Penrose-Parkettierung

Grundidee

Eine Penrose-Parkettierung ist eine Familie ebener Parkettierungen, die Roger Penrose und Robert Ammann 1973 entdeckten und 1974 publizierten. Sie besteht aus aperiodischen Kachel-Paaren: Die Kacheln können die Ebene lückenlos bedecken, aber dabei entsteht kein Muster, das sich durch Verschiebung regelmäßig wiederholt. Solche Muster heißen nichtperiodisch, weil sie keine Translationssymmetrie besitzen.

Die Penrose-Parkettierung ist wichtig, weil sie zeigt, dass geordnete Muster ohne periodische Wiederholung möglich sind. Sie kann lokale Symmetrien haben, zum Beispiel eine 5-zählige Rotationssymmetrie, aber dennoch insgesamt nicht periodisch sein.

Rauten und goldener Schnitt

Ein häufig verwendeter Satz von Penrose-Kacheln besteht aus zwei Rauten mit gleicher Seitenlänge, aber unterschiedlichen Innenwinkeln. Die schlanke Raute hat Winkel von 36° und 144°, die breite Raute Winkel von 72° und 108°. Alle Winkel sind damit Vielfache von 36°.

In beiden Kacheln tritt der goldene Schnitt auf. Er wird mit Φ bezeichnet und ist definiert als Φ = (1 + √5) / 2. Wenn die Seitenlänge 1 ist, hat die lange Diagonale der breiten Raute die Länge Φ. Die kurze Diagonale der schlanken Raute hat die Länge 1/Φ. Auch das Flächenverhältnis der beiden Rauten ist Φ, ebenso das Anzahlverhältnis der insgesamt in der Parkettierung verwendeten Kacheln.

Zusammenfügen der Kacheln

Die beiden Kacheln dürfen nicht beliebig aneinandergelegt werden. Damit nur die vorgesehenen nichtperiodischen Muster entstehen, können die Kachelseiten mit Zähnen und passenden Einkerbungen versehen werden, ähnlich wie bei Puzzleteilen. Alternativ können Farbmuster auf den Kacheln festlegen, welche Kanten aneinanderpassen.

Eine wichtige Regel ist die Parallelogrammregel. Sie verbietet, dass zwei Kacheln so zusammengesetzt werden, dass sie zusammen ein Parallelogramm bilden. Diese Regel allein reicht aber nicht aus, um periodische Parkettierungen sicher zu verhindern.

Eigenschaften der Muster

Es gibt überabzählbar unendlich viele verschiedene nicht-kongruente Penrose-Parkettierungen. Nicht-kongruent bedeutet hier, dass die Muster nicht durch einfache Bewegungen wie Verschieben, Drehen oder Spiegeln zur Deckung gebracht werden können.

Penrose-Parkettierungen können Rotations- und Spiegelsymmetrie besitzen, aber keine Translationssymmetrie. Trotzdem wiederholt sich jeder endliche Ausschnitt eines solchen Musters unendlich oft, sogar in jeder anderen Penrose-Parkettierung aus den gleichen Kacheln. Deshalb kann man aus einem endlichen Ausschnitt nicht eindeutig bestimmen, welche vollständige Parkettierung vorliegt. Ein Muster kann etwa so fortgesetzt werden, dass es bis ins Unendliche eine perfekte 5-zählige Rotationssymmetrie besitzt; daneben sind aber unendlich viele andere Fortsetzungen möglich.

Weitere Kacheln und Anwendungen

Neben den rhombischen Kacheln gibt es ein weiteres aperiodisches Kachel-Paar, das „Drachen“ und „Pfeil“ genannt wird. Für Penrose-Parkettierungen mit Drachen und Pfeilen gibt es die unbewiesene Vermutung von Ammann und Penrose, dass die Entfernung zweier gleicher Teilmuster kleiner als d · (1/2 + Φ) ist, wobei d der Durchmesser der Teilmuster ist. Damit wären gleiche Teilmuster nicht nur unendlich oft vorhanden, sondern auch immer relativ nah beieinander.

Die Möglichkeit, die Ebene mit einem aperiodischen Kachel-Satz zu parkettieren, wurde zuerst 1966 oder 1964 von Robert Berger bewiesen. Berger veröffentlichte kurz danach ein Beispiel mit 20426 verschiedenen Kacheln. Danach wurden immer kleinere aperiodische Kachel-Sätze gefunden, bis Penrose 1973 die Zahl auf zwei Kacheln reduzierte.

Seit den 1980er-Jahren kennt man Materialien, deren Atome ähnlich wie Penrose-Kacheln angeordnet sind. Diese Materialien heißen Quasikristalle: Ihre Struktur ähnelt der von Kristallen, kann aber keine periodischen Muster aufweisen. Auch in der dritten Dimension gibt es Bezüge: Die schlanke Raute kann als perspektivische Verzerrung der breiten Raute verstanden werden; die entstehende Oberfläche heißt Wieringa-Dach. Außerdem erkennt man wegen der Ähnlichkeiten zu dreidimensionalen Quasikristallen Rhombentriakontaeder und Rhombenhexakontaeder in der Parkettierung.

Historische Bezüge und Monokacheln

Historische Vorläufer werden in islamischen Ornamenten gesehen. Peter Lu von der Harvard-Universität bemerkte 2007 bei einer Reise durch Usbekistan Kachelornamente, die ihn an Penrose-Parkettierungen erinnerten. Später fand er auf Fotografien des Darb-e-Imam-Schreins in Isfahan, Iran, Arbeiten aus dem 15. Jahrhundert, die Penrose-Ergebnisse vorwegzunehmen scheinen. Emil Makovicky zeigte 1992 am Gonbad-e-Kabud in Maragha, dass bereits ab dem 12. Jahrhundert fünf einfach konstruierbare Grundformen, sogenannte Girih-Kacheln, für nicht wiederholende, unendliche Parkettierungen verwendet wurden. Ab dem 15. Jahrhundert kam außerdem Selbstähnlichkeit hinzu, wie man sie von Fraktalen kennt.

Lange war offen, ob es eine einzelne Kachelform gibt, mit der nur nichtperiodische Parkettierungen möglich sind. Eine solche Kachel wird auf Englisch „Einstein“ oder „aperiodic monotile“ genannt. 2023 wurde eine Lösung vorgeschlagen. Die bis dahin beste Näherung stammte von Joan M. Taylor, veröffentlicht mit Joshua Socolar; diese Kachel war entweder nicht zusammenhängend oder in einer anderen Version dreidimensional. Im März 2023 fanden David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan und Chaim Goodman-Strauss eine Kachelgruppe namens „Hut“ oder „Schildkröte“, mit der die Ebene ohne zusätzliche Regeln ausschließlich nichtperiodisch parkettiert werden kann, allerdings zusammen mit einer spiegelsymmetrischen Variante. Im Mai 2023 fanden dieselben Autoren mit dem „Gespenst“ eine Lösung, bei der nur Rotation und Translation verwendet werden. 2024 wurden beide Entdeckungen in einer Fachzeitschrift mit Peer-Review veröffentlicht.