Ausdehnungskoeffizient

Grundidee und Arten

Der Ausdehnungskoeffizient CTE (coefficient of thermal expansion) ist ein Kennwert dafür, wie stark sich die Abmessungen eines Stoffes bei einer Temperaturänderung verändern. Ursache ist die Wärmeausdehnung. Der Wert ist stoffspezifisch, hängt aber oft selbst von der Temperatur ab; deshalb wird er für eine Bezugstemperatur oder für einen Temperaturbereich angegeben.

Man unterscheidet den Längenausdehnungskoeffizienten α, den Flächenausdehnungskoeffizienten β und den Raumausdehnungskoeffizienten γ. Für isotrope Werkstoffe, also Stoffe mit gleichem Verhalten in alle Raumrichtungen, gilt wegen der kleinen Zahlenwerte meist näherungsweise: β = 2α und γ = 3α. Bei anisotropen Stoffen hängt der Ausdehnungskoeffizient von der Richtung ab.

Längenausdehnung

Der Längenausdehnungskoeffizient α beschreibt die relative Längenänderung eines Festkörpers bei einer Temperaturänderung. Er hat die Einheit K^{-1}. Für einen Körper der Länge L ist er definiert durch: α L = dL/dT.

Ist α temperaturabhängig, gilt für die Länge: L(T) = L(T0) · exp(∫ von T0 bis T α(T) dT). Ist α konstant, folgt bei ΔT = T − T0: L = L0 · exp(α · ΔT). Für die meisten Anwendungen genügt die lineare Näherung: L ≈ L0(1 + α · ΔT). Daraus folgt für die Längenänderung: ΔL ≈ α · L0 · ΔT.

Ein Beispiel aus dem Artikel: Aluminium hat α = 23,1 · 10^{-6} K^{-1}. Ein 1000 m langes Aluminiumstück verlängert sich bei einer Temperaturerhöhung um 1 K um 23,1 mm. Ein 8 m langes Aluminiumstück, das um 70 K erwärmt wird, dehnt sich um etwa 13 mm aus. Solche Effekte müssen etwa bei Solarmodulen mit Aluminiumrahmen durch flexible oder verschiebbare Befestigungen berücksichtigt werden.

Raumausdehnung und Dichte

Der Raumausdehnungskoeffizient γ beschreibt die relative Volumenänderung eines Körpers bei einer Temperaturänderung. Er hat ebenfalls die Einheit K^{-1} und ist definiert durch: γ = (1/V)(∂V/∂T)_{p,N}. Dabei werden Druck p und Teilchenzahl N konstant gehalten.

Analog zur Längenausdehnung gilt bei temperaturabhängigem γ: V(T) = V(T0) · exp(∫ von T0 bis T γ(T) dT). Für konstantes γ: V = V0 · exp(γ · ΔT). Für kleine Temperaturänderungen nutzt man oft die Näherung: V ≈ V0(1 + γ · ΔT).

Da die Masse m = ρ(T) · V(T) erhalten bleibt, sinkt bei den meisten Stoffen die Dichte ρ, wenn die Temperatur steigt. Der Zusammenhang lautet: γ = −(1/ρ)(∂ρ/∂T)_p. Ist γ(T) bekannt, kann die Dichte mit ρ(T) = ρ(T0) · exp(−∫ von T0 bis T γ(T) dT) berechnet werden.

Meist ist der Ausdehnungskoeffizient positiv. Ausnahmen sind Dichteanomalien: Wasser hat zwischen 0 und 4 °C in bestimmten Bereichen einen negativen Ausdehnungskoeffizienten; bei 4 °C liegt sein Dichtemaximum, dort ist γ = 0 K^{-1}. Einige Glaskeramiken haben nahezu verschwindend kleine Ausdehnungskoeffizienten.

Zusammenhang der Koeffizienten

Für isotrope Festkörper kann man die Volumenausdehnung näherungsweise mit γ = 3α berechnen. Diese Formel gilt streng als Grenzwert für sehr kleine Temperaturdifferenzen. Bei größeren Temperaturdifferenzen entstehen Abweichungen: Bei Aluminium beträgt der relative Fehler für ΔT = 50 K etwa −0,1 %, bei ΔT = 200 K fast −0,5 %. Die einfache Formel liefert dann einen etwas zu niedrigen Wert für γ.

Für endliche Temperaturdifferenzen ergibt sich aus der Ausdehnung eines Würfels eine genauere Beziehung zwischen mittlerem linearem Ausdehnungskoeffizienten ᾱ und mittlerem kubischem Ausdehnungskoeffizienten γ̄: γ̄ = (ΔT)^2 · (ᾱ)^3 + 3 · ΔT · (ᾱ)^2 + 3 · ᾱ. Wenn ΔT gegen 0 geht, bleibt daraus γ = 3α.

Praktisch werden Ausdehnungskoeffizienten oft über größere Temperaturdifferenzen bestimmt, weil sehr kleine Differenzen schwer genau zu messen sind. Für Anfangstemperatur T0 und Endtemperatur T2 gelten die Grundgleichungen: l2 = l0(1 + ᾱ(T2 − T0)) und V2 = V0(1 + γ̄(T2 − T0)). Für Längen, Volumina, spezifische Volumina v und Dichten ρ gilt: (l2/l0)^3 = V2/V0 = v2/v0 = ρ0/ρ2 = 1 + γ̄(T2 − T0) = (1 + ᾱ(T2 − T0))^3.

