Minkowski-Ungleichung

Kern und Bedeutung

Die Minkowski-Ungleichung ist eine zentrale Ungleichung an der Grenze zwischen Maßtheorie und Funktionalanalysis. In den Räumen Lᵖ und ℓᵖ entspricht sie der Dreiecksungleichung. Dadurch wird gezeigt, dass diese Räume mit ihrer jeweiligen Norm normierte Räume sind. Im Raum 𝓛ᵖ gilt dies entsprechend für einen halbnormierten Raum.

Für p ∈ [1, ∞] und den Maßraum (Ω, 𝒜, μ) ist die Lᵖ-Norm definiert durch ‖f‖{Lᵖ} = (∫Ω |f|ᵖ dμ)^{1/p} für p ∈ [1, ∞) und ‖f‖{L∞} = ess sup{x∈Ω}|f(x)| für p = ∞. Dabei bezeichnet ess sup das wesentliche Supremum. Sind f und g Elemente von Lᵖ, so gilt ‖f + g‖{Lᵖ} ≤ ‖f‖{Lᵖ} + ‖g‖_{Lᵖ}.

Dieselbe Aussage gilt für 𝓛ᵖ(Ω, 𝒜, μ). Die dort verwendete (Halb-)Norm wird identisch definiert und mit ‖·‖_{𝓛ᵖ} bezeichnet.

Folgenräume

Für Folgen in ℝ oder ℂ gilt die Minkowski-Ungleichung unabhängig davon, ob die Folgen konvergieren. Für p ∈ [1, ∞) lautet sie:

(∑{k=1}^∞ |x_k + y_k|ᵖ)^{1/p} ≤ (∑{k=1}^∞ |x_k|ᵖ)^{1/p} + (∑_{k=1}^∞ |y_k|ᵖ)^{1/p}.

Beschränkt man sich auf den Folgenraum ℓᵖ mit der Norm ‖(x_n)n‖{ℓᵖ} := (∑_{n=1}^∞ |x_n|ᵖ)^{1/p},

so ergibt sich für Folgen (x_n){n∈ℕ} und (y_n){n∈ℕ} aus ℓᵖ:

‖(x_n)_n + (y_n)n‖{ℓᵖ} ≤ ‖(x_n)n‖{ℓᵖ} + ‖(y_n)n‖{ℓᵖ}.

Diese Version ist ein Spezialfall der Aussage für Lᵖ: Man wählt als Grundmenge die natürlichen Zahlen und als Maß das Zählmaß.

Messbare Funktionen

Eine allgemeinere Fassung gilt für messbare Funktionen f und g von einem Maßraum (X, 𝒜, μ) nach 𝕂̄, wobei 𝕂 = ℝ oder 𝕂 = ℂ ist. Für p ∈ (0, ∞) gelten dabei die Vereinbarungen ∞ᵖ = ∞ und ∞⁻ᵖ = 0.

Man definiert I_p(f) = (∫X |f|ᵖ dμ)^{1/p} für p ∈ [1, ∞) und I∞(f) = ess sup_{x∈X}|f(x)|.

Für zwei messbare Funktionen gilt dann I_p(f + g) ≤ I_p(f) + I_p(g).

Die Aussage umfasst damit sowohl Funktionen mit endlichem p als auch den Fall p = ∞. Die Norm- beziehungsweise Halbnormformulierungen für Lᵖ und 𝓛ᵖ sind spezielle Anwendungen dieser allgemeineren Aussage.

Beweisidee

Für p = 1 und p = ∞ ist die Ungleichung trivial. Es genügt daher, 1 < p < ∞ zu betrachten. Wegen der Konvexität der Funktion x ↦ |x|ᵖ gilt

|f + g|ᵖ = 2ᵖ |(1/2)f + (1/2)g|ᵖ ≤ 2^{p−1}(|f|ᵖ + |g|ᵖ).

Daraus folgt insbesondere, dass f + g zu Lᵖ gehört. Man nimmt anschließend ohne Einschränkung an, dass ‖f + g‖_p > 0 ist. Zunächst gilt punktweise

|f + g|ᵖ = |f + g|·|f + g|^{p−1} ≤ (|f| + |g|)|f + g|^{p−1}.

Setzt man q := p/(p−1), so ist q der zu p konjugierte Hölder-Exponent und es gilt 1/p + 1/q = 1. Durch Integration und Anwendung der Hölder-Ungleichung erhält man

‖f + g‖_pᵖ ≤ (‖f‖_p + ‖g‖_p) · ‖|f + g|^{p−1}‖_q.

Wegen (p−1)·p/(p−1) = p ist

‖|f + g|^{p−1}‖_q = (∫_S |f + g|ᵖ)^{1−1/p} = ‖f + g‖_pᵖ/‖f + g‖_p.

Nach Multiplikation mit ‖f + g‖_p/‖f + g‖_pᵖ folgt die Minkowski-Ungleichung.

Minkowski-Ungleichung für Integrale

Für Maßräume (S₁, μ₁) und (S₂, μ₂) sowie eine messbare Funktion F: S₁ × S₂ → 𝕂 gilt für 1 ≤ p < ∞:

[∫{S₂}(∫{S₁}|F(x,y)| dμ₁(x))ᵖ dμ₂(y)]^{1/p} ≤ ∫{S₁}(∫{S₂}|F(x,y)|ᵖ dμ₂(y))^{1/p} dμ₁(x).

Sind 1 < p < ∞ und beide Seiten endlich, so gilt Gleichheit genau dann, wenn sich |F| als Produkt zweier messbarer Funktionen schreiben lässt: |F|(x,y) = φ(x)ψ(y), mit φ: S₁ → [0,∞) und ψ: S₂ → [0,∞).

Als Spezialfall wählt man S₁ = {1,2} mit dem Zählmaß und setzt f_i = F(i, ·) für i = 1,2. Dann ergibt sich ‖f₁ + f₂‖_p ≤ ‖f₁‖_p + ‖f₂‖_p. Damit enthält die Integralversion die gewöhnliche Minkowski-Ungleichung als besonderen Fall.