Oval

Grundidee und Einordnung

Ein Oval ist in der Mathematik eine ebene, rundliche und konvexe Figur, die im weitesten Sinn dem Profil eines Vogeleis ähnelt. Konvex bedeutet: Verbindet man zwei Punkte der Figur oder ihres Inneren durch eine Strecke, liegt diese Strecke vollständig in der Figur beziehungsweise im Inneren. Kreise und Ellipsen sind Spezialfälle von Ovalen. Ein beliebiges Oval muss aber, anders als viele Kreise oder Ellipsen, keine Symmetrieachse besitzen.

Der Begriff wird nicht immer einheitlich verwendet. Manchmal dient er nur als beschreibendes Wort für eine eiförmige oder rundliche Gestalt. In der Analysis kann man ihn jedoch genauer über ebene Kurven definieren; dann spricht man auch von Eikurven oder Eilinien. Ein dreidimensionaler rundlicher konvexer Körper heißt Ovoid. Allgemeiner kann auch eine abgeschlossene konvexe Teilmenge des \mathbb{R}^n so bezeichnet werden. Ein Oval zusammen mit seinem Inneren ist in diesem Sinn ein zweidimensionales Ovoid.

In der projektiven Geometrie werden Oval und Ovoid anders definiert: Dort geht es nicht um Differenzierbarkeit und Konvexität, sondern um Inzidenzbedingungen. Ein Oval beziehungsweise Ovoid wird dort als quadratische Menge aufgefasst, bei der jede Gerade höchstens 2 Punkte mit der Figur gemeinsam hat. Ein Oval im hier behandelten analytischen Sinn ist im projektiven Abschluss der reellen Ebene auch ein Oval im projektiven Sinn, wenn zusätzlich verlangt wird, dass seine Krümmung auf keinem Abschnitt verschwindet. Dann ist es der Rand einer streng konvexen Menge, enthält also keine Geradenstücke.

Formale Definition

Formal heißt eine geschlossene zweimal stetig differenzierbare konvexe Kurve in der Ebene ein Oval, auch Eikurve oder Eilinie. „Geschlossen“ bedeutet, dass die Kurve wieder zu ihrem Ausgangspunkt zurückkehrt. „Zweimal stetig differenzierbar“ bedeutet, dass die Kurve genügend glatt ist, sodass auch die zweite Ableitung stetig verläuft. Diese Glattheit ist wichtig, weil die Krümmung der Kurve damit gut beschrieben werden kann.

Diese Definition erfasst nicht alle Figuren, die im Alltag oder in der Geometrie manchmal als Ovale bezeichnet werden. Ovale, die aus verschiedenen Kreisbögen zusammengesetzt sind, erfüllen sie zum Beispiel nicht, weil ihre zweite Ableitung nicht auf der ganzen Kurve stetig ist. Will man solche Figuren ebenfalls einbeziehen, muss man die Glattheitsforderung abschwächen, etwa auf die Differentiationsklasse C^0 oder C^1 statt C^2. Wird nur Konvexität verlangt, wird der Begriff jedoch sehr weit: Dann gehören auch konvexe Polygone dazu, obwohl man sie normalerweise kaum als eiförmig empfindet.

Wichtige Eigenschaften

Ein Oval im Sinn der formalen Definition hat mehrere grundlegende Eigenschaften. Es ist eine Jordan-Kurve, also eine geschlossene Kurve ohne Schlingen oder Schlaufen. Beim Durchlaufen der Kurve wechselt die orientierte Krümmung ihr Vorzeichen nicht. Anschaulich heißt das: Das Oval hat keine Wendungen und keine Einbuchtungen; man kann es vollständig als Linkskurve oder vollständig als Rechtskurve durchlaufen.

Das Innere eines Ovals ist eine konvexe Menge, und das Oval bildet genau deren Rand. Außerdem gilt für Ovale der Vierscheitelsatz: Die Krümmung eines Ovals besitzt mindestens vier Extremstellen, also mindestens vier Stellen, an denen die Krümmung lokal besonders groß oder besonders klein ist.

Wenn ein Punkt des Ovals eine Tangente besitzt, liegt das gesamte Oval auf einer Seite dieser Tangente. Eine Tangente ist eine Gerade, die die Kurve in einem Punkt berührt. Verlangt man zusätzlich, dass die Krümmung des Ovals auf keinem Abschnitt verschwindet, also höchstens in isolierten Punkten den Wert Null annimmt, dann existiert in jedem Punkt des Ovals eine solche Tangente. Für jede beliebige Gerade gibt es dann genau drei Möglichkeiten: Sie hat mit dem Oval keinen gemeinsamen Punkt und heißt Passante, genau einen gemeinsamen Punkt und heißt Tangente, oder genau zwei gemeinsame Punkte und heißt Sekante.

