Kubische Gleichung

Grundidee und Bedeutung

Eine kubische Gleichung ist eine Gleichung, die sich in die Form A·x^3 + B·x^2 + C·x + D = 0 bringen lässt. Dabei sind A, B, C und D die Koeffizienten, A ≠ 0, und x ist die Unbekannte. Weil die Nullstellen eines Polynoms dritten Grades gesucht werden, heißt sie auch algebraische Gleichung oder Polynomgleichung dritten Grades.

Bei reellen Koeffizienten kann man die Gleichung geometrisch verstehen: Man betrachtet den Graphen der Funktion f(x) = A·x^3 + B·x^2 + C·x + D. Die reellen Lösungen sind genau die Schnittpunkte dieses Graphen mit der x-Achse. Nach dem Zwischenwertsatz besitzt eine kubische Gleichung mindestens eine reelle Lösung und höchstens drei reelle Lösungen.

Bei komplexen Koeffizienten hat eine kubische Gleichung stets drei komplexe Lösungen x1, x2, x3, wobei Lösungen auch zusammenfallen können. Das folgt aus dem Fundamentalsatz der Algebra. Dann lässt sich das Polynom in Linearfaktoren zerlegen: A·x^3 + B·x^2 + C·x + D = A·(x − x1)·(x − x2)·(x − x3). Allgemeiner können kubische Gleichungen auch über beliebigen Körpern oder Ringen betrachtet werden. In Körpern mit Charakteristik ungleich 2 und 3 lassen sie sich durch Radikale lösen, etwa mit den Cardanischen Formeln.

Rationale Lösungen suchen

Ein praktischer Lösungsansatz besteht darin, zuerst eine Lösung x1 zu finden. Kennt man eine solche Lösung, kann man das kubische Polynom durch (x − x1) dividieren, zum Beispiel mit Polynomdivision oder dem Horner-Schema. Übrig bleibt ein quadratisches Polynom. Die daraus entstehende quadratische Gleichung liefert mit der bekannten Lösungsformel die beiden restlichen Lösungen x2 und x3.

Dieses Verfahren ist besonders sinnvoll, wenn eine rationale Lösung vorhanden ist. Bei ganzzahligen Koeffizienten kann man solche Lösungen systematisch ausprobieren. Ist der führende Koeffizient A dem Betrag nach 1, testet man die ganzzahligen Teiler des letzten Koeffizienten D, auch negative Werte. Ist A nicht 1, müssen Brüche getestet werden, deren Zähler ein Teiler von D und deren Nenner ein Teiler von A ist. Der Satz über rationale Nullstellen garantiert: Falls es eine rationale Nullstelle gibt, wird sie durch dieses endliche Probieren gefunden. Bei rationalen Koeffizienten kann man die Gleichung vorher mit dem Hauptnenner multiplizieren, um ganzzahlige Koeffizienten zu erhalten.

Beispiel: Für 3x^3 − 8x^2 − 11x + 10 = 0 kommen unter anderem ±1, ±2, ±5, ±10 sowie ±1/3, ±2/3, ±5/3, ±10/3 infrage. Tatsächlich ist x1 = 2/3 eine Lösung. Die Division durch (x − 2/3) ergibt 3x^2 − 6x − 15. Daraus folgen die weiteren Lösungen x2,3 = 1 ± √6.

Normalform und Cardano

Für die algebraische Lösung wird die Gleichung zuerst vereinfacht. Durch Division durch A ≠ 0 erhält man ein normiertes Polynom: x^3 + a·x^2 + b·x + c = 0 mit a = B/A, b = C/A und c = D/A.

Dann setzt man x = z + δ. Wählt man δ = −a/3, verschwindet der quadratische Term. Diese lineare Tschirnhaus-Transformation führt zur reduzierten Gleichung z^3 + p·z + q = 0. Dabei gilt p = b − a^2/3 und q = 2a^3/27 − ab/3 + c. Nach dem Lösen dieser reduzierten Gleichung erhält man die Lösungen der ursprünglichen Gleichung durch Rücksubstitution x = z − a/3.

Die Cardanische Formel für z^3 + pz + q = 0 lautet: z = Kubikwurzel(−q/2 + √R) + Kubikwurzel(−q/2 − √R), wobei R = (q/2)^2 + (p/3)^3. Der Ausdruck R hängt mit der Diskriminante Δ zusammen: Δ = −27q^2 − 4p^3 = −108R.

Für reelle Koeffizienten entscheidet R über die Art der Lösungen: Bei R > 0 bzw. Δ < 0 gibt es eine reelle Lösung und zwei konjugiert komplexe Lösungen. Bei R = 0 bzw. Δ = 0 gibt es entweder eine zweifache und eine einfache Lösung oder, falls p = q = 0, eine dreifache Lösung; alle Lösungen sind reell. Bei R < 0 bzw. Δ > 0 gibt es drei verschiedene reelle Lösungen, aber die Cardanische Formel enthält dann eine Quadratwurzel aus einer negativen Zahl. Dieser Fall heißt casus irreducibilis und wird besser trigonometrisch behandelt.

