Dezimalbruch

Bedeutung und Aufbau

Ein Dezimalbruch, auch Dezimalzahl genannt, ist die Darstellung einer reellen Zahl im Dezimalsystem ohne Bruchstrich. Er verbindet einen ganzzahligen Teil mit einem gebrochenen Teil und eignet sich dadurch besonders für numerische Rechnungen. Auch reelle Zahlen, die nicht ganzzahlig und nicht als gewöhnlicher Bruch darstellbar sind, können so geschrieben werden.

Eine vorzeichenlose ganze Dezimalzahl hat die Form zₘzₘ₋₁…z₀. Jede Stelle enthält eine der zehn Dezimalziffern; ihre Stellenwerte sind in derselben Reihenfolge 10ᵐ, 10ᵐ⁻¹, …, 10⁰. Rechts davon folgen die Stellenwerte 10⁻¹, 10⁻², 10⁻³, … beziehungsweise 1/10, 1/100, 1/1000, … . Die erste Nachkommastelle steht für Zehntel, die zweite für Hundertstel und so weiter.

Ein Dezimalbruch 0,a₁a₂a₃… bedeutet daher 0 + a₁/10 + a₂/100 + a₃/1000 + … = Σᵢ₌₁^∞ aᵢ · 10⁻ⁱ. Die Ziffern geben somit die jeweiligen Anteile an den Zehnteln, Hundertsteln, Tausendsteln und weiteren Zehnerpotenzen an.

Schreibweise, Genauigkeit und Sprechweise

Zwischen Einerstelle und Zehntelstelle steht das Dezimalzeichen; im deutschsprachigen Raum ist dies das Komma. Der gebrochene Teil heißt Nachkommastellen. Ein endlicher Dezimalbruch zₘzₘ₋₁…z₀,z₋₁z₋₂…z₋ₙ hat den Wert Σᵢ₌₋ₙ^m zᵢ · 10ⁱ. Im allgemeinen Fall werden unendlich viele Nachkommastellen geschrieben, und der Wert ist Σᵢ₌₋∞^m zᵢ · 10ⁱ.

Lange Ziffernfolgen werden zur besseren Lesbarkeit in Dreiergruppen gegliedert. Nach ISO soll dafür ein geschütztes schmales Leerzeichen als Tausendertrennzeichen verwendet werden; Punkte sind hierfür missverständlich, weil sie in Teilen der Welt als Dezimalzeichen dienen. Aus 76543210,98765 wird in Deutschland und Österreich beispielsweise 76 543 210,987 65.

Bei Messwerten kann die Zahl der angegebenen Kommastellen eine Genauigkeit andeuten. x = 3,2 bezeichnet dann das Intervall x ∈ [3,15; 3,25], während x = 3,0 für x ∈ [2,95; 3,05] stehen kann. Die zusätzliche Stelle zeigt dabei, welche Genauigkeit nach einer Fehlerrundung erhalten bleiben soll.

Der ganzzahlige Teil wird wie eine gewöhnliche Zahl gesprochen. Für den Bruchteil sind verschiedene Formen möglich, etwa bei 3,215: „drei-und-zweihundertfünfzehn-Tausendstel“, „drei-Komma-zwei-Zehntel-ein-Hundertstel-fünf-Tausendstel“ oder „drei-Komma-zwei-eins-fünf“. Die letzte Form ist im Schulunterricht am häufigsten. Geldbeträge werden anders gelesen: 2,59 € heißt „zwei Euro neunundfünfzig Cent“; „Cent“ und gegebenenfalls „Euro“ werden manchmal weggelassen.

Endliche, periodische und irrationale Dezimalbrüche

Die Umrechnung einer reellen Zahl in einen Dezimalbruch heißt Dezimalbruchentwicklung. Es gibt drei grundlegende Fälle:

• Ein Dezimalbruch ist unendlich periodisch, wenn sich seine Ziffern ab einer bestimmten Stelle wiederholen. Er entsteht aus dem Quotienten zweier ganzer Zahlen; die Zahl heißt dann rational. Beispiele sind 11/30 = 0,36666… und 30/11 = 2,727272… .

• Ein Dezimalbruch ist endlich oder abbrechend, wenn ab einer bestimmten Stelle nur noch Nullen folgen. Beispiele sind 37/100 = 0,37, 3/4 = 0,75 und 8/4 = 2. Ein vollständig gekürzter Bruch besitzt genau dann eine endliche Dezimaldarstellung, wenn sein Nenner ausschließlich die Primfaktoren 2 und 5 enthält. Die größere Anzahl von 2en oder 5en in der Primfaktorzerlegung des Nenners gibt die maximale Zahl der Nachkommastellen an.

