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Ebene kristallographische Gruppe
Ziffern n (2, 3, 4, 6) bezeichnen ein n-zähliges Rotationszentrum. · Ein ∗ steht für eine Spiegelachse. · Ein × steht für eine Gleitspiegelung. · Ein ∘ steht für …
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Grundidee und Bedeutung
Ebene kristallographische Gruppen heißen auch Tapetenmustergruppen, Wandmustergruppen oder Ornamentgruppen. Sie beschreiben die Symmetriegruppen von periodischen Mustern oder Parkettierungen der euklidischen Ebene. Bis auf affine Äquivalenz gibt es genau 17 solche Gruppen. Im dreidimensionalen Raum entsprechen ihnen die 230 kristallographischen Raumgruppen.
In der Gruppentheorie besteht eine solche Gruppe aus allen Kongruenzabbildungen, die ein Muster auf sich selbst abbilden. Die Gruppenoperation ist die Komposition von Abbildungen, also das Hintereinanderausführen dieser Symmetrien.
Symmetrieelemente
Ein periodisches Muster kann aus mehreren grundlegenden Symmetrieelementen aufgebaut sein. Eine Translation ist eine Verschiebung. Eine Achsenspiegelung spiegelt das Muster an einer Geraden. Eine Gleitspiegelung verbindet eine Translation mit einer Achsenspiegelung. Eine Rotation ist eine Drehung um ein Zentrum.
Bei ebenen kristallographischen Gruppen sind nur bestimmte Rotationen möglich: 2-zählig bedeutet eine Drehung um 180° beziehungsweise eine Punktspiegelung, 3-zählig eine Drehung um 120°, 4-zählig eine Drehung um 90° und 6-zählig eine Drehung um 60°. Andere Drehungen sind in der euklidischen Ebene für periodische Muster nicht möglich. Als Begründung nennt der Artikel, dass zu solchen Symmetriegruppen periodische Parkettierungen mit regelmäßigen Vielecken entsprechender Zähligkeit gehören; eine Parkettierung mit regelmäßigen Fünfecken geht an den Ecken nicht auf, weil deren Innenwinkel 108° beträgt und 108 kein Teiler von 360 ist. In nichteuklidischen Geometrien sind dagegen auch andere Zähligkeiten möglich.
Eine 4-zählige Rotationssymmetrie enthält zugleich eine 2-zählige Symmetrie. Eine 6-zählige Rotationssymmetrie enthält sowohl eine 3-zählige als auch eine 2-zählige Symmetrie. Deshalb wird für ein Rotationszentrum normalerweise nur der höchste Wert angegeben.
Jedes periodische Muster kann erzeugt werden, indem die Symmetrieoperationen auf eine beschränkte Elementarzelle immer wieder angewandt werden, bis die ganze Ebene parkettiert ist. Jede Symmetriegruppe eines periodischen Musters enthält per Definition zwei linear unabhängige Translationen. Dadurch kann das gesamte Muster auch durch wiederholte Verschiebung einer translativen Zelle erzeugt werden. Eine translative Zelle enthält eine oder mehrere Kopien der Elementarzelle.
Orbifold-Notation
Die Eigenschaften einer Symmetriegruppe können mit der Orbifold-Notation zusammengefasst werden. Die Ziffern n, also 2, 3, 4 oder 6, bezeichnen ein n-zähliges Rotationszentrum. Ein ∗ steht für eine Spiegelachse. Ziffern vor einem ∗ liegen abseits der Spiegelachsen, Ziffern nach einem ∗ liegen auf den Spiegelachsen.
Ein × bezeichnet eine Gleitspiegelung. Ein ∘ bedeutet, dass es außer den Translationen keine weiteren Symmetrien gibt. Die Translationen kommen in jeder Gruppe vor und werden deshalb nicht ausdrücklich notiert.
Die 17 Gruppen im Überblick
Die 17 ebenen kristallographischen Gruppen unterscheiden sich nach ihren Symmetrieelementen, ihrer Orbifold-Notation, der Form einer möglichen Translationszelle und der Zahl der Elementarzellen in einer minimalen Translationszelle.
