Quadratisches Mittel

Definition und Grundidee

Das quadratische Mittel oder der quadratische Mittelwert (QMW, englisch root mean square, RMS) ist ein Mittelwert für Zahlen. Er wird berechnet als Quadratwurzel aus dem Durchschnitt der Quadrate der betrachteten Zahlen. Dadurch werden größere Beträge stärker gewichtet als beim arithmetischen Mittel.

Für die Zahlen 1 und 2 ergibt sich zum Beispiel der quadratische Mittelwert {\sqrt{\frac{1^2+2^2}{2}}}\approx 1{,}58. Das arithmetische Mittel derselben Zahlen ist 1,5. Der Unterschied entsteht, weil die größere Zahl 2 durch das Quadrieren stärker eingeht.

Wegen der Quadrierung wird das quadratische Mittel auch zweites absolutes Moment genannt. Entsprechend wäre eine Mittelung in der dritten Potenz das dritte Moment oder kubisches Mittel.

Berechnung

Für eine Zahlenreihe mit Werten x_i werden zuerst alle Quadrate x_i^2 addiert. Diese Summe wird durch die Anzahl n der Werte geteilt. Danach zieht man die Quadratwurzel:

\mathrm{QMW}={\sqrt{{\frac{1}{n}}\sum_{i=1}^{n}x_i^2}}={\sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}{n}}}.

Geometrisch kann man sich zu jedem Zahlenwert ein Quadrat mit entsprechender Seitenlänge vorstellen. Aus den Flächen dieser Quadrate bildet man eine durchschnittliche Fläche. Die Seitenlänge des Quadrats mit dieser durchschnittlichen Fläche ist dann das quadratische Mittel.

Für fortlaufend vorhandene Größen, also Größen, die sich kontinuierlich verändern, verwendet man statt einer Summe ein Integral über den betrachteten Bereich:

\mathrm{QMW}={\sqrt{{\frac{1}{t_2-t_1}}\int_{t_1}^{t_2} f(t)^2\,\mathrm dt}}.

Bei periodischen Größen, zum Beispiel sinusförmigem Wechselstrom, integriert man über eine Anzahl von Perioden.

Anwendung in der Technik

Das quadratische Mittel ist in der Technik besonders wichtig bei periodisch veränderlichen Größen, etwa beim Wechselstrom. Der Leistungsumsatz an einem ohmschen Widerstand, also die Joulesche Wärme, steigt mit dem Quadrat der Stromstärke. Deshalb verwendet man hier den Effektivwert des Stromes. Derselbe Zusammenhang gilt bei zeitlich veränderlichen elektrischen Spannungen.

Bei einer sinusförmigen Wechselgröße beträgt der quadratische Mittelwert das (1/{\sqrt 2})-fache des Scheitelwerts. Das sind ungefähr 70,7 %.

Wenn der zeitliche Verlauf von Schwankungen nicht bekannt ist, muss aus dem Zusammenhang entschieden werden, welcher Mittelwert sinnvoll ist. Bei Elektrolyse kann der Gleichwert aussagekräftig sein, bei Licht und Wärme dagegen eher der Effektivwert.

Vergleich mit dem arithmetischen Mittel

Das arithmetische Mittel ist die gewöhnliche Durchschnittsbildung, also Summe der Werte geteilt durch ihre Anzahl. Zwischen ihm und dem quadratischen Mittel gilt immer: Das arithmetische Mittel ist kleiner oder gleich dem quadratischen Mittel.

Diese Aussage folgt im Artikel aus einem Spezialfall der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung. Für b_i={\frac{1}{n}} für i=1,...,n erhält man aus

\left|\sum_{i=1}^{n}a_i\cdot b_i\right|\leq {\sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_i^2}}\cdot {\sqrt{\sum_{i=1}^{n}b_i^2}}

durch Umformung

\left|{\frac{1}{n}}\cdot \sum_{i=1}^{n}a_i\right|\leq {\sqrt{{\frac{1}{n}}\cdot \sum_{i=1}^{n}a_i^2}}.

Daraus folgt insbesondere

{\frac{1}{n}}\cdot \sum_{i=1}^{n}a_i\leq {\sqrt{{\frac{1}{n}}\cdot \sum_{i=1}^{n}a_i^2}}.

Links steht das arithmetische Mittel, rechts das quadratische Mittel.

Geometrische Veranschaulichung

Das quadratische Mittel lässt sich auch an einem Trapez veranschaulichen. Eine Strecke der Länge p liegt parallel zur Grundseite eines Trapezes und teilt das Trapez in zwei flächengleiche Teil-Trapeze, also A_1=A_2. Dann ist p das quadratische Mittel aus den Längen der beiden parallelen Grundseiten.

Für parallele Grundseiten der Längen a und b ergibt der Beweis mithilfe des Strahlensatzes zunächst

A_a:A_p:A_b=a^2:p^2:b^2.

Aus der Bedingung gleicher Teilflächen folgt

A_p-A_a=A_b-A_p,

also

A_p={\frac{A_a+A_b}{2}}.

Damit erhält man

p^2={\frac{a^2+b^2}{2}}

und folglich

p={\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}}.

Die Strecke p ist also das quadratische Mittel von a und b.