Typische Werte und Stoffgruppen

Bei Feststoffen verwendet man meist Längenausdehnungskoeffizienten. Viele Metalle liegen bei 20 °C im Bereich einiger bis einiger zehn 10^{-6} K^{-1}: Aluminium 23,1 · 10^{-6} K^{-1}, Eisen 11,8 · 10^{-6} K^{-1}, Kupfer 16,5 · 10^{-6} K^{-1}, Wolfram 4,5 · 10^{-6} K^{-1}. Die Legierung Invar wurde wegen ihres sehr kleinen Ausdehnungskoeffizienten entwickelt; angegeben sind 0,55 bis 1,2 · 10^{-6} K^{-1}. Kunststoffe liegen meist deutlich höher, in der Regel größer als 50 · 10^{-6} K^{-1}; Beispiele sind Polyethylen (HD-PE) mit 150 bis 200 · 10^{-6} K^{-1} und Polypropylen mit 100 bis 200 · 10^{-6} K^{-1}.

Bei anisotropen Feststoffen sind die Werte richtungsabhängig. Holz dehnt sich quer zur Faser etwa zehnmal stärker aus als längs der Faser. Kohlenstofffasern können in Faserrichtung sogar einen leicht negativen Ausdehnungskoeffizienten haben; CFK kann daher so gestaltet werden, dass Bauteile in gewünschten Richtungen kaum ihre Größe ändern.

Für Flüssigkeiten wird normalerweise der Raumausdehnungskoeffizient γ angegeben, weil ihre Form vom Gefäß bestimmt wird. Flüssigkeiten dehnen sich isotrop aus und haben meist deutlich größere Ausdehnungskoeffizienten als Feststoffe, häufig in 10^{-3} K^{-1}. Wasser hat bei 0 °C γ = −0,068 · 10^{-3} K^{-1}, bei etwa 20 °C γ = 0,2064 · 10^{-3} K^{-1} und bei 100 °C γ = 0,782 · 10^{-3} K^{-1}. Quecksilber liegt bei 20 °C bei 0,1811 · 10^{-3} K^{-1}. Organische Flüssigkeiten wie Methanol, Ethanol, Aceton oder Benzol liegen häufig etwa zwischen 0,5 und 1,6 · 10^{-3} K^{-1}.

Gase unter Normaldruck und weit oberhalb des Siedepunktes verhalten sich näherungsweise wie ideale Gase. Für ein ideales Gas gilt bei isobarer Ausdehnung: γ = 1/T_abs. Bei 0 °C ist γ = 1/273,15 K ≈ 0,003661 K^{-1}, bei 20 °C ist γ = 1/293,15 K ≈ 3,411 · 10^{-3} K^{-1}. Mit steigender absoluter Temperatur nimmt der Ausdehnungskoeffizient idealer Gase ab.

Berechnung und technische Bedeutung

Der mittlere Raumausdehnungskoeffizient kann aus Dichten oder spezifischen Volumina berechnet werden. Für zwei Temperaturen T0 und T2 mit T2 > T0 gilt: ρ0/ρ2 = 1 + γ_mittl. · (T2 − T0). Daraus folgt: γ_mittl. = ((ρ0/ρ2) − 1)/(T2 − T0). Alternativ: γ_mittl. = ((v2/v0) − 1)/(T2 − T0). Spezifische Volumina v sind den Dichten entgegengesetzt proportional.

Mittlere Ausdehnungskoeffizienten sind oft nützlicher als Werte für eine einzelne Temperatur, weil sie die tatsächliche Änderung zwischen zwei Temperaturen besser beschreiben. Beispielwerte aus dem Artikel zeigen: Von 0 auf 20 °C nimmt das Volumen von Wasser um +0,164 % zu, das von Quecksilber um +0,365 %. Von 20 bis 100 °C steigen die Volumen um +4,16 % bei Wasser und +1,46 % bei Quecksilber.

In Behältern beeinflussen unterschiedliche Ausdehnungskoeffizienten von Flüssigkeit und Behältermaterial den Füllgrad φ = V_F/V_B. Wenn sich Flüssigkeit und Behälterwand bei Erwärmung unterschiedlich stark ausdehnen, ändert sich der prozentuale Füllgrad. Die im Artikel angegebene Formel lautet: Δφ = [V_F^0 · ΔT · (γ_F − 3α_B)]/[V_B^0 · (1 + 3α_B · ΔT)] · 100 %. Dabei ist γ_F der Volumenausdehnungskoeffizient der Flüssigkeit und α_B der Längenausdehnungskoeffizient des Behältermaterials.

Zusammenfassend steigen positive Ausdehnungskoeffizienten bei Feststoffen und Flüssigkeiten mit wachsender Temperatur meist an; enge Bereiche mit Dichteanomalien können negative Werte zeigen. Gase haben positive Ausdehnungskoeffizienten, die bei konstantem Druck mit steigender Temperatur abnehmen. Kurz vor der kritischen Temperatur einer Flüssigkeit nehmen die Ausdehnungskoeffizienten stark zu; am kritischen Punkt werden Flüssigkeit und Dampf identisch. Der Artikel merkt an, dass die Angabe „unendlich“ für den kritischen Punkt bei Wasser problematisch sei.