Quadratur des Kreises

Problem und mathematische Bedeutung

Die Quadratur des Kreises ist ein klassisches geometrisches Problem: Aus einem gegebenen Kreis soll mit Zirkel und Lineal in endlich vielen Schritten ein Quadrat mit genau demselben Flächeninhalt konstruiert werden. Für einen Kreis mit Radius 1 muss das Quadrat die Seitenlänge √π besitzen. Gleichwertig ist die Aufgabe, den Kreisumfang als gerade Strecke zu konstruieren oder die Kreiszahl π aus einer Strecke der Länge 1 zu gewinnen.

Zirkel-und-Lineal-Konstruktionen beginnen mit endlich vielen Punkten und erzeugen weitere Punkte durch Schnitte von Geraden und Kreisen. Algebraisch entsprechen die so konstruierbaren Strecken genau den Zahlen, die aus 1 durch endlich viele rationale Grundoperationen – Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division – sowie durch endlich viele Quadratwurzeln entstehen. Diese Zahlen sind algebraisch, also Lösungen algebraischer Gleichungen mit rationalen Koeffizienten. Nichtalgebraische Zahlen heißen transzendent.

Da π transzendent ist, kann π und damit √π nicht mit Zirkel und Lineal konstruiert werden. Deshalb ist die exakte Kreisquadratur unter dieser Einschränkung unmöglich. Ferdinand von Lindemann bewies dies 1882.

Von den Anfängen bis zur frühen Neuzeit

Schon im Papyrus Rhind um 1550 v. Chr. wurde die Kreisfläche angenähert. Für einen Kreis mit Durchmesser 9 wurde ein Quadrat mit Seitenlänge 8 verwendet: Die Kreisfläche ist π/4 · 9² = 63,617… und wurde durch 8² = 64 angenähert. Ein anderes Verfahren näherte den Kreis durch ein unregelmäßiges Achteck mit der Fläche 63 an. In diesen frühen Verfahren wurde noch nicht klar zwischen exakter Lösung und Näherung unterschieden.

In Griechenland entwickelte sich ab dem 6. Jahrhundert v. Chr. eine beweisgestützte Mathematik. Die Entdeckung inkommensurabler Strecken zeigte, dass geometrisch konstruierbare Längen nicht immer als Verhältnis ganzer Zahlen darstellbar sind. Im 5. Jahrhundert v. Chr. untersuchten Hippokrates von Chios, Antiphon, Bryson von Herakleia und Hippias von Elis das Problem. Hippokrates quadrierte bestimmte von Kreisbögen begrenzte Flächen, die Möndchen des Hippokrates. Antiphon näherte den Kreis durch einbeschriebene Vielecke an, Bryson zusätzlich durch umbeschriebene Vielecke.

Hippias entwickelte um 425 v. Chr. die Quadratrix, eine durch die Überlagerung einer kreisförmigen und einer linearen Bewegung erzeugte Kurve. Deinostratos zeigte später, dass sich mit ihr die Strecke 2/π und daraus ein Quadrat mit Flächeninhalt π konstruieren lässt. Da die Quadratrix selbst nicht mit Zirkel und Lineal erzeugt werden kann, handelt es sich nicht um eine klassische Lösung.

Archimedes bewies in seiner Kreismessung, dass die Kreisfläche gleich der Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks mit Radius und Kreisumfang als Katheten ist, also A = ½ · Radius · Umfang. Außerdem gab er A im Verhältnis zum Quadrat des Durchmessers nahezu als 11/14 an und zeigte, dass der Kreisumfang zwischen 3 10/71 und 3 10/70 des Durchmessers liegt. Daraus folgte die Näherung π ≈ 22/7 = 3,143. Durch ein- und umbeschriebene regelmäßige Vielecke und wiederholte Verdoppelung der Seitenzahl bis zum 96-Eck erhielt er diese Schranken.

Mit der archimedischen Spirale konnte Archimedes den Kreisumfang mithilfe einer Tangente auf einer Geraden abtragen. Auch diese Lösung verwendet jedoch ein zusätzliches Hilfsmittel und ist keine Zirkel-und-Lineal-Konstruktion.

Im Mittelalter galt 22/7 zeitweise als exakt. Franco von Lüttich zerlegte um 1050 einen Kreis mit Durchmesser 14 in 44 Sektoren und setzte sie zu einem Rechteck mit Seitenlängen 11 und 14 zusammen. Seine Rechnung beruhte auf π = 22/7 und enthielt geometrische Schwierigkeiten. Nikolaus von Kues näherte den Kreis durch Vielecke mit wachsender Seitenzahl an; Regiomontanus wies später die Ungenauigkeit seiner Berechnungen nach.

