Eulersche Formel

Grundidee und Definition

Die eulersche Formel, auch Eulerformel oder in manchen Quellen eulersche Relation genannt, stellt eine grundlegende Verbindung zwischen trigonometrischen Funktionen und komplexen Exponentialfunktionen her. Sie ist deshalb für Mathematik und angewandte Naturwissenschaften bedeutsam.

Für jedes reelle y gilt:

ｅ^(iy) = cos(y) + i·sin(y).

Dabei ist e die eulersche Zahl, also die Basis der natürlichen Exponentialfunktion beziehungsweise des natürlichen Logarithmus, und i die imaginäre Einheit der komplexen Zahlen mit i² = −1.

Schreibt man eine komplexe Zahl als z = x + iy mit x, y ∈ ℝ, folgt daraus:

ｅ^z = ｅ^(x+iy) = ｅ^x · ｅ^(iy) = ｅ^x · (cos(y) + i·sin(y)).

Der reelle Anteil x bestimmt dabei den Faktor ｅ^x, während der imaginäre Anteil y in den trigonometrischen Funktionen auftritt.

Herleitung aus Reihen

Die Formel lässt sich aus den Maclaurinschen Reihen herleiten. Eine Maclaurinreihe ist eine Taylorreihe mit der Entwicklungsstelle x₀ = 0.

Für die komplexe Exponentialfunktion gilt:

ｅ^(iy) = 1 + iy + (iy)²/2! + (iy)³/3! + (iy)⁴/4! + …

Wegen i² = −1 wechseln sich die geraden und ungeraden Potenzen in ihren Vorzeichen ab. Dadurch kann man die Reihe in einen reellen und einen imaginären Anteil zerlegen:

ｅ^(iy) = (1 − y²/2! + y⁴/4! − …) + i·(y − y³/3! + y⁵/5! − …).

Der erste Klammerausdruck ist die Maclaurinreihe von cos(y), der zweite die von sin(y). Daher ergibt sich:

ｅ^(iy) = cos(y) + i·sin(y).

Eulersche Identität

Setzt man y = π in die eulersche Formel ein, erhält man die eulersche Identität:

ｅ^(iπ) = −1.

In der häufig zitierten umgeformten Version lautet sie:

ｅ^(iπ) + 1 = 0.

Damit werden die mathematischen Konstanten e, π, i, 1 und 0 in einer Gleichung verbunden. Die Formel wird deshalb auch als „schönste Formel der Mathematik“ bezeichnet. Außerdem enthält sie die Rechenoperationen Plus, Mal und Potenz sowie das Gleichheitszeichen.

Mit der alternativen Kreiszahl τ lässt sich die Identität auch schreiben als:

ｅ^(iτ/2) = −1 beziehungsweise ｅ^(iτ) = 1.

Definiert man die komplexe Exponentialfunktion durch den Grenzwert lim(n→∞)(1 + z/n)^n, erhält man für z = iπ ebenfalls den Wert −1. Die Zwischenergebnisse (1 + iπ/n)^n nähern sich in der komplexen Ebene einem Kreisbogen an, dessen linkes Ende gegen die Zahl −1 auf der reellen Achse läuft.

Trigonometrie, Real- und Imaginärteil

Die eulersche Formel ist ein zentrales Bindeglied zwischen Analysis und Trigonometrie. Aus ihr folgen die Darstellungen:

sin(x) = (ｅ^(ix) − ｅ^(−ix))/(2i),

cos(x) = (ｅ^(ix) + ｅ^(−ix))/2.

Sinus und Kosinus sind dabei der Imaginärteil beziehungsweise der Realteil der komplexen Exponentialfunktion. Für eine komplexe Zahl z und ihre konjugierte Zahl z̄ gilt:

Re(z) = (z + z̄)/2,

Im(z) = (z − z̄)/(2i).

Setzt man z = ｅ^(ix), erhält man daraus unmittelbar die beiden Formeln für Kosinus und Sinus. Die Eulerformel eröffnet damit eine Sichtweise, in der Sinus und Kosinus nicht nur Funktionen mit reellen Argumenten, sondern auch Bestandteile der komplexen Analysis sind. Eine Folge dieser Verbindung ist der Moivresche Satz aus dem Jahr 1730.

Für imaginäre Argumente entsteht außerdem ein Zusammenhang mit den Hyperbelfunktionen:

sin(iy) = i·(ｅ^y − ｅ^(−y))/2 = i·sinh(y),

cos(iy) = (ｅ^y + ｅ^(−y))/2 = cosh(y).

Die so entstehenden Funktionen entsprechen genau dem Sinus hyperbolicus sinh und dem Kosinus hyperbolicus cosh.

Anwendungen und historische Einordnung

Die eulersche Formel wird zur Lösung verschiedener Probleme verwendet, unter anderem bei der Berechnung von i^i. Das Ergebnis ist mehrdeutig; alle Einzellösungen liegen jedoch im reellen Bereich. Der Hauptwert ist:

i^i = ｅ^(−π/2) = 0,207879…

Eine praktisch wichtige Anwendung liegt in der Wechselstromtechnik. Komplexe Zahlen und die eulersche Formel werden dort zur Untersuchung und Berechnung von Wechselstromkreisen eingesetzt.

Leonhard Euler veröffentlichte die Formel erstmals 1748 in seinem zweibändigen Werk Introductio in analysin infinitorum. Damals wurde vorausgesetzt, dass der Winkel eine reelle Zahl ist. Diese Einschränkung erwies sich später als überflüssig: Die Formel gilt ebenso für komplexe Argumente. Dies folgt aus der Formel mit reellem Argument in Verbindung mit dem Identitätssatz für holomorphe Funktionen.

Bereits 1714 hatte Roger Cotes einen ähnlichen, jedoch fehlerhaften mathematischen Zusammenhang veröffentlicht. In moderner Notation lautet dieser Zusammenhang:

i·r·ln(cos(φ) + i·sin(φ)) = r·φ (sic!).

Dabei wird ein im Koordinatenursprung fixierter Kreis mit Radius r und ein Winkel φ zwischen der x-Achse und einem durch den Ursprung verlaufenden Strahl betrachtet. Der Fehler besteht darin, dass die imaginäre Einheit i auf der anderen Seite der Gleichung stehen müsste.