Divisionsalgebra

Begriff und Definition

Eine Divisionsalgebra ist eine nicht notwendigerweise assoziative Algebra D\neq\{0\}. Für alle a,b\in D mit a\neq0 müssen die Gleichungen a\times x=b und y\times a=b jeweils genau eine Lösung x,y\in D haben. Man kann also von links und von rechts durch jedes von null verschiedene Element dividieren. \times bezeichnet dabei die Multiplikation der Algebra.

Ist die Divisionsalgebra endlichdimensional, ist diese Eigenschaft gleichbedeutend damit, dass sie keine Nullteiler besitzt: Aus einem Produkt von zwei Elementen kann dann nicht null werden, wenn beide Faktoren von null verschieden sind. Besitzt D ein Einselement 1 mit a\times1=1\times a=a für alle a\in D, heißt sie Divisionsalgebra mit Eins.

Beispiel ohne Einselement

Ein Beispiel ist eine Algebra mit den Elementen e_1 und e_2, die mit beliebigen reellen Zahlen multipliziert werden können. Ihre Multiplikation ist durch

• e_1\times e_1=+e_1
• e_1\times e_2=-e_2
• e_2\times e_1=-e_2
• e_2\times e_2=-e_1

definiert. Sie ist eine Divisionsalgebra ohne Einselement.

Mögliche Dimensionen über den reellen Zahlen

Jede endlichdimensionale Divisionsalgebra über den reellen Zahlen hat die Dimension 1, 2, 4 oder 8. Dies bewiesen John Milnor und Michel Kervaire 1958 mit topologischen Methoden.

Die vier reellen normierten Divisionsalgebren mit Eins sind bis auf Isomorphie die reellen Zahlen, die komplexen Zahlen, die Quaternionen und die Oktaven, auch Oktonionen oder Cayley-Zahlen genannt. Dieses Ergebnis heißt Satz von Hurwitz (1898). Die reellen Zahlen, komplexen Zahlen und Quaternionen erfüllen das Assoziativgesetz; die Oktaven nicht.

Nach dem Satz von Frobenius (1877) ist jede reelle, endlichdimensionale und assoziative Divisionsalgebra isomorph zu den reellen Zahlen, komplexen Zahlen oder Quaternionen. Der Satz von Hopf von Heinz Hopf (1940) besagt außerdem: Jede reelle, endlichdimensionale kommutative Divisionsalgebra hat als reeller Vektorraum höchstens die Dimension 2; Assoziativität wird dafür nicht vorausgesetzt.

Topologische Begründungen

Hopf zeigte 1940 zunächst, dass die Dimension einer reellen Divisionsalgebra eine Potenz von 2 sein muss. Kervaire und Milnor zeigten 1958 unabhängig voneinander mithilfe des Periodizitätssatzes von Raoul Bott über Homotopiegruppen unitärer und orthogonaler Gruppen, dass nur 1, 2, 4 und 8 möglich sind. Diese Aussage konnte bisher nicht rein algebraisch bewiesen werden. Michael Atiyah und Friedrich Hirzebruch formulierten den Beweis auch mit K-Theorie.

Bei einer Divisionsalgebra der Dimension n ist die Multiplikation eine stetige Abbildung \mathbb R^n\times\mathbb R^n\to\mathbb R^n. Nach Normierung der von null verschiedenen Elemente erhält man S^{n-1}\times S^{n-1}\to S^{n-1}. Diese Abbildung ist ungerade, also f(-x,y)=-f(x,y)=f(x,-y). Hopf bewies mithilfe der Homologiegruppen des projektiven Raums, dass eine solche Abbildung nur existiert, wenn n eine Potenz von 2 ist.

Äquivalent lässt sich die Existenz durch die Parallelisierbarkeit von S^{n-1} beziehungsweise \mathbb P^{n-1}, durch Vektorraumbündel E über S^{n-1} mit w_n(E)\neq0, oder durch eine Abbildung S^{2n-1}\to S^n mit ungerader Hopf-Invariante beschreiben. Frank Adams zeigte, dass die zuletzt genannten Abbildungen nur für n\in\{2,4,8\} existieren.

Anwendung in der Geometrie

Divisionsalgebren mit Einselement sind Quasikörper, wobei nicht jeder Quasikörper umgekehrt eine Divisionsalgebra sein muss. Daher liefert jedes Beispiel einer Divisionsalgebra D in der synthetischen Geometrie ein Beispiel für eine affine Translationsebene D^2.