Ab dem 16. Jahrhundert wurden die geometrischen Näherungen verbessert. Snellius fand feinere Schranken für Kreisbögen, Christiaan Huygens bewies und verfeinerte diesen Ansatz. Unendliche Produkte und Reihen von François Viète, John Wallis, William Brouncker sowie James Gregory und Gottfried Wilhelm Leibniz ermöglichten im frühen 18. Jahrhundert die Berechnung von über 100 Stellen von π, führten aber nicht zu einer exakten Kreisquadratur.

Der Unmöglichkeitsbeweis und die Popularität

Für den Beweis der Unmöglichkeit waren zwei Ergebnisse entscheidend: die algebraische Beschreibung von Zirkel-und-Lineal-Konstruktionen und die Untersuchung der Eigenschaften von π. Leonhard Euler verband 1748 mit der Formel e^(iz) = cos z + i sin z trigonometrische Funktionen und die Exponentialfunktion. Johann Heinrich Lambert zeigte 1766, dass e und π irrational sind. Adrien-Marie Legendre schloss 1806 eine Lücke in Lamberts Beweis und bewies zugleich die Irrationalität von π². Joseph Liouville zeigte 1844/1851, dass transzendente Zahlen überhaupt existieren.

Ferdinand von Lindemann bewies 1882 die Transzendenz von π. Grundlage war das von Charles Hermite 1873 bewiesene Ergebnis über die Transzendenz von e. Lindemanns Satz besagt: Für verschiedene algebraische Zahlen z₁,…,zᵣ und algebraische Zahlen n₁,…,nᵣ kann Σ nᵢe^(zᵢ) = 0 nur gelten, wenn alle nᵢ = 0 sind. Zusammen mit der eulerschen Identität e^(iπ) = −1 führt die Annahme, π sei algebraisch, zu einem Widerspruch. Damit war die exakte Quadratur mit Zirkel und Lineal widerlegt. David Hilbert vereinfachte den Beweis 1893.

Die leicht verständliche Aufgabenstellung führte zu großer Popularität, besonders unter mathematischen Laien. Die Pariser Akademie der Wissenschaften beschloss 1775, keine angeblichen Lösungen der Quadratur des Kreises, der Würfelverdoppelung, der Winkeldreiteilung oder von Perpetuum-mobile-Maschinen mehr zu untersuchen. Auch nach 1882 wurden vermeintliche Lösungen veröffentlicht.

Zu den bekannten Irrtümern gehören Thomas Hobbes’ 1665 veröffentlichte Näherungskonstruktion, die John Wallis noch im selben Jahr widerlegte, sowie Arbeiten mit 35/31 als angenähertem Verhältnis. Daraus entstand π ≈ 3844/1225 = 3,1379…. Edward J. Goodwins widersprüchliche Konstruktion von 1894 wurde sogar Grundlage der sogenannten Indiana Pi Bill von 1897. Die verbreitete Vorstellung, auf die Lösung sei ein hoher Geldpreis ausgesetzt, war ein Irrtum.

Das Problem erscheint auch in Kunst und Literatur. Dante verglich 1321 in der Göttlichen Komödie seine Unfähigkeit, das Paradies zu verstehen, mit der vergeblichen Bemühung, den Kreis zu messen. In James Joyce’ Ulysses arbeitet Leopold Bloom 1882 erfolglos an der Quadratur des Kreises, um ein großes Vermögen zu gewinnen.

Klassische Näherungskonstruktionen

Da die exakte Konstruktion unmöglich ist, gibt es Verfahren, die für praktische Zwecke ausreichend genau sind. Das Verfahren des Papyrus Rhind setzt die Quadratseite gleich 8/9 des Durchmessers d. Damit gilt A ≈ (8/9 · d)² = 64/81 · d² und π ≈ 256/81 = 3,16…. Für den Einheitskreis ist die konstruierte Seitenlänge √(256/81) = 1,‾7, während √π = 1,772…. Bei r = 1 m beträgt der Fehler der Seitenlänge etwa 5,3 mm, der Flächenfehler etwa 1,89 dm².

Das babylonische Verfahren liefert π = 3 1/8. Albrecht Dürer nahm es 1525 auf und betonte ausdrücklich, dass es nur eine mechanische, also annähernde Lösung sei.

