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Exhaustionsmethode
Die Exhaustionsmethode (von exhaurire, lat. „herausnehmen“, „erschöpfen“, „vollenden“) ist ein antikes Verfahren zur Berechnung von Flächen, …
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Grundidee
Die Exhaustionsmethode ist ein antikes Verfahren zur Berechnung von Flächen und Volumina. In moderner Sprache gehört sie zur Integration, also zur Bestimmung von Flächeninhalten unter Kurven oder von Rauminhalten. Der Name wird vom lateinischen exhaurire abgeleitet, das „herausnehmen“, „erschöpfen“ oder „vollenden“ bedeutet.
Die Grundidee besteht darin, eine schwer berechenbare Figur durch einfachere Figuren immer genauer auszuschöpfen. Bei einem Kreis kann man zum Beispiel regelmäßige Vielecke verwenden. Je mehr Ecken ein solches Polygon hat, desto genauer nähert es sich dem Kreis an. Im Artikel wird als Beispiel die Konstruktion eines regelmäßigen 96-Ecks genannt, ausgehend von einem 12-Eck durch dreimalige Verdopplung der Eckenzahl.
Entwicklung in der Antike
Antiphon war um 430 v. Chr. überzeugt, man könne einen Kreis quadrieren, weil sich jedes Polygon in ein Quadrat verwandeln lässt. Er nahm an, dass ein Vieleck innerhalb eines Kreises ab einer bestimmten Seitenzahl nicht mehr vom Kreis zu unterscheiden sei und der Kreis dadurch vollständig „erschöpft“ werde.
Eudoxos von Knidos entwickelte aus dieser Idee die Exhaustionsmethode. Mit ihr berechnete er das Volumen einer Pyramide und eines Kegels. Teile dieser Methode wurden von Euklid in den Elementen beschrieben. Dort wird unter anderem gezeigt, wie eine Pyramide mit dreieckiger Grundfläche in zwei gleiche Pyramiden und zwei gleiche Prismen aufgeteilt werden kann. Die beiden Prismen zusammen sind dabei größer als die Hälfte der ganzen Pyramide.
Archimedes und Pi
Archimedes, der von 287 bis 212 v. Chr. lebte, griff die Exhaustionsmethode im Jahr 260 v. Chr. auf. Er verwendete ein regelmäßiges 96-Eck, um die Kreiszahl Pi abzuschätzen. Dabei erhielt er die Ungleichung 3 + 10/71 = 3,1408… < π.
Außerdem berechnete Archimedes mit dieser Methode den Flächeninhalt unter einer Parabel. Das zeigt, dass die Exhaustionsmethode nicht nur für Kreisberechnungen, sondern auch für gekrümmte Flächen eingesetzt wurde.
Bedeutung bis zur Neuzeit
Die Exhaustionsmethode blieb bis ins 17. Jahrhundert ein wichtiges Verfahren der Integration. Sie diente dazu, Flächen und Volumina durch immer feinere Annäherungen zu bestimmen, bevor die moderne Integralrechnung entwickelt wurde.
Ludolph van Ceulen führte den Ansatz von Archimedes weiter. Er verwendete ein 2^62-Eck im Kreis und berechnete Pi in 30-jähriger Rechenarbeit auf 35 Stellen genau.