Konstruierbares Polygon

Begriff und geometrische Grundlage

Ein konstruierbares Polygon ist ein regelmäßiges Polygon, das mit Zirkel und unmarkiertem Lineal, den euklidischen Werkzeugen, konstruiert werden kann. Das regelmäßige Fünfeck ist beispielsweise konstruierbar, das regelmäßige Siebeneck hingegen nicht.

Am Anfang einer Konstruktion seien zwei Punkte gegeben. Mit dem Lineal lässt sich eine Gerade durch zwei Punkte zeichnen, mit dem Zirkel ein Kreis durch einen Punkt mit einem anderen Punkt als Mittelpunkt. Die Schnittpunkte von Geraden und Kreisen gelten ebenfalls als konstruierbar. Daraus lassen sich unter anderem Mittelsenkrechten und Lote konstruieren.

Eine positive reelle Zahl heißt konstruierbar, wenn sich zwei Punkte konstruieren lassen, deren euklidischer Abstand dem Betrag dieser Zahl entspricht. Der Abstand der beiden vorgegebenen Ausgangspunkte wird als 1 festgelegt. Aus einer konstruierbaren Zahl a>0 kann mithilfe des Höhensatzes die Zahl √a konstruiert werden. Im Beispiel a=3 gilt 1=a/3 und damit √a=√3.

Sind a und b konstruierbar, lassen sich mit dem Strahlensatz auch das Produkt ab und der Kehrwert 1/a konstruieren. Durch das Abgreifen von Strecken erhält man außerdem die Summe a+b und die Differenz a−b. Ein Winkel α wird als konstruierbar bezeichnet, wenn cos(α) eine konstruierbare Zahl ist.

Für ein regelmäßiges n-Eck genügt es, den Zentriwinkel 2π/n zu konstruieren. Sind Mittelpunkt und eine Ecke gegeben, kann ausgehend von der Verbindungsgeraden zum Eckpunkt die nächste Ecke bestimmt werden. Umgekehrt lässt sich aus einem gegebenen regelmäßigen n-Eck der Zentriwinkel abgreifen. Die Frage nach der Konstruierbarkeit des Polygons wird dadurch auf die Konstruierbarkeit dieses Winkels zurückgeführt.

Das Kriterium für regelmäßige Polygone

Carl Friedrich Gauß zeigte 1796, dass das regelmäßige Siebzehneck konstruierbar ist. Er stellte cos(2π/17) durch einen Ausdruck dar, der nur ganze Zahlen, arithmetische Grundoperationen und verschachtelte Quadratwurzeln enthält. 1801 gab Gauß eine hinreichende Bedingung für konstruierbare regelmäßige Polygone an; Pierre-Laurent Wantzel bewies 1837 auch die Notwendigkeit. Das Ergebnis heißt Satz von Gauß-Wantzel.

Für n≥3 sind folgende Aussagen äquivalent:

• Das regelmäßige n-Eck ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar.
• n=2^k p₁⋯pₘ mit k∈ℕ₀ und m∈ℕ₀, wobei p₁,…,pₘ paarweise verschiedene Fermatsche Primzahlen sind. Für m=0 steht das leere Produkt definitionsgemäß für 1.
• φ(n)=2^r für ein r∈ℕ. Dabei ist φ die Eulersche φ-Funktion.

Eine Zahl n≥2 ist genau dann ein Produkt aus einer Potenz von 2 und verschiedenen Fermatschen Primzahlen, wenn φ(n) eine Potenz von 2 ist. Sind m und n teilerfremd und sowohl das m-Eck als auch das n-Eck konstruierbar, ist auch das mn-Eck konstruierbar, denn φ(mn)=φ(m)φ(n). Geometrisch folgt dies aus dem Lemma von Bézout: Für ganze Zahlen a und b mit 1=am+bn ergibt sich aus den Zentriwinkeln

a·(2π/n)+b·(2π/m)=2π/(mn).

Damit lässt sich aus den beiden Konstruktionen der Zentriwinkel und anschließend das mn-Eck gewinnen.

Konkrete Folgen und zusätzliche Hilfsmittel

Bis heute wurden über die fünf bereits Gauß bekannten Fermatschen Primzahlen 3, 5, 17, 257 und 65537 hinaus keine weiteren gefunden. Es besteht die plausible Vermutung, dass es keine weiteren Fermatschen Primzahlen gibt. Falls tatsächlich nur diese fünf existieren, sind unter den Polygonen mit ungerader Eckenzahl genau 31 theoretisch konstruierbar: die Produkte einer beliebigen Auswahl dieser fünf Zahlen, also beispielsweise 3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257, 771, 1.285, 4.369, 65.535, 65.537 und bis zum vollständigen Produkt 4.294.967.295.

