Partialbruchzerlegung

Grundidee und Hauptsatz

Die Partialbruchzerlegung (PBZ) ist eine standardisierte Darstellung rationaler Funktionen. Eine rationale Funktion ist ein Quotient aus Polynomen. Die PBZ erleichtert insbesondere das Integrieren rationaler Funktionen sowie Berechnungen bei der Laplace- und der z-Transformation.

Jede rationale Funktion lässt sich als Summe einer Polynomfunktion und von Brüchen der Form aᵢ/(x−xᵢ)ʲ darstellen. Die xᵢ sind die Polstellen, also die Nullstellen des Nennerpolynoms, und j bezeichnet ihre jeweilige Potenz. Sind die Polstellen bekannt, besteht die eigentliche Aufgabe darin, die Zählerkonstanten zu bestimmen.

Für eine reellwertige rationale Funktion R mit m verschiedenen reellen Polstellen xᵢ der Ordnung rᵢ und n bis auf Konjugation verschiedenen komplexen Polstellen zᵢ der Ordnung sᵢ gilt eindeutig:

R(x)=P(x)+∑ᵢ₌₁ᵐ∑ⱼ₌₁ʳⁱ aᵢⱼ/(x−xᵢ)ʲ+∑ᵢ₌₁ⁿ∑ⱼ₌₁ˢⁱ (bᵢⱼx+cᵢⱼ)/((x−zᵢ)ʲ(x−z̄ᵢ)ʲ).

Dabei ist P eine Polynomfunktion und aᵢⱼ, bᵢⱼ sowie cᵢⱼ sind reelle Konstanten. Die Brüche mit reellen Polstellen heißen Partialbrüche 1. Art, die Brüche mit konjugiert komplexen Polstellen Partialbrüche 2. Art.

Für eine komplexwertige rationale Funktion R(z) mit den verschiedenen Polstellen zᵢ der Ordnung rᵢ lautet die eindeutig bestimmte Darstellung:

R(z)=P(z)+∑ᵢ₌₁ⁿ∑ⱼ₌₁ʳⁱ aᵢⱼ/(z−zᵢ)ʲ,

wobei P ein Polynom und die Konstanten aᵢⱼ komplex sind. Die reelle Form vermeidet komplexe Zahlen, weil bei reellen Polynomen mit jeder komplexen Nullstelle auch ihre konjugiert komplexe Nullstelle auftritt. Das Produkt (x−zᵢ)(x−z̄ᵢ)=x²+pᵢx+qᵢ ist dann ein reelles quadratisches Polynom.

Verfahren und Ansatz

Zuerst vergleicht man den Grad des Zählers mit dem Grad des Nenners. Ist der Zählergrad größer oder gleich dem Nennergrad, führt man eine Polynomdivision durch. Es entsteht R(x)=P(x)+R*(x) mit R*(x)=Z*(x)/N*(x). Falls R*≡0 ist, ist die Zerlegung abgeschlossen. Andernfalls hat Z* einen kleineren Grad als N*, und nur die Restfunktion wird weiter zerlegt. Ist der Zählergrad von Anfang an kleiner als der Nennergrad, setzt man R*:=R.

Danach faktorisiert man N* anhand seiner bekannten Nullstellen. Sind x₁,…,xₙ die verschiedenen Nullstellen mit den Vielfachheiten rᵢ, gilt N*(x)=(x−x₁)ʳ¹⋅(x−x₂)ʳ²⋯(x−xₙ)ʳⁿ.

Für eine einfache reelle Nullstelle xᵢ verwendet man den Summanden aᵢ₁/(x−xᵢ). Bei einer rᵢ-fachen reellen Nullstelle lautet der Ansatz

aᵢ₁/(x−xᵢ)+aᵢ₂/(x−xᵢ)²+⋯+aᵢᵣⁱ/(x−xᵢ)ʳⁱ.

Für ein konjugiert komplexes Nullstellenpaar zᵢ und z̄ᵢ mit x²+pᵢx+qᵢ=(x−zᵢ)(x−z̄ᵢ) verwendet man bei einfachen Polstellen (bᵢx+cᵢ)/(x²+pᵢx+qᵢ). Bei der Vielfachheit sᵢ benötigt man alle sᵢ Terme

(bᵢ₁x+cᵢ₁)/(x²+pᵢx+qᵢ)+⋯+(bᵢₛⁱx+cᵢₛⁱ)/(x²+pᵢx+qᵢ)ˢⁱ.

Der gesamte Ansatz enthält genau g unbekannte Koeffizienten. Zur Bestimmung multipliziert man die Gleichung mit N*. Dann steht links Z*, rechts ein nach Potenzen von x geordnetes Polynom. Der Koeffizientenvergleich liefert ein lineares Gleichungssystem. Alternativ setzt man bis zu g verschiedene x-Werte ein; besonders sinnvoll sind bekannte reelle Nullstellen, weil dadurch jeweils unmittelbar ein Koeffizient bestimmt werden kann. Beide Verfahren lassen sich kombinieren.

Typische Zerlegungen

Bei einfachen reellen Polstellen ergibt sich für R(x)=x/(x²−1) mit x₁=1 und x₂=−1 der Ansatz

x/(x²−1)=a₁/(x−1)+a₂/(x+1).