Konstruktionen aus Ellipsen

Ovale können mit sehr unterschiedlichen Verfahren konstruiert werden. Viele Verfahren entstehen, indem man bekannte Konstruktionen für Ellipsen leicht verändert. Eine Ellipse kann zum Beispiel als Schnitt eines Kegels mit einer Ebene entstehen. Schneidet man statt eines Kegels bestimmte andere Rotationskörper, etwa eine rotierte Hyperbel, mit einer Ebene, entstehen Ovale, die von Ellipsen verschieden sind.

Auch die Gleichungen von Ellipsen lassen sich verändern. Eine Ellipse kann durch die Parameterdarstellung (a\cdot \cos(t), b\cdot \sin(t)) oder durch die algebraische Gleichung {\tfrac{x^2}{a^2}}+{\tfrac{y^2}{b^2}}=1 beschrieben werden. Dabei sind a und b die Längen der Halbachsen. Ersetzt man diese konstanten Parameter durch Funktionen, können daraus neue Ovale entstehen. Im Artikel wird unter anderem die Ellipse {\frac{x^2}{4}}+{\frac{y^2}{1}}=1 einer veränderten Gleichung {\frac{x^2}{4}}+{\frac{y^2}{1-0{,}2\cdot x}}=1 gegenübergestellt.

Eine Ellipse lässt sich auch als Menge aller Punkte P definieren, für die die Summe der Abstände zu zwei Brennpunkten F_1 und F_2 konstant ist: |F_1P|+|F_2P|=2a. Ersetzt man diese Summe durch eine gewichtete Summe k_1\cdot |F_1P|+k_2\cdot |F_2P|=2a, entsteht ein Oval mit nur noch einer Symmetrieachse. Auf dieser Achse liegen ein spitzes und ein stumpfes Ende. Ein solches Oval heißt Kartesisches Oval. Als Beispiel werden |F_1P|+|F_2P|=22{,}84 und die gewichtete Variante |F_1P|+1.43\cdot |F_2P|=22{,}84 genannt.

Beim Konstruktionsverfahren von de La Hire wird eine Ellipse mit zwei konzentrischen Kreisen erzeugt. Verschiebt man den Mittelpunkt des äußeren Kreises ein wenig und behält die übrigen Schritte bei, erhält man ein neues Oval. Wird der Mittelpunkt entlang der Ellipsenachsen verschoben, hat das Oval eine Symmetrieachse. Wird er außerhalb der Achsen verschoben, entsteht ein Oval ohne Symmetrieachsen.

Ovale als Lösungskurven

Auch Gleichungen mit zwei Unbekannten können Kurven in der Ebene beschreiben. Bei passenden Gleichungen ist die Lösungsmenge selbst ein Oval. Ist die Lösungskurve kein Oval, besitzt aber eine konvexe Schlaufe, kann durch Hinzufügen eines Korrekturterms aus dieser Schlaufe ein Oval erzeugt werden.

Der Artikel nennt dazu mehrere Beispiele. Eine elliptische Kurve kann durch y^2=(x-1)\cdot (x-2)\cdot (x-3) beschrieben werden. Ein Lamésches Oval hat die Gleichung \left({\frac{x}{2}}\right)^4+\left({\frac{y}{1}}\right)^4=1. Eine Lemniskate wird mit (x^2+y^2)^2-(x^2-y^2)=0 angegeben; durch den Korrekturterm 0,01 entsteht die cassinische Kurve (x^2+y^2)^2-(x^2-y^2)+0,01=0. Weitere Beispiele sind die Szegö-Kurve x^2+y^2=e^{2\cdot x-2} und die veränderte Gleichung x^2+y^2+0,02=e^{2\cdot x-2}. Beim kartesischen Blatt x^3+y^3=3\cdot x\cdot y wird entsprechend die Variante x^3+y^3+0,06=3\cdot x\cdot y genannt.

Zusammengesetzte und praktische Ovale

Ovale können auch aus Kreisbögen und Geradenstücken zusammengesetzt werden. Solche Figuren sind weniger glatt als ein Oval nach der formalen Definition, weil sie nur in C^1 liegen: An den Nahtstellen gibt es zwar eine gemeinsame Tangente, aber keine gemeinsame Krümmung. Auf den einzelnen Teilabschnitten ist die Krümmung konstant. Bestehen solche Ovale nur aus Kreisbögen und besitzen genau eine Symmetrieachse, heißen sie euklidische Eier. Ein Beispiel dafür ist das Moss-Ei.

In Natur, Technik und Kultur treten ovale Formen häufig als Grundformen auf. Der Artikel nennt als Beispiel eine Laufbahn in einem Sportstadion, die als Oval aus zwei Halbkreisen und zwei Geraden aufgebaut ist. Weitere Beispiele ovaler Grundrisse finden sich in der Architektur, etwa bei Sportstadien, Kesselschleusen, Ovalkirchen, Fort Boyard, der Skulpturenhalle Neuss, dem Modellbau zu Malsch und dem JaBee Tower.