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Quadratur der Parabel
Aus Symmetriegründen genügt der Nachweis für das halbe Parabelsegment, das sich hier auf eine nach oben geöffnete Normalparabel bezieht. Inhaltsverzeichnis.
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Kernaussage
Die Quadratur der Parabel beschreibt den Flächeninhalt eines Parabelsegments. Der zentrale Satz lautet: Die Flächenmaßzahl eines Parabelsegments beträgt \frac{4}{3} der Flächenmaßzahl des einbeschriebenen Dreiecks mit derselben Höhe.
Der erste Beweis stammt von Archimedes und steht in seinem Werk „Die Quadratur der Parabel“, einer Sammlung von Briefen an Dositheos. Archimedes bewies die Aussage allgemein für Parabelsegmente, die nicht unbedingt symmetrisch zur y-Achse sind. Im Artikel werden zum Vergleich beide Beweisarten für symmetrische Parabelsegmente dargestellt.
Vereinfachungen
Für beide Beweise werden Vereinfachungen ohne Beschränkung der Allgemeinheit verwendet. Betrachtet wird die Parabel f(x)=kx^2 mit k>0 und x\in\mathbb{R}. Da das Verhältnis zwischen der Fläche des Parabelsegments und der Fläche des einbeschriebenen Dreiecks für alle k konstant bleibt, genügt es, die Normalparabel zu betrachten.
Außerdem reicht wegen der Symmetrie der Nachweis für das halbe Parabelsegment. Im Artikel bezieht sich dies auf eine nach oben geöffnete Normalparabel.
Archimedischer Beweis
Die Beweisidee von Archimedes beruht auf Exhaustion, also darauf, eine Fläche durch immer feinere Teilflächen anzunähern. Hier wird das Parabelsegment durch Dreiecksflächen ausgeschöpft. Die Teildreiecke werden so gewählt, dass jeweils die kleinste Seite als Grundseite dient und der Fußpunkt der Höhe auf der Verlängerung dieser Grundseite liegt.
Für die ersten Flächenanteile werden die Maßzahlen berechnet: A_1=\frac{1}{2}a\cdot a^2=\frac{1}{2}a^3, A_2=\frac{1}{2}a\cdot \overline{CH} und A_3=\frac{1}{4}a\cdot(\overline{BG}+\overline{DF}).
Die benötigten Grundseiten ergeben sich aus der Parabelgleichung und einem Strahlensatz: \overline{CH}=\frac{1}{2}f(a)-f(\frac{1}{2}a)=\frac{1}{4}a^2, \overline{BG}=\frac{1}{2}f(\frac{1}{2}a)-f(\frac{1}{4}a)=\frac{1}{16}a^2 und \overline{DF}=\frac{1}{16}a^2.
Damit folgt für die ersten Stufen: A_1=2\cdot\frac{1}{4}a^3, A_2=2\cdot\frac{1}{16}a^3, A_3=2\cdot\frac{1}{64}a^3. Allgemein gilt A_n=2\cdot\frac{1}{4^n}\cdot a^3 für n\in\mathbb{N}.
Grenzwert und Dreiecksfläche
Die Fläche des Parabelsegments ergibt sich im archimedischen Beweis als Grenzwert einer geometrischen Reihe. Für die betrachtete Hälfte entsteht die Summe 2a^3\cdot\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{4^k}. Für das ganze Parabelsegment wird der Grenzwert verwendet: 2\cdot2a^3\cdot\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{4^k}=4a^3\cdot\frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}a^3.
Die Maßzahl des einbeschriebenen Dreiecks beträgt \frac{1}{2}\cdot2a\cdot f(a)=\frac{1}{2}\cdot2a\cdot a^2=a^3. Damit ist die Fläche des Parabelsegments \frac{4}{3} so groß wie die Fläche dieses Dreiecks.
Beweis mit Integration
Für ein zur y-Achse symmetrisches Parabelsegment lässt sich die Aussage kürzer mit Integralrechnung zeigen. Dabei wird für eine Hälfte die Fläche zwischen dem Rechteck mit Breite a und Höhe a^2 und der Parabel y=x^2 berechnet und anschließend wegen der Symmetrie verdoppelt.
Die Flächenmaßzahl des Parabelsegments ist 2\cdot\left(a\cdot a^2-\int_0^a x^2\,\mathrm{d}x\right)=\frac{4}{3}a^3. Die Flächenmaßzahl des einbeschriebenen Dreiecks ist \frac{1}{2}\cdot2a\cdot a^2=a^3. Auch damit ist die Aussage von Archimedes bestätigt: Das Parabelsegment hat den \frac{4}{3}-fachen Flächeninhalt des einbeschriebenen Dreiecks.