Fraktal

Grundidee und mathematischer Rahmen

Ein Fraktal ist ein natürliches oder künstliches Gebilde beziehungsweise geometrisches Muster. Der 1975 von Benoît Mandelbrot geprägte Begriff bezeichnet vor allem Strukturen, die einen hohen Grad an Skaleninvarianz oder Selbstähnlichkeit besitzen: Beim Vergrößern oder Verkleinern treten ähnliche Strukturen wieder auf. Ein Objekt kann etwa aus mehreren verkleinerten Kopien seiner selbst bestehen.

Fraktale unterscheiden sich wesentlich von gewöhnlichen glatten Figuren der euklidischen Geometrie. Während etwa ein Kreis bei starker Vergrößerung einfacher und flacher erscheint, können bei Fraktalen immer neue, komplexe Details sichtbar werden. Untersucht werden sie in der fraktalen Geometrie, die unter anderem mit Funktionentheorie, Berechenbarkeitstheorie und dynamischen Systemen verbunden ist. Zu den namensgebenden Mathematikern gehören neben Mandelbrot Wacław Sierpiński und Gaston Maurice Julia.

Dimension und Selbstähnlichkeit

Die fraktale Dimension verallgemeinert die vertrauten Dimensionen: Linien sind in der traditionellen Geometrie eindimensional, Flächen zweidimensional und räumliche Gebilde dreidimensional. Bei Fraktalen muss die Dimension jedoch nicht ganzzahlig sein. Ein wiederholt berechnetes fraktales Linienmuster kann sich beispielsweise immer weiter über eine Zeichenfläche ausbreiten und sich dadurch einem zweidimensionalen Gebilde annähern.

Mandelbrot verwendete die verallgemeinerte Dimension nach Hausdorff. Seine Definition lautet: Ein Fraktal ist eine Menge, deren Hausdorff-Dimension größer ist als ihre Lebesgue’sche Überdeckungsdimension. Jede Menge mit nicht-ganzzahliger Dimension ist somit ein Fraktal; die Umkehrung gilt aber nicht. Fraktale können auch ganzzahlige Dimension besitzen, beispielsweise das Sierpinski-Tetraeder. Strecken, Parallelogramme wie Quadrate und Würfel sind trotz ihrer Zerlegbarkeit in verkleinerte Kopien keine Fraktale, weil bei ihnen Ähnlichkeits-Dimension und Lebesgue’sche Überdeckungsdimension übereinstimmen.

Besteht ein Fraktal aus gleich stark verkleinerten Kopien seiner selbst, wird die Ähnlichkeits-Dimension D verwendet; in diesen einfachen Fällen stimmt sie mit der Hausdorff-Dimension überein:

D = log(Anzahl selbstähnlicher Teile) / log(Verkleinerungsfaktor).

Das Sierpinski-Dreieck besteht aus drei Kopien mit halber Seitenlänge. Seine Ähnlichkeits-Dimension beträgt daher log 3 / log 2 ≈ 1,585, seine Lebesgue’sche Überdeckungsdimension ist 1. Selbstähnlichkeit kann auch nur statistisch vorliegen; dann spricht man von Zufallsfraktalen. Selbstähnlichkeit und fraktale Dimensionen kennzeichnen auch fraktales Wachstum, etwa diffusionsbegrenztes Wachstum.

Wichtige Beispiele

Bekannte Fraktale sind meist in der zweidimensionalen euklidischen Ebene oder im dreidimensionalen euklidischen Raum definiert. Die Mandelbrot-Menge und die Julia-Mengen sind Teilmengen der Gaußschen Zahlenebene; die Mandelbrot-Menge wird auch „Apfelmännchen“ genannt. Ein Ausschnitt ihres Randes kann Ähnlichkeit mit einer Julia-Menge zeigen.

Die Koch-Kurve oder Schneeflockenkurve ist ein einfaches zweidimensionales Fraktal, das durch Begrenzungslinie und Iterationsschritte definiert wird. In vollständiger Form ist sie spiegel-, punkt- und 6-zählig drehsymmetrisch. Ihre Hausdorff-Dimension am Rand beträgt log(4) / log(3) ≈ 1,262. Die Hilbert-Kurve ist spiegelsymmetrisch und raumfüllend, die Peano-Kurve punktsymmetrisch und raumfüllend; beide lassen sich auf höhere Dimensionen verallgemeinern.

