindet
  121. sich die A-Skala auf dem Körper und die B-Skala auf der Zunge. Was passiert hier? Die A-Skala und die B-Skala gehen von 1 nicht bis 10, sondern 1 über 10 bis 100.
  122. Also statt einer Dekade sind hier zwei Dekaden aufgetragen. Um zu sehen was hier aufgetragen ist, machen wieder unser Experiment von vorhin. Wir gehen einfach mal von der D-Skala,
  123. zum Beispiel hier von der 3, mit Hilfe des Läufers nach oben auf die A-Skala und lesen ab: 9. Von der vier auf der D-Skala hoch auf die A-Skala: 10... 15... 16... 4 also zu 16. 5
  124. kommt auf 25. 6 kommt auf 36. Mit anderen Worten: Die Skala ist einfach das Quadrat von der D-Skala. Das ist natürlich sehr praktisch. Jedes mal, wenn ich in einer Rechnung ein Quadrat brauche,
  125. muss ich nicht umständlich mit C und D-Skalen die beiden zahlen multiplizieren, die beiden Faktoren, die jetzt gleich sind, sondern kann einfach von der D-Skala mit Hilfe des Läufers auf die A-Skala
  126. gehen und kann das Ergebnis direkt ablesen. Das ist sehr praktisch. Noch praktischer ist, dass es umgekehrt natürlich auch geht, wenn ich von A zurück auf D gehe, mache ich effektiv
  127. eine Wurzelberechnung welche zahl muss ich mit sich multiplizieren um ein gewisses Ergebnis zu bekommen. Rechnet wir mal die Wurzel aus 11 aus. Das ist jetzt etwas was ich schon nicht mehr im
  128. Kopf so einfach parat hätte. Die Wurzel aus 11: Wir gehen von der A-Skala zurück auf die D-Skala und sehen, das ist eine Zahl, die liegt ein bisschen über 3,1...3,2...ein Bisschen über
  129. 3,3. Die letzte Stelle im Rechenschieber muss ich oft schätzen und das genügt aber für praktische Anwendungen bei Weitem. Also Wurzelziehen und Quadrat-Berechnungen geht mit den A und B-Skalen
  130. zusammen mit den C und D-Skalen. Natürlich kann ich die A und B-Skalen auch für sich selbst benutzen, wenn ich z.B. keine großen Anforderungen an die Genauigkeit habe, kann ich mithilfe der
  131. A und B-Skala den Zungendurchschlag vermeiden. Unsere Rechnung von vorhin, 18 Prozent Trinkgeld auf 9 oder 90 $ Rechnungsbetrag, kann ich mit den A und B-Skalen ebenfalls ja leicht berechnen. 18
  132. Prozent des 1,18, das ist hier. Ich stelle so den Index von B unter 1,18 auf A, gehe mit B nach rechts und über meinen 9 Dollar oder 90 Dollar lese ich ab :10,6. Also 10, 60 Dollar
  133. oder bei 90 Dollar Rechnungsbetrag: 106 Dollar und das habe ich gemacht ohne Zungendurchschlag, denn ich habe ja zum Glück auf der A-Skala noch eine zweite Dekadem die sich hier anschließt.
  134. Der Preis, den ich zahlen muss, ist etwas verringerte Genauigkeit weil natürlich dadurch, dass viel mehr Zahlen auf der A und B-Skala zu liegen kommen, auch die Abstände gröber
  135. sein müssen und ich kann die Zahlen nicht mehr so genau ablesen. Wir haben schon gesehen der Läufer ist sehr nützlich um Zahlen von einer Skala auf eine entfernte Skala zu übertragen
  136. aber er kann noch mehr bei diesen speziellen Modell haben wir insgesamt vier Teilstriche auf dem Läufer. Natürlich kann ich die alle vier irgendwie ganz normal benutzen,
  137. aber es gibt auch bestimmte Teilstücke mit gewissen Bedeutungen und eine sehen wir hier. Da gibt es einen Teilstrich hier, der mit „ps" bezeichnet ist und
  138. einer mit „kw“ also Pferdestärken und Kilowatt. Nun das liegt schon nahe, wofür diese Striche gedacht sind. Wenn ich mal den ps-Strich auf dem Läufer auf die 100 stelle,
  139. dann steht der Strich für Kilowatt bei 73,5 und tatsächlich 100 ps sind 73,5 Kilowatt. Das heißt der Abstand zwischen den beiden Markierungen für Kilowatt und PS auf dem Läufer,
  140. entspricht genau dem Faktor zwischen Kilowatt und PS. Wenn ich also wissen möchte, wie viel PS mein Motorrad hat mit 20 Kilowatt, kann ich einfach den Kilowatt-Strich über die 20 stellen
  141. und die 27 PS ablesen. Wenn man solche Rechnungen öfter machen muss, sind diese Markierungen auf dem Läufer extrem praktisch. Ein anderer Trick wird möglich mit Hilfe der D-Markierung hier und
  142. dem mittleren Teilstrich auf dem Läufer. Mit der D-Markierung und dem mittleren Strich kann ich die Fläche von Kreisen mit einem gewissen Durchmesser sehr effizient und schnell berechnen. Angenommen
