Differentiationsklasse

Begriff und Definition

Die Differentiationsklasse ist ein Funktionenraum aus der Analysis. Sie ordnet Funktionen danach ein, wie oft sie stetig differenzierbar sind. Die übliche Schreibweise ist C^k, wobei k die Anzahl der geforderten stetigen Ableitungen angibt.

Seien k\in \mathbb{N}\cup\{0\} und D\subset\mathbb{R} eine nichtleere, offene Menge. Eine stetige Funktion f\colon D\to\mathbb{R} gehört genau dann zu C^k(D), genauer C^k(D,\mathbb{R}), wenn sie auf ganz D mindestens k-mal stetig differenzierbar ist.

Dabei bezeichnet C(D):=C^0(D) die Klasse aller stetigen Funktionen. C^\infty(D) ist die Klasse der beliebig oft differenzierbaren Funktionen; diese werden auch glatte Funktionen genannt.

Beziehungen zwischen den Klassen

Für eine offene Menge D\subset\mathbb{R}^n gilt die Kette echter Teilmengen

C^\omega(D)\subsetneq C^\infty(D)\subsetneq\dotsb\subsetneq C^k(D)\subsetneq\dotsb\subsetneq C^1(D)\subsetneq C^0(D).

Das Zeichen \subsetneq bedeutet, dass die links stehende Klasse eine echte Teilmenge der rechts stehenden ist. Jede analytische Funktion ist also beliebig oft differenzierbar, und jede beliebig oft differenzierbare Funktion gehört zu jeder endlichen Klasse C^k. Die Umkehrungen gelten jedoch nicht allgemein. Je höher der Index k ist, desto strengere Anforderungen werden an eine Funktion gestellt und desto weniger Funktionen enthält die Klasse.

Verallgemeinerungen

Die Klasse der analytischen Funktionen wird in Anlehnung an die Differentiationsklassen manchmal mit C^\omega(D) bezeichnet.

Die Definition gilt entsprechend für mehrdimensionale Funktionen g\colon \widetilde D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m: Es ist g\in C^k(\widetilde D,\mathbb{R}^m), wenn g auf ganz \widetilde D mindestens k-mal stetig differenzierbar ist.

Falls eine mehrdimensionale Funktion bezüglich ihrer einzelnen Variablen unterschiedlich oft differenzierbar ist, kann dies durch eine Schreibweise wie C^{k,l,\ldots}(D) ausgedrückt werden. Auch für Funktionen zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten werden die Klassen C^k entsprechend definiert.

Typische Beispiele

Die Beispiele zeigen, dass Stetigkeit, Differenzierbarkeit, stetige Differenzierbarkeit, Glattheit und Analytizität verschiedene Anforderungen sind:

• Die Exponentialfunktion \exp\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} ist analytisch und gehört daher zu C^\omega(\mathbb{R}).

• Die Betragsfunktion |\cdot|\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} ist stetig, aber nicht überall differenzierbar. Deshalb gehört sie zu C^0(\mathbb{R}), jedoch nicht zu C^1(\mathbb{R}).

• Für f(x)=|x|^3 gilt f\in C^2(\mathbb{R})\setminus C^3(\mathbb{R}): Die Funktion ist zweimal stetig differenzierbar, aber nicht dreimal.

• Allgemeiner ist f_n(x)=x^n|x| für jedes n\in\mathbb{N} genau bis zur Ordnung n stetig differenzierbar: f_n\in C^n(\mathbb{R})\setminus C^{n+1}(\mathbb{R}).

• Die durch g(x)=\exp(-1/x^2) für x\neq0 und g(0)=0 definierte Funktion ist beliebig oft differenzierbar. Sie gehört zu C^\infty(\mathbb{R}), ist aber nicht analytisch. Damit zeigt sie, dass C^\omega(\mathbb{R}) eine echte Teilmenge von C^\infty(\mathbb{R}) ist.

• Für h(x)=x^2\sin(1/x) bei x\neq0 und h(0)=0 existiert zwar überall eine Ableitung, doch die Ableitungsfunktion ist bei null nicht stetig. Daher gehört h nicht zu C^1(\mathbb{R}), sondern nur zu C^0(\mathbb{R}). Bloße Differenzierbarkeit genügt also für die Zugehörigkeit zu C^1 nicht; die erste Ableitung muss zusätzlich stetig sein.

Genügende Glattheit

Eine Funktion heißt in einem bestimmten Zusammenhang „genügend glatt“, wenn sie für die dort benötigten Rechnungen ausreichend oft differenzierbar ist. Die genaue Anzahl der erforderlichen Ableitungen hängt somit vom jeweiligen Kontext ab. Die Formulierung drückt aus, dass keine zusätzlichen Schwierigkeiten wegen fehlender Differenzierbarkeit berücksichtigt werden müssen. Sie knüpft an den Begriff der glatten Funktion an, der eine beliebig oft differenzierbare Funktion bezeichnet.