Divisor

Grundidee und Bedeutung

Ein Divisor ist ein mathematisches Hilfsmittel der algebraischen Geometrie und der komplexen Analysis. Er beschreibt insbesondere, wo Funktionen Nullstellen und Polstellen besitzen und welche Ordnungen diese haben. Dadurch verbindet er Eigenschaften rationaler oder meromorpher Funktionen mit der Geometrie algebraischer Varietäten beziehungsweise komplexer Mannigfaltigkeiten.

Man unterscheidet vor allem Weil-Divisoren und Cartier-Divisoren. Beide Begriffe stimmen unter bestimmten Voraussetzungen überein. Im eindimensionalen Fall besteht eine zentrale Frage darin, ob sich ein vorgegebener Divisor tatsächlich als Null- und Polstellenverteilung einer rationalen oder meromorphen Funktion verwirklichen lässt. Die Antwort hängt eng von der Geometrie der betrachteten Kurve oder Fläche ab.

Divisoren in der Funktionentheorie

Sei Ω ⊆ ℂ ein Gebiet oder eine riemannsche Fläche. Ein Divisor auf Ω ist eine Abbildung D: Ω → ℤ, deren Träger

T := {z ∈ Ω : D(z) ≠ 0}

in Ω abgeschlossen und diskret ist. Diskret bedeutet hier, dass die Punkte des Trägers keine Häufungspunkte in Ω besitzen. Der Wert D(z) gibt eine ganzzahlige Vielfachheit am Punkt z an.

Die Menge aller Divisoren bildet bezüglich der punktweisen Addition eine abelsche Gruppe, bezeichnet mit Div(Ω). Auf ihr ist eine partielle Ordnung definiert: Für D, D′ ∈ Div(Ω) gilt D ≤ D′ genau dann, wenn D(x) ≤ D′(x) für jedes x ∈ Ω gilt.

Jede von Null verschiedene meromorphe Funktion f: Ω → ℂ bestimmt einen Divisor (f). Für jeden Punkt x gilt:

• (f)(x) = 0, wenn f bei x holomorph und nicht null ist. • (f)(x) = k, wenn f bei x eine Nullstelle der Ordnung k besitzt. • (f)(x) = −k, wenn f bei x eine Polstelle der Ordnung k besitzt.

Positive Werte stehen somit für Nullstellen, negative Werte für Polstellen. Ein Divisor, der gleich (f) für eine meromorphe Funktion f ist, heißt Hauptdivisor.

Nach dem weierstraßschen Produktsatz ist in ℂ jeder Divisor ein Hauptdivisor. Auf einer kompakten riemannschen Fläche gilt dies dagegen nicht allgemein; die Möglichkeit einer solchen Darstellung hängt vom Geschlecht der Fläche ab und steht mit dem Satz von Riemann-Roch in Zusammenhang.

Divisoren auf algebraischen Kurven

Sei C eine ebene algebraische Kurve. Ein Divisor auf C ist eine formale Summe

D = ∑_{P∈C} a_P · P mit a_P ∈ ℤ,

wobei a_P = 0 für alle bis auf endlich viele Punkte P gilt. „Formal“ bedeutet, dass Punkte der Kurve mit ganzzahligen Koeffizienten zusammengefasst werden. Durch punktweise Addition bilden alle diese Divisoren eine freie abelsche Gruppe.

Für eine rationale Funktion auf C definiert man entsprechend den Divisor der Funktion, indem ihre Null- und Polstellen mit den jeweiligen Ordnungen erfasst werden. Ein Divisor, der von einer rationalen Funktion stammt, heißt auch hier Hauptdivisor.

Für C = ℂ liefert die Zuordnung P ↦ a_P einen Divisor im funktionentheoretischen Sinn. Umgekehrt entsteht jedoch nicht jeder funktionentheoretische Divisor aus einer solchen endlichen formalen Summe: In der Funktionentheorie dürfen unendlich viele Punkte P mit a_P ≠ 0 vorkommen, solange sie keinen Häufungspunkt im Gebiet haben.