Nach Multiplikation mit x²−1 folgt x=a₁(x+1)+a₂(x−1)=(a₁+a₂)x+(a₁−a₂). Der Koeffizientenvergleich liefert a₁+a₂=1 und a₁−a₂=0, also a₁=a₂=1/2. Damit ist

x/(x²−1)=1/(2(x−1))+1/(2(x+1)).

Bei einer doppelten Polstelle muss sowohl die erste als auch die zweite Potenz berücksichtigt werden. Für R(x)=x²/(x²−2x+1) erhält man zunächst durch Polynomdivision

R(x)=1+(2x−1)/(x−1)².

Mit (2x−1)/(x−1)²=a₁/(x−1)+a₂/(x−1)² folgt a₁=2 und a₂=1. Daher gilt

x²/(x²−2x+1)=1+2/(x−1)+1/(x−1)².

Bei komplexen Polstellen wird ein reeller quadratischer Faktor verwendet. Für R(x)=(5x²+2x+1)/(x³+x) liegen die Nullstellen 0, i und −i vor, und (x−i)(x+i)=x²+1. Der Ansatz lautet

(5x²+2x+1)/(x³+x)=a₁/x+(b₁x+c₁)/(x²+1).

Der Koeffizientenvergleich ergibt a₁=1, b₁=4 und c₁=2. Somit ist

(5x²+2x+1)/(x³+x)=1/x+(4x+2)/(x²+1).

Integration und weitere Anwendungen

Die PBZ ist für die Integration wichtig, weil die Stammfunktionen der einzelnen Partialbrüche bekannt sind. Bei einer reellen einfachen Polstelle gilt

∫ A/(x−a) dx=A·ln|x−a|+c.

Bei einer reellen mehrfachen Polstelle mit n≠1 gilt

∫ A/(x−a)ⁿ dx=−A·(x−a)⁻⁽ⁿ⁻¹⁾/(n−1)+c.

Für einen reellen quadratischen Nenner x²+px+q mit komplexen einfachen Polstellen gilt bei konstantem Zähler:

∫ B/(x²+px+q) dx=(2B/√(4q−p²))·arctan((2x+p)/√(4q−p²))+c.

Bei einem linearen Zähler wird darauf zurückgeführt:

∫ (Bx+C)/(x²+px+q) dx=(B/2)·ln(x²+px+q)+(C−pB/2)·∫1/(x²+px+q) dx+c.

Für mehrfach auftretende komplexe Polstellen werden Rekursionsvorschriften verwendet. Für n≠0 gilt

∫ B/(x²+px+q)ⁿ⁺¹ dx = B/((4q−p²)n)·(2x+p)/(x²+px+q)ⁿ + (2/(4q−p²))·((2n−1)/n)·∫ B/(x²+px+q)ⁿ dx+c.

Für einen linearen Zähler und n≠1 gilt

∫(Bx+C)/(x²+px+q)ⁿ dx=−B/(2(n−1))·1/(x²+px+q)ⁿ⁻¹ +(C−pB/2)·∫1/(x²+px+q)ⁿ dx+c.

Auch bei der Laplace- und der z-Transformation wird die PBZ genutzt: Die Transformierten der einzelnen Partialbrüche können Tabellen entnommen werden. Ist eine Funktion in passende Summanden zerlegt, entfällt dadurch eine analytische Berechnung. Ist für jede Polstelle eine Laurent-Reihen-Entwicklung bekannt, erhält man die PBZ außerdem als Summe der Hauptteile dieser Reihen; dieser Zugang steht mit dem Residuenkalkül in Verbindung.

Kubische, quartische und allgemeine Fälle

Für kubische Nenner kann ein Bruch der Form (tx²+ux+v)/((ax+b)(cx²+dx+e)) unter der Bedingung a²e+b²c−abd≠0 direkt zerlegt werden. Ein wichtiges Beispiel ist

1/(x³+1)=1/(3(x+1))−(2x−1)/(6(x²−x+1))+1/(2(x²−x+1)).

Durch Integration von 0 bis 1 folgt daraus

∑ₖ₌₀∞(−1)ᵏ/(3k+1)=∫₀¹1/(x³+1) dx=π/(9√3)+(1/3)ln(2)≈0,835648848264721.

Für einen quartischen Nenner in der Form (ax²+bx+c)(dx²+ex+f) verwendet man den Ansatz

(tx³+ux²+vx+w)/((ax²+bx+c)(dx²+ex+f))=(y₁x+y₂)/(ax²+bx+c)+(y₃x+y₄)/(dx²+ex+f).

Die vier Koeffizienten y₁,y₂,y₃,y₄ werden durch ein lineares Gleichungssystem beziehungsweise eine Matrixinversion bestimmt. Dabei gelten die Abkürzungen p=ae−bd, q=cd−af und r=bf−ce. Für den konkreten Bruch

(x³+2x²+4x+6)/((3x²+5x+7)(11x²+13x+17))

ergibt sich

(x³+2x²+4x+6)/((3x²+5x+7)(11x²+13x+17))=(82x−57)/(290(3x²+5x+7))+(−204x+387)/(290(11x²+13x+17)).

Allgemeiner lässt sich die PBZ auf den rationalen Funktionenkörper K(X) über einem Körper K verallgemeinern. Sind P die normierten irreduziblen Polynome in K[X], so bilden die Funktionen Xⁱ/pʲ mit p∈P, j∈ℕ₊ und 0≤i<deg(p) zusammen mit den Monomen Xⁱ, i∈ℕ, eine K-Basis des K-Vektorraums K(X).