Stufenwinkelsatz

Kernaussage und Umkehrung

Der Stufenwinkelsatz ist ein grundlegender Satz der ebenen euklidischen Geometrie. Schneidet eine Gerade h zwei parallele Geraden g₁ und g₂, dann sind die dabei auftretenden Stufenwinkel gleich groß, also beispielsweise α = β.

Auch die Umkehrung gilt: Schneidet h die Geraden g₁ und g₂ und sind die entsprechenden Stufenwinkel gleich groß, dann sind g₁ und g₂ parallel.

Begründungen und Beweise

Die Beweisführung hängt vom gewählten Axiomensystem ab, also von den grundlegenden Aussagen, die ohne Beweis vorausgesetzt werden. Euklid verwendete das Parallelenpostulat und führte damit einen Widerspruchsbeweis. Wolfgang Zeuge verwendet dagegen das Rechteckaxiom, das die Existenz von Rechtecken voraussetzt.

Im Schulunterricht wird der Satz gelegentlich anschaulich durch eine Parallelverschiebung begründet oder als offensichtlich wahr angenommen.

Bedeutung des Parallelenaxioms

Der Stufenwinkelsatz lässt sich aus dem Parallelenaxiom herleiten; umgekehrt folgt auch das Parallelenaxiom aus dem Stufenwinkelsatz. Beide Aussagen sind daher äquivalent. In der euklidischen Geometrie kann der Stufenwinkelsatz somit selbst als Axiom verwendet werden.

In der nichteuklidischen Geometrie gilt der Stufenwinkelsatz nicht. Seine Umkehrung benötigt das Parallelenaxiom jedoch nicht. Sie gilt deshalb bereits in der absoluten Geometrie und damit sowohl in der euklidischen als auch in der nichteuklidischen Geometrie.