Alle anderen konstruierbaren Polygone haben dann eine gerade Eckenzahl. Sie sind entweder das Quadrat oder entstehen durch fortgesetztes Verdoppeln der Eckenzahl aus einem der genannten ungeraden Fälle. Konstruktionsanweisungen sind für das Dreieck, Fünfeck, Siebzehneck, 257-Eck und 65537-Eck bekannt. Johann Gustav Hermes begann im November 1879 mit der Konstruktion des 65537-Ecks und übergab mehr als zehn Jahre später dem Mathematischen Institut der Universität Göttingen ein Manuskript, das diese theoretisch mögliche Konstruktion mit Zirkel und Lineal beschrieb und bewies.

Wird zusätzlich ein Hilfsmittel zur Dreiteilung eines Winkels zugelassen, sind regelmäßige Polygone der Form

n=2^r3^sp₁⋯pₖ

konstruierbar. Dabei sind p₁,…,pₖ verschiedene Pierpont-Primzahlen größer als 3 der Form 2^t3^u+1. Dadurch werden zum Beispiel das Siebeneck, das Neuneck und das Dreizehneck konstruierbar.

Mit Hilfsmitteln wie der Quadratrix des Hippias, der archimedischen Spirale oder der Sinuskurve können neben der Dreiteilung auch Winkel in n gleich große Teile geteilt werden. Damit sind theoretisch sämtliche regelmäßigen Polygone konstruierbar. Die Tabelle des Artikels kennzeichnet für alle Eckenzahlen von 3 bis 1000, ob ein Polygon mit Zirkel und Lineal (J), zusätzlich mit Trisektion (T) oder nicht (N) konstruierbar ist. Beispiele sind: 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16 und 17 sind mit Zirkel und Lineal konstruierbar; das 7-, 9- und 13-Eck benötigen in dieser Einteilung zusätzlich Trisektion; das 11-, 18- und 19-Eck sind auch mit diesem zusätzlichen Hilfsmittel nicht konstruierbar. Eckenzahlen klassisch konstruierbarer Polygone werden außerdem in der OEIS-Folge A003401, nicht klassisch konstruierbare in A004169 gesammelt.

Galoistheoretische Erklärung

Die Galoistheorie erklärt, warum das Gauß-Wantzel-Kriterium gilt. Die Menge der konstruierbaren Zahlen bildet einen Körper, in dem aus positiven Zahlen zusätzlich Quadratwurzeln gezogen werden können. Das Schneiden zweier Geraden entspricht dem Lösen einer linearen Gleichung; der Schnitt einer Geraden mit einem Kreis oder zweier Kreise dem Lösen einer quadratischen Gleichung.

Ist a konstruierbar, gibt es einen Körperturm

ℚ⊊M₀⊊M₁⊊⋯⊊Mₘ,

mit a∈Mₘ und Mᵢ₊₁=Mᵢ[√γᵢ] für ein γᵢ∈Mᵢ. Umgekehrt ist jede Zahl aus einem solchen Turm konstruierbar. Daher ist jede konstruierbare Zahl algebraisch und es gilt [ℚ[a]:ℚ]=2^m, also eine Potenz von 2.

Für ein regelmäßiges n-Eck betrachtet man den Kreisteilungskörper ℚ[ζₙ] mit ζₙ=exp(2πi/n). Die n-ten Einheitswurzeln ζₙ sind die Eckpunkte eines regelmäßigen n-Ecks auf dem Einheitskreis. Es genügt, die reelle Zahl αₙ=ζₙ+ζₙ⁻¹ zu konstruieren. Wegen αₙ=2cos(2π/n) ist dies eng mit dem Zentriwinkel verbunden.

Die Kreisteilungspolynome sind irreduzibel, daher gilt [ℚ[ζₙ]:ℚ]=φ(n). Weil ζₙ nicht reell ist, gilt außerdem [ℚ[ζₙ]:ℚ[αₙ]]=2; das Minimalpolynom von ζₙ über ℚ[αₙ] ist X²−αₙX+1. Ist das n-Eck konstruierbar, muss deshalb φ(n) eine Potenz von 2 sein.

Umgekehrt ist die Galoisgruppe Gal(ℚ[ζₙ]:ℚ) isomorph zu (ℤ/nℤ)× und hat die Ordnung φ(n). Ist φ(n)=2^m, besitzt diese endliche abelsche Gruppe eine Kette von Normalteilern mit sukzessiven Quotienten der Ordnung 2. Der Hauptsatz der Galoistheorie liefert daraus einen Körperturm mit Erweiterungsgrad 2; jede Stufe entsteht durch eine Quadratwurzel. Somit sind ζₙ und das regelmäßige n-Eck konstruierbar.

Beim Beispiel n=5 ist φ(5)=2² und Gal(ℚ[ζ₅]:ℚ)≅(ℤ/5ℤ)×=⟨2⟩. Eine passende Kette ist ⟨2⟩⊲⟨4⟩⊲⟨1⟩. Für α₅ gilt das Minimalpolynom X²+X−1, und daraus folgt

α₅=−1/2+1/2√5.

Durch Lösen von X²−α₅X+1 erhält man außerdem

ζ₅=−1/4(−1+√5+i√(10+2√5)).

Diese Ausdrücke liefern alternative algebraische Konstruktionen des regelmäßigen Fünfecks.