Algebraische Varietät – einfach erklärt

Grundidee und affine Varietäten

Eine algebraische Varietät ist in der klassischen algebraischen Geometrie ein geometrisches Objekt, das durch Polynomgleichungen beschrieben wird. Dabei sei K ein fester algebraisch abgeschlossener Körper.

Eine affine algebraische Menge ist eine Teilmenge von K^n der Form {x∈K^n | f₁(x)=…=fₖ(x)=0}, wobei f₁,…,fₖ Polynome aus K[X₁,…,Xₙ] sind. Nach dem Hilbertschen Basissatz lässt sich auch ein unendliches Gleichungssystem durch ein äquivalentes System mit endlich vielen Gleichungen ersetzen.

Eine affine Varietät ist eine irreduzible affine algebraische Menge: Sie ist nicht leer und lässt sich nicht als Vereinigung zweier echter algebraischer Teilmengen schreiben. Die algebraischen Teilmengen bilden die abgeschlossenen Mengen der Zariski-Topologie. Eine quasi-affine Varietät ist eine offene Teilmenge einer affinen Varietät.

Ideale und Funktionen

Für Z⊆K^n heißt I(Z) Verschwindungsideal. Es besteht aus genau den Polynomen, die auf jedem Punkt von Z den Wert 0 haben:

I(Z)={f∈K[X₁,…,Xₙ] | f(x)=0 für alle x∈Z}.

Der Koordinatenring einer affinen Varietät V ist K[V]:=K[X₁,…,Xₙ]/I(V). In diesem Quotientenring gelten zwei Polynome als gleich, wenn sie auf V dieselbe Funktion bestimmen. Der Quotientenkörper von K[V] ist der Körper der rationalen Funktionen K(V).

Projektive Varietäten

Affine Varietäten können ungünstiges Verhalten zeigen, weil ihnen „Punkte im Unendlichen“ fehlen. Projektive Varietäten sind dagegen vollständig. Dies zeigt sich etwa beim Satz von Bézout: Für projektive ebene Kurven liefert er eine exakte Formel für die Zahl der Schnittpunkte, für affine ebene Kurven nur eine Abschätzung.

Im n-dimensionalen projektiven Raum P^n über K werden projektive algebraische Mengen durch homogene Polynome beschrieben: {x∈P^n | f₁(x)=…=fₖ(x)=0}. Für ein homogenes Polynom f∈K[X₀,…,Xₙ] ist bei x=[x₀:…:xₙ] die Gleichung f(x₀,…,xₙ)=0 unabhängig von der Wahl der homogenen Koordinaten.

Eine projektive Varietät ist eine irreduzible projektive algebraische Menge; eine quasi-projektive Varietät ist eine offene Teilmenge einer projektiven Varietät. Ihre algebraischen Teilmengen sind die abgeschlossenen Mengen der Zariski-Topologie. Das Verschwindungsideal wird hier von allen auf Z verschwindenden homogenen Polynomen erzeugt. Der homogene Koordinatenring ist K[X₀,…,Xₙ]/I(Z).

Morphismen und Isomorphismen

Für affine Varietäten V⊂K^m und W⊂K^n ist eine Abbildung φ:V→W ein Morphismus, wenn sie die Einschränkung einer polynomialen Abbildung Φ:K^m→K^n ist, also Φ|_V=φ.

Ein Isomorphismus ist ein Morphismus φ mit einem Morphismus ψ:W→V als Umkehrabbildung. Es muss gelten: φ∘ψ=id_W und ψ∘φ=id_V. Isomorphe Varietäten sind damit im Sinne der algebraischen Geometrie gleichartig aufgebaut.

Dimension und Singularitäten

Die Krulldimension einer Varietät V ist die größte Zahl n, für die es eine echte Kette irreduzibler abgeschlossener Teilmengen Z₀⊊Z₁⊊…⊊Zₙ gibt. Bei einer affinen Varietät stimmt diese Dimension mit der Dimension ihres Koordinatenringes überein. Bei einer projektiven Varietät ist sie um Eins kleiner als die Dimension ihres homogenen Koordinatenringes.

Ein Punkt einer Varietät oder allgemeiner eines Schemas heißt singulär, wenn sein lokaler Ring nicht regulär ist. Bei abgeschlossenen Punkten algebraischer Varietäten ist dies gleichbedeutend damit, dass die Dimension des Zariski-Tangentialraumes größer als die Dimension der Varietät ist. Eine Auflösung der Singularitäten von V ist eine nicht-singuläre Varietät W zusammen mit einem eigentlichen birationalen Morphismus f:W→V.