  143. ich habe ein Kreis mit Durchmesser 2 Meter, heißt der Radius ist 1 Meter. Rechnen wir schnell im Kopf aus: Radius 1 Meter zum Quadrat mal
  144. pi. Dann ist die Fläche pi Quadratmeter, 3,14 Quadratmeter. Wie sehen wie das hier auf dem Läufer? Wir stellen die D-Markierung hier auf die 2, das ist der Durchmesser des Kreises, und lesen
  145. auf der A-Skala bei der q-Markierung ab: pi. Da gibt es schon eine spezielle Markierung, die ist natürlich wichtig die Markierung für pi. Wir sehen also ein Kreis mit dem Durchmesser 2 hat
  146. die Fläche pi. Ein Kreis mit dem Durchmesser 5, gleicher Trick, hat die Fläche 19,6. Ein Kreis mit dem Durchmesser 6 hat die Fläche 28,5. Also auch das ist eine Rechnung,
  147. wenn ich sie oft brauche, die ich mit dem Rechenschieber und den Markierungen auf dem Läufer sehr schnell effizient machen kann. Gehen wir noch einen schritt höher auf
  148. dem Rechenschieber und schauen uns die Skala über der A-Skala an, die mit K bezeichnet ist, Die K-Skala ist auch komisch geteilt, wie auch A,B,C und D,
  149. aber wir sehen hier, es geht von 1 über 10 und 100 bis 1000. Das heißt statt zweier Dekaden auf und B, hat man auf der K-Skala 3 Dekaden.
  150. Was passiert wenn ich eine 3 auf der D-Skala mit Hilfe des Läuferstrichs auf die K-Skala übertrage ?
  151. Das sehe ich 27. Wenn ich eine 4 übertrage, sehe ich 64. Offensichtlich ist die K-Skala für Kubikzahlen zuständig. Wenn ich eine Zahl hoch 3 nehmen möchte,
  152. muss ich sie nur per Läuferstrich von der D-Skala auf die K-Skala übertragen. 4,5 hoch 3 ist 91. Das ist schön. Hoch drei Rechnen kann vielleicht noch jemand im Kopf,
  153. aber die Umkehrung, Kubikwurzeln, das ist schon etwas höhere Mathematik, aber es geht natürlich genauso leicht. Die Kubikwurzel, die dritte Wurzel aus 40,
  154. also die Zahl, die ich hoch 3 nehmen muss, um 40 zu bekommen, kann ich einfach ablesen indem ich mit dem Läuferstrich von 40 runter auf die D-Skala gehe
  155. und das ist 3,42. Die dritte Wurzel aus 40 ist 3,42 und wer sich mathematisch ein bisschen interessiert der kommt natürlich gleich darauf, dass es noch viel interessantere dinge gibt,
  156. wenn ich zum Beispiel von der K-Skala auf die A-Skala gehe, dann entspricht das ja von K nach D und zurück nach A. Ich ziehe also
  157. die dritte Wurzel und quadriere die dritte Wurzel, gefolgt von Quadratur, ist hoch 2/3. Das heißt die K-Skala und die A-Skala sind so verbunden,
  158. dass sich die Zahl auf der K-Skala hoch 2/3 nehme und bekommen die Zahl auf der A-Skala. Man sieht also: mit sinnvoller Kombination von Skalen und dem Läufer,
  159. sind recht komplexe Rechnungen mit dem Rechenschieber möglich. Zum Schluss schauen wir uns noch die Rückseite des Rechenschiebers an. Hier
  160. handelt es sich um ein Modell von der sogenannten Duplex-Kategorie. Duplex Rechenschieber haben Skalen auf beiden Seiten und wir sehen auch da geht es ziemlich kompliziert
  161. zu. Wir haben viel mehr Skalen noch, aber was die Rückseite gemeinsam hat mir der Vorderseite ist wieder die C und die D-Skala. Also das ist das gleiche, ich kann die gleichen
  162. Rechnungen wie ich auf der Vorderseite mit C und D machen kann, also multiplizieren und dividieren, auch auf der Rückseite machen. Das ist schon mal beruhigend. Dort wo auf der Vorderseite die A- und
  163. B-Skalen sind, befinden sich jetzt Skalen, die mit DF und CF bezeichnet sind. Diese Skalen haben als Spezialität, dass die 1 nicht am linken Rand ist, sondern in der Mitte. Wir wissen ja, dass wir uns
  164. eine Skala wie D auf dem Rechenschieber vorstellen können als sei es eine zum Kreis gebogene Skala. Insofern ist es jetzt nicht schlimm, dass hier die 1 in der Mitte ist,
  165. ich gehe einfach von 1 nach 2 nach 3 rechts raus und komme links wieder zurück mit der 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, und lande wieder bei der 1. Insofern ist es nur eine verschobene Skala, aber um
  166. welchen Betrag ist sie verschoben und wir wissen ja, Verschiebung auf dem Rechenschieber heißt Multiplikation, also ist die eigentliche Frage um welchen Faktor ist die DF-Skala gegenüber
