Selbstähnlichkeit

Begriff und Bedeutung

Selbstähnlich heißt ein System, wenn es seinen eigenen Elementen ähnelt: Teile oder verkleinerte Ausschnitte zeigen also Strukturen, die dem gesamten System gleichen oder ähneln. Diese Eigenschaft ist besonders wichtig in der fraktalen Geometrie, weil fraktale Objekte eine hohe Selbstähnlichkeit besitzen. Im weiteren Sinne bezeichnet der Begriff in der Philosophie sowie in den Sozial- und Naturwissenschaften grundsätzlich wiederkehrende, ineinander verschachtelte Strukturen.

Bei exakter oder strikter Selbstähnlichkeit bleibt bei beliebig starker Vergrößerung immer wieder die ursprüngliche Struktur erhalten; eine elementare Feinstruktur wird nie erreicht. Solche Exaktheit findet man praktisch nur bei mathematisch erzeugten Objekten, beispielsweise bei Fraktalen aus einem iterierten Funktionen-System (IFS). Strikte Selbstähnlichkeit führt zur Skaleninvarianz: Die grundlegende Gestalt oder Gesetzmäßigkeit bleibt bei einer Änderung des Maßstabs erhalten. Sie kann unter anderem durch die charakteristischen Exponenten eines zugrunde liegenden Potenz- oder Skalengesetzes quantitativ beschrieben werden.

Mathematische Beispiele und Formen

Exakt selbstähnliche Objekte sind etwa das Sierpinski-Dreieck, die Koch-Kurve und die Cantor-Menge. Auch ein Punkt und eine Gerade sind triviale Beispiele. Die Mandelbrot-Menge und die Julia-Mengen sind ebenfalls selbstähnlich, jedoch nicht strikt selbstähnlich.

Eine verkleinerte Version einer Ausgangsfigur, mit der sich diese Figur wieder zusammensetzen lässt, wird im Englischen als „Reptile“ bezeichnet, eine Abkürzung für „replicating tile“. Besteht eine zusammengesetzte Figur aus N solchen verkleinerten Versionen, heißt sie rep-N-Figur. Als entsprechende Formen werden unter anderem allgemeine und besondere Dreiecke, gleichschenklige Trapeze, „Sphinx tilings“, ein L-Tromino, ein L-Tetromino und ein T-Tetromino gezeigt.

Ähnlichkeitsdimension und Berechnung

Die Ähnlichkeitsdimension ist eine Dimension für selbstähnliche Mengen. Besteht eine Menge aus N Kopien ihrer selbst, die jeweils um den Faktor ε mit ε < 1 verkleinert sind, so ist sie definiert durch

D = −log(N) / log(ε).

Für diese Berechnung ist kein Grenzwert erforderlich. Dadurch ist die Ähnlichkeitsdimension besonders einfach und häufig die einzige fraktale Dimension, die für Laien leicht verständlich ist. Sie eignet sich insbesondere für IFS-Fraktale. Bei vielen bekannten Fraktalen lässt sich damit die fraktale Dimension bestimmen. Sie ist jedoch nicht für jedes Objekt definiert: Ein Kreis besteht beispielsweise nicht aus verkleinerten Kreisen und besitzt daher keine Ähnlichkeitsdimension in diesem Sinn.

Typische Dimensionsbeispiele

Ein Quadrat besteht aus N = 4 Quadraten mit jeweils der halben Seitenlänge, also ε = 1/2. Deshalb gilt:

D = −log(4) / log(1/2) = −log(2²) / log(2⁻¹) = −(2 · log 2)/(−log 2) = 2.

Das Sierpinski-Dreieck besteht aus N = 3 Kopien seiner selbst, die jeweils um ε = 1/2 verkleinert sind. Seine Ähnlichkeitsdimension beträgt

D = log(3) / log(2) ≈ 1,585.

Die Koch-Kurve besteht aus N = 4 Kopien, die jeweils um ε = 1/3 verkleinert sind. Ihre Ähnlichkeitsdimension beträgt

D = log(4) / log(3) ≈ 1,262.

Selbstähnlichkeit in Natur und Anwendungen

In der Natur treten selbstähnliche Strukturen häufig auf. Beispiele sind die Verästelungen von Blutgefäßen und Farnblättern sowie Teile eines Blumenkohls. Besonders deutlich ist dies beim Romanesco: Vergrößerte Teile ähneln dem gesamten Blumenkohlkopf; sein Blütenstand zeigt außerdem Fibonacci-Spiralen. Anders als bei idealen mathematischen Objekten kann die Vergrößerung realer Strukturen jedoch nicht unbegrenzt fortgesetzt werden.

Auch Abbildungen der realen Welt enthalten Selbstähnlichkeiten. Diese können bei der fraktalen Bildkompression und der fraktalen Tonkompression genutzt werden. Eine kennzeichnende Zahl für immer wiederkehrende Selbstähnlichkeit ist der Goldene Schnitt.

Rekurrenzen, also Aufrufe oder Definitionen einer Funktion durch sich selbst, sind ebenfalls selbstähnlich. Darüber hinaus sind die Trajektorien eines Wiener-Prozesses und der gebrochenen Brownschen Bewegung selbstähnlich.