Weil-Divisoren

Für die allgemeine Definition sei X ein noethersches, integres und separiertes Schema, das in Kodimension 1 regulär ist. Ein Primdivisor Y in X ist ein abgeschlossenes ganzes Unter-Schema der Kodimension 1. Ein Weil-Divisor ist ein Element der von den Primdivisoren frei erzeugten abelschen Gruppe Div X. Er wird als formale Summe

D = ∑_j a_j · Y_j mit a_j ∈ ℤ

geschrieben, wobei nur endlich viele Koeffizienten a_j von null verschieden sind.

Ein Weil-Divisor heißt effektiv oder positiv, wenn a_j ≥ 0 für alle j gilt.

Eine von Null verschiedene rationale Funktion f auf X bestimmt einen Weil-Divisor. Für jeden Primdivisor Y bezeichnet v(f,Y) die Bewertung von f in dem diskreten Bewertungsring, der zu einem generischen Punkt von Y gehört. Diese Bewertung ist von der Wahl des generischen Punktes unabhängig. Im eindimensionalen Fall entspricht sie der Ordnung der Nullstelle beziehungsweise der Polstelle von f. Der Divisor von f lautet

(f) := ∑_Y v(f,Y) · Y.

Nur für endlich viele Primdivisoren ist v(f,Y) von null verschieden. Deshalb ist diese Summe tatsächlich ein Weil-Divisor. Ein Weil-Divisor, der auf diese Weise von einer rationalen Funktion stammt, heißt Hauptdivisor.

Zwei Weil-Divisoren heißen linear äquivalent, wenn ihre Differenz ein Hauptdivisor ist. Der Quotient der Gruppe Div X nach dieser Äquivalenz heißt Divisorenklassengruppe und wird mit Cl X bezeichnet.

Cartier-Divisoren und ihr Verhältnis zu Weil-Divisoren

Sei X eine komplexe Mannigfaltigkeit beziehungsweise eine algebraische Varietät. Mit 𝒪 wird die Garbe der holomorphen beziehungsweise algebraischen Funktionen auf X bezeichnet, mit ℳ die Garbe der meromorphen beziehungsweise rationalen Funktionen. Eine Garbe fasst dabei lokal definierte Funktionen und ihre Verträglichkeit auf überlappenden Bereichen zusammen.

Die Quotientengarbe

𝒟 := ℳ* / 𝒪*

heißt Garbe der Divisoren. Dabei stehen ℳ* und 𝒪* für die jeweils invertierbaren, also nicht verschwindenden Elemente. Ein Schnitt dieser Quotientengarbe heißt Cartier-Divisor, häufig verkürzt einfach Divisor. Alle globalen Schnitte

Γ(X, ℳ*/𝒪*)

bilden eine abelsche Gruppe.

Ein Cartier-Divisor heißt Hauptdivisor, wenn er im Bild der natürlichen Abbildung

Γ(X, ℳ*) → Γ(X, ℳ*/𝒪*)

liegt. Er ist dann der Divisor einer nicht verschwindenden meromorphen Funktion. Zwei Cartier-Divisoren heißen linear äquivalent, wenn ihr Quotient ein Hauptdivisor ist. Die entsprechende Quotientengruppe wird mit CaCl X bezeichnet.

Zwischen beiden Divisorbegriffen besteht unter einer wichtigen Voraussetzung eine genaue Übereinstimmung: Ist X ein noethersches, integres und separiertes Schema, dessen lokale Ringe alle faktoriell sind, dann ist die Gruppe Div X der Weil-Divisoren isomorph zur Gruppe Γ(X, ℳ*/𝒪*) der Cartier-Divisoren. Dieser Isomorphismus erhält die Eigenschaft, ein Hauptdivisor zu sein. Daher führt er auch die Divisorenklassengruppen Cl X und CaCl X ineinander über.