Für komplexe Gleichungen sind Kubikwurzeln nicht eindeutig. Man wählt u und v so, dass uv = −p/3 gilt. Dann ergeben sich die drei Lösungen der reduzierten Gleichung aus z1 = u + v, z2 = uζ + vζ^2 und z3 = uζ^2 + vζ, wobei ζ = (−1 + √3·i)/2 eine primitive dritte Einheitswurzel ist.

Reelle Lösungen ohne komplexe Umwege

Für reelle Gleichungen kann man die reduzierten Gleichungen auch mit trigonometrischen oder hyperbolischen Funktionen lösen. Der einfache Sonderfall ist p = 0. Dann ist z = Kubikwurzel(−q) = (1/3)·Kubikwurzel(a^3 − 27c), und nach Rücksubstitution gilt x = (1/3)·(Kubikwurzel(a^3 − 27c) − a). Wenn zusätzlich q = 0 ist, hat die Lösung z = 0 beziehungsweise x = −a/3 die Vielfachheit 3.

Für p ≠ 0 wird z durch z = α·f(η) ersetzt. Die Funktion f wird passend gewählt, sodass Additionstheoreme für cos, cosh, −cosh oder sinh auf die Gleichung angewendet werden können. Dabei ergibt sich α = 2√(|p|/3), δ = −a/3 und allgemein x = (1/3)·(2√|a^2 − 3b|·f(η) − a). Das Vorzeichen von p und der Wert von R beziehungsweise Δ bestimmen, welche Funktion verwendet wird.

Bei R ≤ 0 bzw. Δ ≥ 0 folgt p < 0 und |Γ| ≤ 1. Dann verwendet man die Kosinus-Substitution. Es entstehen drei mögliche reelle Lösungen xk = (1/3)·(2√(a^2 − 3b)·cos(ηk) − a), wobei ηk = (1/3)(arccos(Γ) + 2kπ) und k ∈ {0,1,2}. Im Unterfall R = 0 bzw. Δ = 0 gibt es nur zwei verschiedene Lösungen; eine davon hat Vielfachheit 2.

Bei R > 0 bzw. Δ < 0 und p < 0 verwendet man eine hyperbolische Kosinus-Substitution mit cosh. Es entsteht eine reelle Lösung. Bei R > 0 bzw. Δ < 0 und p > 0 verwendet man sinh und erhält ebenfalls eine reelle Lösung: x = (1/3)(2√(3b − a^2)·sinh(η) − a), mit η = (1/3)arsinh(Γ).

Die trigonometrische Lösung nach Viète ist besonders wichtig für den casus irreducibilis R < 0 bzw. Δ > 0. Dann hat die Gleichung drei verschiedene reelle Lösungen. Mit z = u cos θ und u = 2√(−p/3) erhält man cos(3θ) = (3q/(2p))√(−3/p). Daraus folgt zk = 2√(−p/3)·cos((1/3)arccos((3q/(2p))√(−3/p)) − 2πk/3) für k = 0, 1, 2.

Weitere Formeln und numerische Verfahren

Neben Cardano gibt es eine Lösungsformel, die auf der Zerlegung x^3 + a2x^2 + a1x + a0 = (x − x1)(x^2 + px + q) beruht. Dazu werden Hilfsgrößen a und b definiert; die Quadratwurzel √a wird in den komplexen Zahlen so gewählt, dass b ≠ 0 gilt. Daraus berechnet man p und q für den quadratischen Faktor. Die Lösungen lauten dann x1 = p − a2 sowie x2 = −p/2 + i√(−(p/2)^2 + q) und x3 = −p/2 − i√(−(p/2)^2 + q). Der Artikel zeigt mehrere Beispiele, etwa x^3 − x^2 − x − 2 = 0 mit den Lösungen 2, −1/2 + (1/2)i√3 und −1/2 − (1/2)i√3.

Für schnelle numerische Berechnung wird die Methode von Deiters und Macías-Salinas beschrieben. Zuerst bringt man die Funktion in die Form f(x) = x^3 + a2x^2 + a1x + a0. Mithilfe der Laguerre-Samuelson-Ungleichung werden Schranken für Lösungen bestimmt: xu,o = xinfl ± (2/3)√d, mit d = a2^2 − 3a1 und xinfl = −a2/3, dem x-Wert des Wendepunkts. Danach werden Sonderfälle geprüft: Ist f(xinfl) = 0, dann ist xinfl eine Lösung. Ist d = 0, dann ist x1 = xinfl − Kubikwurzel(f(xinfl)) eine Lösung. Sonst startet man je nach Vorzeichenbedingungen bei xu, xinfl oder xo und verbessert die Näherung mit dem Halley-Verfahren. Anschließend gewinnt man die restlichen Nullstellen über Polynomdivision und eine quadratische Gleichung. Bei sorgfältiger Implementierung war dieses Verfahren auf modernen x86-64-Prozessoren im Jahr 2014 um den Faktor 1,2 bis 10 schneller als entsprechend genau ausgewertete Cardanische Formeln.

In Körpern der Charakteristik 2 oder 3 gelten die üblichen Formeln nicht direkt, weil Divisionen durch 2 beziehungsweise 3 vorkommen. Bei Charakteristik 3 kann die Gleichung nicht einmal auf die reduzierte Form gebracht werden. Zur Untersuchung mehrfacher Nullstellen nutzt man dann die formale Ableitung y′ und den größten gemeinsamen Teiler ggT(y,y′).