Adam Adamandy Kochański konstruierte 1685 aus dem Radius r eine Strecke von ungefähr πr, also den halben Kreisumfang. Seine Näherung lautet π ≈ √((3 − tan 30°)² + 4) = 3,141533…; sie ist auf vier Nachkommastellen genau. C. G. Specht erhielt 1828 den Wert 5√(439/278) = 6,28318528… für den Kreisumfang; halbiert stimmen sieben Nachkommastellen mit π überein.

Jacob de Gelders Konstruktion von 1849 beruht auf 355/113 = 3,1415929…. Dieser Zu-Chongzhi-Bruch stimmt in sechs Nachkommastellen mit π überein. E. W. Hobson gab 1913 eine Konstruktion mit drei Halbkreisen an. Sie liefert für die Quadratseite r · 1,772467… und damit π ≈ 3,14163…. Bei r = 1 [LE] stimmen vier Nachkommastellen der Seitenlänge mit √π = 1,772453… überein.

Srinivasa Ramanujans Konstruktion von 1913 verwendet ebenfalls 355/113. Für eine Kreisfläche von 140.000 Quadratmeilen sollte die Abweichung der Quadratseite nur etwa einen Zoll betragen. Eine weitere Konstruktion von 1914 beruht auf π ≈ ⁴√(9² + 19²/22) = 3,141592652… und erreicht etwa acht Stellen. Eduard Gregoris Konstruktion von 1947 liefert die Quadratseite r · 1,772455…; fünf Nachkommastellen stimmen mit √π überein. Louis Loynes verwendete 1961 das Kathetenverhältnis 23:44, weil 23/44 = 0,5227272… nahe bei √(4/π − 1) = 0,5227232… liegt. Daraus folgt π ≈ 7744/2465 = 3,141582….

Allgemein kann ein angenäherter Bruch für π mithilfe des dritten Strahlensatzes konstruiert werden. Der Bruch 245850922/78256779 = 3,141592653589793160… liefert fünfzehn gleiche Nachkommastellen von π.

Exakte Verfahren mit zusätzlichen Kurven

Wird die Beschränkung auf Zirkel und Lineal aufgehoben, kann die Kreisquadratur mit transzendenten Kurven, sogenannten Quadratrizes, exakt durchgeführt werden. Ihre Existenz wird dabei als zusätzliches Konstruktionsmittel vorausgesetzt; praktisch können sie etwa als Schablone, Plotterausdruck oder durch ein mechanisches Zeichengerät bereitgestellt werden.

Mit der Quadratrix des Hippias lässt sich die Strecke 2/π bestimmen. Durch eine anschließende Konstruktion nach dem Satz des Thales entsteht √π als Quadratseite. Die archimedische Spirale liefert bei geeignetem Windungsabstand π als Strecke; danach wird √π konstruiert. Auch die Sinuskurve f(x) = sin(x) kann verwendet werden: Sie schneidet die x-Achse bei π. Ein Thaleskreis erzeugt daraus die Quadratseite a = √π.

Diese Verfahren sind exakt, gelten aber nicht als klassische Kreisquadratur, weil die verwendeten transzendenten Kurven selbst nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar sind.

Varianten der Kreisquadratur

Alfred Tarski stellte 1925 die Frage, ob ein Kreis in endlich viele Teile zerlegt und durch reine Bewegung, also ohne Streckung, zu einem Quadrat zusammengesetzt werden kann. Miklós Laczkovich bewies 1990, dass dies möglich ist. Seine Zerlegung umfasst 10^50 Teile und setzt das Auswahlaxiom voraus. Die Zerlegung ist jedoch nicht explizit angebbar; der Beweis ähnelt dem Banach-Tarski-Paradoxon.

Eine Lemniskate kann im Gegensatz zum Kreis in zwei flächengleiche Quadrate überführt werden. Die Seitenlängen dieser Quadrate entsprechen dem größten Lemniskatenradius.

Auch bestimmte von Kreisbögen begrenzte Flächen lassen sich quadrieren. Dazu gehören die Möndchen des Hippokrates und eine vasenähnliche Fläche, deren unterer Teil von einem Dreiviertelkreis und deren oberer Teil von drei Viertelkreisen begrenzt wird. Für solche einzelnen Flächen ist eine exakte Quadratur möglich, obwohl dies für den vollständigen Kreis mit Zirkel und Lineal ausgeschlossen ist.