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Pyramidenstumpf
Die beiden parallelen Flächen eines Pyramidenstumpfes sind zueinander ähnlich. Die größere dieser beiden Flächen bezeichnet man als Grundfläche, die kleinere …
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Begriff und Grundformel
Ein Pyramidenstumpf ist ein Polyeder (Vielflächner). Er entsteht, wenn von einer Pyramide parallel zu ihrer Grundfläche eine kleinere, ähnliche Pyramide abgeschnitten wird. Die größere parallele Fläche heißt Grundfläche, die kleinere Deckfläche. Ihr senkrechter Abstand ist die Höhe h.
Mit A₁ als Flächeninhalt der Grundfläche und A₂ als Flächeninhalt der Deckfläche gilt für das Volumen:
V = h/3 · (A₁ + √(A₁·A₂) + A₂).
Der Ausdruck √(A₁·A₂) ist das geometrische Mittel der beiden Flächeninhalte. Für die Mantelfläche aus Trapezen gibt es bei einem allgemeinen Pyramidenstumpf keine einfache Formel. Bei gleicher Höhe wird die Mantelfläche größer, je schiefer die Pyramide beziehungsweise der Pyramidenstumpf ist.
Volumen aus ähnlichen Pyramiden
Seien h₁ die Höhe der Ausgangspyramide und h₂ die Höhe der abgeschnittenen Ergänzungspyramide. Dann ist h₁ − h₂ = h. Wegen der zentrischen Streckung mit Streckfaktor k gilt h₁/h₂ = k und A₁/A₂ = k². Daher gilt auch h₁/h₂ = √A₁/√A₂.
Das Volumen ist die Differenz der beiden Pyramidenvolumina:
V = V₁ − V₂ = A₁·h₁/3 − A₂·h₂/3.
Mit λ = h₁/√A₁ folgt h₁ = λ·√A₁ und h₂ = λ·√A₂. Nach Einsetzen und der Formel a³ − b³ = (a − b)·(a² + a·b + b²) erhält man:
V = λ/3 · (√A₁ − √A₂) · (A₁ + √(A₁·A₂) + A₂).
Da λ·(√A₁ − √A₂) = h₁ − h₂ = h ist, ergibt sich die allgemeine Volumenformel.
Integralrechnung und Grenzfälle
Für eine Herleitung mit Integralrechnung liegt die y-Achse durch die Spitze und senkrecht auf Grund- und Deckfläche. Der Flächeninhalt einer Schnittschicht im Abstand y von der Spitze sei A(y). Aus der Ähnlichkeit folgt:
A(y) = A₁/h₁² · y² = A₂/h₂² · y²
und h₂/h₁ = √A₂/√A₁. Nach dem Prinzip von Cavalieri ist das Volumen das Integral der Querschnittsflächen:
V = ∫[h₂ bis h₁] A(y) dy = ∫[h₂ bis h₁] A₁/h₁² · y² dy = h/3 · (A₁ + √(A₁·A₂) + A₂).
Grenzfälle: Nähern sich Grund- und Deckfläche einem Kreis, entsteht ein Kegelstumpf; dieselbe Volumenformel gilt. Geht die Höhe der Ausgangspyramide gegen unendlich, wird A₂ zu A₁ und der Körper nähert sich einem Prisma. Dann vereinfacht sich die Formel zu V = h·A₁. Geht A₂ gegen 0, entsteht bei n-eckiger Grundfläche eine vollständige Pyramide, bei kreisförmiger Grundfläche ein Kegel; dann gilt V = h/3 · A₁.
Regelmäßiger Pyramidenstumpf
Ein regelmäßiger Pyramidenstumpf besitzt als Grund- und Deckfläche regelmäßige Vielecke. Die Deckfläche liegt mit ihrem Mittelpunkt senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche. Seine Mantelfläche besteht aus kongruenten gleichschenkligen Trapezen.
Für ein regelmäßiges n-Eck mit Seitenlängen a₁ und a₂ sowie Höhe h gelten:
A₁ = n·a₁²/4 · cot(π/n), A₂ = n·a₂²/4 · cot(π/n).
V = n·(a₁² + a₁·a₂ + a₂²)·h/12 · cot(π/n).
M = n·(a₁ + a₂)/4 · √(4·h² + (a₁ − a₂)²·cot²(π/n)).
A = n/4 · ((a₁² + a₂²)·cot(π/n) + (a₁ + a₂)·√(4·h² + (a₁ − a₂)²·cot²(π/n))).
Die Steilkantenlänge ist l = √(h² + (a₁ − a₂)²/(4·sin²(π/n))). Der Innenwinkel der regelmäßigen Grundfläche lautet α = (n − 2)/n · 180°.
Beim quadratischen Pyramidenstumpf ist n = 4: A₁ = a₁², A₂ = a₂², V = (a₁² + a₁·a₂ + a₂²)·h/3, M = (a₁ + a₂)·√(4·h² + (a₁ − a₂)²) und A = a₁² + a₂² + (a₁ + a₂)·√(4·h² + (a₁ − a₂)²). Außerdem ist l = √(h² + (a₁ − a₂)²/2) und α = 90°.