• Ein Dezimalbruch ist unendlich nicht periodisch, wenn sich die Ziffern ohne Ende fortsetzen, ohne sich periodisch zu wiederholen. Die Zahl ist dann irrational und kann überhaupt nicht als gewöhnlicher Bruch dargestellt werden. Beispiele sind √2, die Kreiszahl π und die Eulersche Zahl e.

Bei einem Bruch mit Nenner m erhält man die Länge der Periode, indem man zunächst alle Primfaktoren 2 und 5 aus m entfernt. Für den verbleibenden Nenner m̂ ist die Periodenlänge die kleinste Zahl n, für die 10ⁿ bei Division durch m̂ den Rest 1 ergibt. Bei 1000/37 gilt dies für n = 3, denn 1000 lässt bei Division durch 37 den Rest 1. Ein Nenner 1480 = 2³ · 5 · 37 führt deshalb zu drei periodischen Nachkommastellen.

Perioden, Umkehrung und doppelte Darstellung

Eine Periode ist die kürzest mögliche Ziffernfolge, die sich nach dem Komma immer wiederholt. Bei rein periodischen Dezimalbrüchen beginnt sie direkt nach dem Komma, etwa 1/3 = 0,33333…, 1/7 = 0,142857142857… und 1/9 = 0,11111… . Bei gemischt periodischen Dezimalbrüchen steht zunächst eine Vorperiode: 2/55 = 0,036363636… hat die Vorperiode 0 und die Periodenlänge 2, 1/30 = 0,03333… die Vorperiode 0 und die Periodenlänge 1, 1/6 = 0,16666… die Vorperiode 1 und die Periodenlänge 1. Auch endliche Dezimalbrüche zählen nach Einfügung unendlich vieler Nullen als periodisch, zum Beispiel 0,12 = 0,12000… . Eine Periode wird gewöhnlich durch einen Überstrich gekennzeichnet, etwa 1/6 = 0,1̅6 und 1/7 = 0,̅142857. Die Periode 0 bei einem endlichen Dezimalbruch, beispielsweise 0,125̅0, wird normalerweise nicht geschrieben.

Zur Umwandlung eines periodischen Dezimalbruchs in einen gewöhnlichen Bruch gilt bei einer unmittelbar beginnenden Periode: Die Periodenziffern kommen in den Zähler, und im Nenner stehen so viele Neunen, wie die Periode Stellen hat. Beispiele sind 0,̅5 = 5/9, 0,̅3 = 3/9 = 1/3, 0,̅42 = 42/99 = 14/33 und 0,̅081 = 81/999 = 3/37. Beginnt die Periode nicht direkt nach dem Komma, kann man mit einer Zehnerpotenz erweitern. So ergibt sich 0,8̅3 = 5/6.

Allgemein multipliziert man den Dezimalbruch zunächst so mit einer Zehnerpotenz, dass eine Periode vor dem Komma steht, und ein zweites Mal so, dass sie direkt hinter dem Komma beginnt. Beim Subtrahieren fallen die periodischen Nachkommastellen weg. Für x = 4,92̅36 gilt: 10000x = 49236,3636… und 100x = 492,3636…, also 9900x = 48744 und damit x = 48744/9900 = 1354/275.

Jeder endliche Dezimalbruch besitzt außerdem eine zweite Darstellung mit der Periode 9. Es gilt 0,̅9 = 9/9 = 1 = 1,̅0. Daher ist beispielsweise 37,233999… = 37,234000… = 37,234. Eine Darstellung einer rationalen Zahl ist erst dann eindeutig, wenn Darstellungen mit der Periode 9 ausgeschlossen werden.

Historische Entwicklung

Die Arabische Zahlschrift verbreitete sich in Europa ab dem 13. Jahrhundert trotz verschiedener Schwierigkeiten. Der Dezimalbruch wurde vermutlich mehrfach entwickelt: im 15. Jahrhundert durch Frances Pellos und Giovanni Bianchini sowie gegen Ende des 16. Jahrhunderts erneut durch Simon Stevin und Christophorus Clavius. Die heutige Schreibweise mit einem Dezimalzeichen ist bereits in den trigonometrischen Tabellen von Bartholomäus Pitiscus aus dem Jahr 1612 und anschließend in John Napiers Artikeln über Logarithmen aus den Jahren 1614 und 1619 belegt.