Die Gruppe p1 hat die Orbifold-Notation ∘1, eine Parallelogramm-Translationszelle und 1 Elementarzelle. p2 hat 2222, ebenfalls ein Parallelogramm und 2 Elementarzellen. pm hat ∗∗, ein Rechteck und 2 Elementarzellen. pg hat ××, ein Rechteck und 2 Elementarzellen. cm hat ∗×, eine Raute und 2 Elementarzellen.
pmm hat ∗2222, ein Rechteck und 4 Rechtecke als Elementarzellen. pmg hat 22∗, ein Rechteck und 4 Elementarzellen. pgg hat 22×, ein Rechteck und 4 Elementarzellen. cmm hat 2∗22, eine Raute und 4 Elementarzellen.
p4 hat 442, ein Quadrat und 4 Elementarzellen. p4m hat ∗442, ein Quadrat und 8 rechtwinklig gleichschenklige Dreiecke. p4g hat 4∗2, ein Quadrat und 8 Elementarzellen.
p3 hat 333, eine Raute aus zwei gleichseitigen Dreiecken und 3 Elementarzellen. p3m1 hat ∗333, dieselbe Rautenform und 6 gleichseitige Dreiecke. p31m hat 3∗3, dieselbe Rautenform und 6 Elementarzellen. p6 hat 632, dieselbe Rautenform und 6 Elementarzellen. p6m hat ∗632, dieselbe Rautenform und 12 rechtwinklige Dreiecke mit einem Kathetenverhältnis von 2:1.
Wichtige Gruppentypen
Die einfachste Gruppe ist p1. Sie besitzt nur Verschiebungen als Symmetrien und hat die Orbifold-Notation ∘1. p2 besitzt vier Klassen von Punktspiegelzentren; die zweizählige Drehung ist neben der Translation die einzige Symmetrieform.
Die Gruppen pm, pg und cm unterscheiden sich durch Spiegelungen und Gleitspiegelungen ohne Rotationssymmetrie. pm hat zwei zueinander parallele Spiegelachsen. pg hat zwei zueinander parallele Gleitspiegelachsen. cm hat parallel zueinander abwechselnd Spiegelachsen und Gleitspiegelachsen.
Bei pmm, pmg, pgg und cmm treten zweizählige Drehungen zusammen mit Spiegel- oder Gleitspiegelachsen auf. pmm hat senkrecht aufeinander stehende Spiegelachsen; an ihren Schnittpunkten entstehen zweizählige Drehzentren. pmg hat eine Klasse von Spiegelachsen und senkrecht dazu zwei Klassen von Gleitspiegelachsen, auf denen zweizählige Drehzentren liegen. pgg hat keine einfache Achsensymmetrie, aber zwei zueinander senkrechte Gleitspiegelachsen und zwei Klassen von Punktspiegelzentren. cmm enthält zwei senkrecht stehende Klassen von Spiegelachsen mit zweizähligen Drehzentren an den Schnittpunkten; eine weitere Klasse zweizähliger Drehzentren liegt abseits der Spiegelachsen, und es gibt zwei Klassen von Gleitspiegelachsen.
Die Gruppen p4, p4m und p4g enthalten vierzählige Rotationen. p4 hat keine Achsensymmetrie; wichtig sind zwei Klassen vierzähliger Zentren und dazwischen zweizählige Drehzentren. p4m hat die Orbifold-Notation ∗442 und wird auch p4mm genannt. p4g hat die Orbifold-Notation 4∗2 und wird auch p4gm genannt.
Die Gruppen p3, p3m1 und p31m enthalten dreizählige Rotationen. p3 hat drei Klassen dreizähliger Rotationszentren und keine Spiegel- oder Gleitspiegelachsen. p3m1 hat drei Klassen dreizähliger Rotationszentren sowie je eine Klasse von Spiegel- und Gleitspiegelachsen. p31m hat zwei Klassen dreizähliger Rotationszentren sowie je eine Klasse von Spiegel- und Gleitspiegelachsen.
Die Gruppen p6 und p6m enthalten sechszählige Rotationen. p6 hat je eine Klasse von zweizähligen, dreizähligen und sechszähligen Rotationszentren und keine Spiegel- oder Gleitspiegelachsen. p6m hat ebenfalls je eine Klasse von zwei-, drei- und sechszähligen Rotationszentren sowie zwei Klassen von Spiegelachsen und zwei Klassen von Gleitspiegelachsen; sie wird auch p6mm genannt.
Vorkommen in der Kunst
Ebene Ornamentgruppen treten in Kunst und Architektur auf. Bei zweifach periodischen Mustern aus dem Alten Ägypten wurden 12 der 17 Ornamentgruppen nachgewiesen; es fehlen die 5 Gruppen mit 3- beziehungsweise 6-facher Rotationssymmetrie.
Die Arabesken in der Alhambra gelten als hervorragendes Beispiel für zweifach periodische Muster in der islamischen Kunst. Ob dort alle 17 Ornamentgruppen vorkommen, ist umstritten: Edith Müller und Branko Grünbaum sagen nein, José María Montesinos und Marcus du Sautoy sagen ja. In China wurden bis auf möglicherweise pm, p3 und pg alle Ornamentgruppen verwendet.