Einstein-Problem (Geometrie)

Gegenstand und zentrale Definitionen

Das Einstein-Problem ist ein Problem der diskreten Geometrie. Gesucht ist eine einzige geometrische Form, eine sogenannte Protokachel, mit der sich die gesamte euklidische Ebene durch gedrehte, verschobene oder – je nach Variante – auch gespiegelte Kopien ohne Überlappungen und lückenlos parkettieren lässt. Zusätzlich darf keine solche Parkettierung ein periodisch wiederkehrendes Muster besitzen.

Eine Protokachel mit dieser Eigenschaft heißt aperiodisch. Eine periodische Parkettierung wiederholt sich wie ein Tapetenmuster: Die gesamte Struktur kann in zwei verschiedenen, genauer linear unabhängigen, Richtungen geradlinig verschoben werden und bildet sich dabei auf sich selbst ab. Diese beiden Verschiebungen sind Translationssymmetrien. Bei einer nichtperiodischen Parkettierung gibt es keine zwei unabhängigen Translationssymmetrien.

Der englische Begriff „Einstein“ für eine aperiodische Monokachel ist ein Wortspiel aus „ein“ und „Stein“ und bedeutet sinngemäß „eine einzelne Kachel“. Ein Zusammenhang mit der Forschung Albert Einsteins besteht nicht. Das Problem kann als Erweiterung des zweiten Teils von Hilberts achtzehntem Problem verstanden werden. Für den dreidimensionalen Raum wurden anisohedrale Polyeder, also Polyeder ohne isohedrale Raumfüllung, erstmals 1928 von Karl Reinhardt vorgestellt; 1932 fand Heinrich Heesch eine entsprechende Lösung für die Ebene. Ergebnisse zu aperiodischen Protokacheln waren außerdem in den 1970er-Jahren für die Entdeckung der Quasikristalle wichtig, die 2011 mit einem Nobelpreis in Chemie verbunden war.

Die Lösungen von 2023

David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan und Chaim Goodman-Strauss legten im März und Mai 2023 erstmals Protokacheln mit den geforderten Eigenschaften und die dazugehörigen Beweise vor; Teile der Beweise benötigen Computer-Unterstützung. Die Entdeckung wurde 2024 auch in einer Fachzeitschrift veröffentlicht.

Die im März 2023 vorgestellte Hut-Kachel ist eine zusammenhängende Form, mit der die Ebene lückenlos und ohne zusätzliche Zusammenfügungsregeln parkettiert werden kann. Für eine solche Parkettierung müssen jedoch unendlich viele gespiegelte Kacheln verwendet werden. Die blauen Kacheln besitzen dabei dieselbe Form, während die gelben spiegelbildlich zu ihnen sind. Der Ansatz führt zugleich zu einer Familie leicht veränderter Monokacheln mit denselben Eigenschaften.

Aus diesem Ansatz entstand die zweite Lösung, die im Mai 2023 vorgestellt wurde: ein unregelmäßiges, nichtkonvexes 14-seitiges Polygon. Durch eine Modifizierung seiner Kanten erhält man die Spectre-Kachel; „Spectre“ bedeutet im Englischen „Gespenst“. Diese Kachel löst das Problem auch unter der strengeren Bedingung, dass ausschließlich Drehungen und Verschiebungen, nicht aber Spiegelungen, verwendet werden dürfen. Das 14-seitige Polygon wurde in der Originalarbeit von Smith et al. als Tile (1,1) bezeichnet.

Frühere Ansätze und Einordnung

Bis März 2023 war die Penrose-Parkettierung von 1974 das bekannteste Beispiel für eine aperiodische Parkettierung der Ebene. Sie benötigt allerdings zwei verschiedene Protokacheln. Die Suche nach einer aperiodischen Monokachel dauerte seit Mitte der 1970er-Jahre fast 50 Jahre.

Frühere Konstruktionen erfüllten jeweils nicht alle Anforderungen des Problems. 1988 entdeckte Peter Schmitt ein Polyeder für eine nichtperiodische, lückenlose Parkettierung des dreidimensionalen euklidischen Raums. Einige dieser Parkettierungen besitzen jedoch eine Schiefsymmetrie: eine Kombination aus einer Parallelverschiebung und einer Rotation über ein irrationales Vielfaches von π. John Horton Conway und Ludwig Danzer entwickelten daraus die konvexe Schmitt-Conway-Danzer-Kachel. Daraufhin unterschied Chaim Goodman-Strauss zwischen starker und schwacher Aperiodizität. Stark aperiodisch ist eine Kachelung, wenn sie keine unendliche zyklische Gruppe euklidischer Transformationen als Symmetrien zulässt; nur Kachelsätze, die diese starke Aperiodizität erzwingen, werden als stark aperiodisch bezeichnet, andere als schwach aperiodisch.

Petra Gummelt konstruierte 1996 eine dekorierte zehneckige Protokachel. Sie kann die Ebene zwingend nichtperiodisch parkettieren, wenn zwei Arten von Überlappungen zwischen Kachelpaaren erlaubt werden. Wegen dieser Überlappungsregeln löst sie das Einstein-Problem nicht.

Joshua Socolar und Joan Taylor entwickelten 2010 einen weiteren Ansatz. Ihre dekorierte Kachel benötigt Zusammenfügungsregeln, die die relative Ausrichtung auch nicht benachbarter Kacheln einschränken und auf Zeichnungen auf den Kacheln verweisen. Eine undekorierte Variante kommt ohne solche Regeln aus, ist aber unzusammenhängend und aus insgesamt 19 Protokacheln in fester Anordnung zusammengesetzt. Sie ist daher keine abgeschlossene topologische Scheibe. Eine Erweiterung zu einem zusammenhängenden, raumfüllenden Polyeder ist möglich; dessen Raumfüllungen sind jedoch in einer Richtung periodisch und damit nur schwach aperiodisch. Die Lösungen von Smith et al. sind demgegenüber zusammenhängend, lückenlos und benötigen keine zusätzlichen Parkettierungsregeln.

Trivia

Ein Wettbewerb des National Museum of Mathematics (MoMath) in New York erbrachte Ende 2023 kreative Anwendungsmöglichkeiten der Hut-Kachelform.