  167. der D-Skala verschoben. Das können wir einfach ablesen. Wir nehmen den Läufer, stellen den Läufer auf den Index der D-Skala, auf 1. gehen nach oben und lesen ab: pi. Also
  168. die frage um welchen Faktor ist die DF-Skala gegenüber der D-Skala verschoben wird beantwortet mit pi. Es sind pi-verschobene Skalen. Natürlich ist es sehr nützlich, denn jetzt kann ich jede
  169. beliebige Zahl mit einer einzigen Einstellung des Läufers mit pi multiplizieren. Also zum Beispiel: 2 mal pi kommt ja oft vor. Ich gehe hier auf die 2, gehe nach oben: 6,28. Richtig ja. Dadurch kann
  170. ich natürlich Berechnungen, die pi beinhalten sehr schnell durchführen, aber natürlich muss es nicht sein, ich kann auch die CF- und DF-Skalen einfach zum Rechnen, zum Multiplizieren und
  171. Dividieren benutzen. Denn es sind ja genauso wie C und D logarithmisch geteilte Skalen und manchmal kann ich durch Benutzung von CF und DF den Zungendurchschlag vermeiden. Auch das
  172. ist was was man damals als grundsätzlichen Skill bei der Benutzung des Schiebers immer drauf hatte, man wusste, welche Skalen man am effizientesten einsetzt, um möglichst wenig
  173. Arbeit mit dem Schieber zu haben dass hier auf der Rückseite die CF- und DF-Skalen sind, die pi verschoben sind, hat noch einen weiteren Grund. Die Rückseite ist mehr für geometrische
  174. und trigonometrische Rechnungen gedacht. Man sieht es auch daran, dass es hier Skalen gibt, die mit S und ST und mit T1 und T2 bezeichnet sind. Von denen möchte ich ganz kurz noch auf
  175. die S-Skala eingehen. Die S-Skala in schwarz geht hier von 5,5 über 20, 25 bis 90 am rechten Rand. Also es scheint so zu sein, als ob hier ein Winkel angetragen wäre und tatsächlich: Mit der S-Skala
  176. kann ich den Sinus von Winkeln berechnen. Machen wir uns zunächst mal eine einfache Aufgabe: Der Sinus von 30 Grad. Wer in der Schule Trigonometrie hatte weiß,
  177. der Sinus von 30 Grad ist 0,5. Wie kann ich das ablesen? Ich nehme mir den Läufer und stelle den Strich auf die 30 der S-Skala, gehe nach oben auf die D-Skala
  178. und lese ab: 5. Natürlich muss ich wissen, dass Sinus-Werte zwischen 0 und 1 liegen und dass bei 30 Grad das einzig sinnvolle Komma bei 0,5 steht, das heißt:
  179. Sinus von 30 Grad ist 0,5. Das ist korrekt. Natürlich geht auch die Umkehrung,: Der Arkussinus von 0,3, das ist die Umkehrfunktion, ist ungefähr bei 17,5
  180. Grad. Die roten Zahlen, die hier aufgetragen sind, sind auf derselben Skala aufgetragen, nur in umgekehrter Richtung. Das heißt, die rote Skala geht am rechten Rand von einer kleinen Zahl
  181. über 20, 30, 40 und so weiter, bis hier: 84,5. Damit kann ich Cosinusse berechnen. Und ich weiß, der Cosinus von 60 Grad, ist das Gleiche wie der Sinus von 30 Grad. Deswegen ist hier 30 in schwarz
  182. und 60 in rot an derselben Markieren aufgetragen und um den Cosinus von 60 Grad zu berechnen, muss ich nur hier hin gehen und wieder nach oben auf die D-Skala und kann das
  183. Ergebnis 0,5 direkt ablesen. Die anderen trigonometrischen Skalen wie ST und T1 und T2 funktionieren ähnlich. Mit ST kann ich den Sinus
  184. und den Tangens von kleinen Winkeln ablesen. Man weiß ja: Bei kleinen Winkeln ist der Sinus ungefähr gleich des Winkels, ungefähr gleich dem Winkel im Bogenmaß und dafür sind diese Skalen
  185. gedacht. Die gehen von 0,55 Grad bis ungefähr 6 Grad. So das war's schon mit unserer kleinen Einführung in den Rechenschieber. Wer Blut geleckt hat, für den ist natürlich das Internet ein Quell
  186. steter Freude: Es gibt ganz viele Youtube Videos ,die in die Untiefen des Rechners einführen. Wer selber ausprobieren möchte, auf Ebay für wenig Geld ganz viele Angebote an billigen
  187. Rechenschieber, mit denen man das ganze wirklich zuhause hands-on selber ausprobieren kann. Unten in den Kommentaren dieses Videos ist auch ein Link zu einem pdf,
  188. mit dem Sie sich selber einen Rechenschieber aus Papier basteln können und die ganzen Experimente, die ich hier vorgeführt habe selber zu hause ausprobieren können. Vielen Dank! [Musik]

Zum Nachlesen

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