Dreisatz

Grundidee des Dreisatzes

Der Dreisatz ist ein mathematisches Lösungsverfahren für Proportionalaufgaben. Aus drei gegebenen Werten eines Verhältnisses wird ein unbekannter vierter Wert berechnet. Er wird besonders in der Schulmathematik verwendet. Der Dreisatz ist kein mathematischer Satz, sondern ein Verfahren; wer Proportionalitäten sicher versteht, kann die Ergebnisse auch unmittelbar durch mathematische Operationen bestimmen.

Bei einer direkten Proportionalität gilt: „Je mehr A, desto mehr B.“ Wird A zum Beispiel verdoppelt oder verdreifacht, wird auch B verdoppelt oder verdreifacht. Algebraisch ist dies eine Verhältnisgleichung: a:b=c:x. Durch Umstellen erhält man x=c·(b:a).

Einfacher Dreisatz

Gegeben ist, dass a Einheiten der Größe A b Einheiten der Größe B entsprechen. Gesucht ist die Anzahl x Einheiten von B, die zu c Einheiten von A im gleichen Verhältnis gehören. Gleichartige Werte werden dabei in einer Tabelle untereinander geschrieben.

Das inhaltliche Vorgehen besteht aus drei Schritten:

• a Einheiten von A entsprechen b Einheiten von B.
• 1 Einheit von A entspricht b:a Einheiten von B.
• c Einheiten von A entsprechen x=c·(b:a) Einheiten von B.

Dazu wird zunächst in beiden Tabellenspalten durch a dividiert und anschließend mit c multipliziert. Entstehende Brüche sollen bei jedem Rechenschritt gekürzt werden.

Umgekehrter und verallgemeinerter Dreisatz

Beim umgekehrten Dreisatz liegt eine indirekte Proportionalität vor: „Je weniger A, umso mehr B.“ Wird A halbiert oder gedrittelt, wird B verdoppelt oder verdreifacht. Die zugehörigen Werte haben ein konstantes Produkt. Für a Einheiten von A und b Einheiten von B sowie c Einheiten von A und x Einheiten von B gilt daher a·b=c·x. In der Tabelle werden in den beiden Spalten entgegengesetzte Rechenoperationen ausgeführt. Die Lösung ist x=a·b/c.

Beim verallgemeinerten oder zusammengesetzten Dreisatz gehen Produkte mehrerer Größen in das Verhältnis ein. Aus a₁·b₁·c₁ ≙ d₁ wird für a₂·b₂·c₂ ≙ x entweder der einfache Dreisatz mehrfach nacheinander angewendet oder alle Schritte werden zusammengefasst. Dann gilt: x=(d₁·a₂·b₂·c₂)/(a₁·b₁·c₁). Solche Aufgaben heißen auch Fünfsatz, weil aus fünf Größen eine sechste bestimmt wird.

Typische Beispiele

Bei konstanter Geschwindigkeit fährt ein Fahrzeug in 3 Stunden 240 km. Pro Stunde sind das 240:3=80 km. In 7 Stunden fährt es 80·7=560 km.

Die gleichen Zahlen können je nach Situation zu verschiedenen Verhältnissen führen: 21 Lastwagen transportieren an einem Arbeitstag 35 Tonnen Abraum. Bei gleicher Zeit transportieren 15 Lastwagen x=15·35/21=25 Tonnen; dies ist direkte Proportionalität. Benötigen 21 Lastwagen dagegen 35 Tage für eine bestimmte Menge Abraum, brauchen 15 Lastwagen x=35·21/15=49 Tage; dies ist umgekehrte Proportionalität.

Für den verallgemeinerten Dreisatz gilt: 2 Kühe fressen in 24 Stunden 48 kg Gras. Daraus folgt: 1 Kuh frisst in 1 Stunde 1 kg Gras. Somit fressen 5 Kühe in 6 Stunden 30 kg Gras, unter der Annahme, dass sie die ganze Zeit gleichmäßig viel Gras fressen.