Das Sierpinski-Dreieck beruht auf selbstähnlichen Dreiecken und besitzt dreidimensional als Variante das Sierpinski-Tetraeder beziehungsweise die Sierpinski-Pyramide. Verallgemeinerungen in höheren Dimensionen heißen Sierpinski-Simplexe. Weitere dreidimensionale Beispiele sind der Menger-Schwamm und die Sierpinski-Pyramide auf Basis eines Tetraeders. Der Pythagoras-Baum ist aus Quadraten aufgebaut, die wie im Satz des Pythagoras angeordnet sind. Das Newton-Fraktal entsteht mit dem Newton-Verfahren zur Nullstellenberechnung. Fraktale Kurven wurden wegen ihrer als seltsam empfundenen Eigenschaften früher auch Monsterkurven genannt.

Erzeugung, regelmäßige Formen und Anwendungen

Allen Verfahren zur Erzeugung von Fraktalen ist ein rekursives Vorgehen gemeinsam: Eine Regel wird wiederholt auf ihr eigenes Ergebnis angewandt. Bei der Iteration von Funktionen entsteht beispielsweise die Mandelbrot-Menge. Iterierte Funktionensysteme (IFS) kombinieren mehrere Funktionen und können natürliche Gebilde erzeugen. Dynamische Systeme liefern fraktale Gebilde, die seltsame Attraktoren heißen.

L-Systeme beruhen auf wiederholter Textersetzung und eignen sich besonders für Pflanzen- und Zellstrukturen. Dabei stehen Großbuchstaben wie F, R und L für zu ersetzende Streckenabschnitte. + und − bedeuten Drehungen um einen festgelegten Winkel im oder gegen den Uhrzeigersinn; | ist eine Kehrtwendung des Zeichenstiftes um 180°. Bei der Drachenkurve lautet ein Beispiel: F → R, R → +R--L+, L → -R++L-. Die Ersetzungen werden mehrfach wiederholt und für die Zeichnung nach einer endlichen Stufe abgebrochen.

Die Übersicht regelmäßiger Fraktale nennt unter anderem Drachenkurve, Gosper-Kurve, Hilbert-Kurve, Koch-Flocke, Peano-Kurve, Penta Plexity, Pfeilspitze, Sierpinski-Dreieck, Sierpinski-Teppich und Lévy-C-Kurve. Für die Lévy-C-Kurve ist die Hausdorff-Dimension des Randes ungefähr 1,9340 angegeben. Fraktalgeneratoren ermöglichen es, Fraktale auch ohne Kenntnisse der mathematischen Grundlagen darzustellen.

Fraktale werden wegen ihres Formenreichtums und ästhetischen Reizes in der digitalen Kunst und der Fraktalkunst verwendet. Außerdem dienen sie der computergestützten Simulation formenreicher Strukturen wie realitätsnaher Landschaften. Fraktalantennen werden in der Funktechnik eingesetzt, um verschiedene Frequenzbereiche zu empfangen.

Fraktale und Zufallsfraktale in der Natur

In der Natur ist die Zahl der Stufen selbstähnlicher Strukturen begrenzt und beträgt oft nur drei bis fünf. Fraktale oder annähernd fraktale Strukturen finden sich etwa bei Romanesco, Blumenkohl und Farnen. Häufig liegt keine strenge, sondern statistische Selbstähnlichkeit vor: Baumzweige ähneln ungefähr einem verkleinerten Baum, jedoch nicht exakt. Beispiele sind Radiolarien, Bäume, Blutgefäße, Flusssysteme und Küstenlinien. Bei Küstenlinien lässt sich deshalb keine exakte Länge bestimmen: Je genauer Feinheiten gemessen werden, desto größer wird die gemessene Länge. Bei einem mathematischen Fraktal wie der Kochkurve wäre sie unbegrenzt.

Fraktale Strukturen werden auch als Erklärungsmodelle chemischer Reaktionen eingesetzt, etwa bei Oszillatoren wie der Belousov-Zhabotinsky-Reaktion. Sie treten zudem bei Kristallwachstum, beim Entstehen von Mischungen wie einem Tropfen Farblösung in Wasser und bei Lichtenberg-Figuren auf. Das Auffasern von Bast wird über die fraktale Geometrie von Naturfaserfibrillen erklärt; insbesondere die Flachsfaser ist eine fraktale Faser.

Zufallsfraktale werden nach probabilistischen Regeln erzeugt, etwa durch Wachstumsprozesse. Beim diffusionsbegrenzten Wachstum nach Witten und Sander entstehen baumartige Strukturen, beim „Tumorwachstum“ eher runde Strukturen; entscheidend ist die Art, wie neue Teilchen an vorhandene Aggregate angelagert werden. Hängen fraktale Exponenten beispielsweise von der Entfernung zu einem zentralen Punkt des Aggregats ab, statt konstant zu sein, handelt es sich um Multifraktale. Als Naturbeispiele werden unter anderem Bäume, Mangan-Dendriten, Bakterienschwärme, Eisblumen, Schneeflocken, kristallisierter Honig und Basaltsäulen genannt.