Orthoptische Kurve

Definition und Überblick

Die orthoptische Kurve einer ebenen Kurve k ist der geometrische Ort aller Schnittpunkte orthogonaler Tangenten von k. Orthogonal bedeutet, dass sich die Tangenten unter einem Winkel von 90° schneiden. Die orthoptische Kurve beschreibt somit alle Punkte, von denen aus die ursprüngliche Kurve durch zwei sich rechtwinklig schneidende Tangenten berührt werden kann.

Wichtige Beispiele sind:

• Bei einer Parabel ist die orthoptische Kurve ihre Leitlinie.
• Bei der Ellipse x²/a² + y²/b² = 1 ist sie der Kreis x² + y² = a² + b².
• Bei der Hyperbel x²/a² − y²/b² = 1 mit a > b ist sie der Kreis x² + y² = a² − b². Für a ≤ b gibt es keine orthogonalen Tangenten.
• Bei der Astroide x²ᐟ³ + y²ᐟ³ = 1 ist sie ein Vierblatt, auch Quadrifolium genannt, mit r = 1/√2 · cos(2φ), 0 ≤ φ < 2π.

Eine isoptische Kurve verallgemeinert die Orthoptische: Sie ist der geometrische Ort aller Schnittpunkte von Tangenten, die sich unter einem festen Winkel schneiden. Das gilt auch für Tangenten zweier ebener Kurven k₁ und k₂. Der Thaleskreis über einer Strecke P₁P₂ kann als orthoptische Kurve zweier zu P₁ und P₂ degenerierter Kreise aufgefasst werden.

Orthoptische Kurve der Parabel

Durch geeignete Verschiebung und Drehung lässt sich jede Parabel als y = ax² darstellen. Im Punkt (x, ax²) beträgt die Tangentensteigung m = 2ax. Mit x = m/(2a) erhält man die Parameterdarstellung der Parabel nach der Tangentensteigung:

(x, y) = (m/(2a), m²/(4a)).

Die Tangente mit Steigung m lautet y = mx − m²/(4a). Für einen Punkt (x₀, y₀) auf einer solchen Tangente gilt daher

y₀ = mx₀ − m²/(4a),

also

m² − 4ax₀m + 4ay₀ = 0.

Die beiden Lösungen m₁ und m₂ sind die Steigungen der beiden Tangenten durch (x₀, y₀). Nach dem Satz von Vieta ist ihr Produkt gleich dem Absolutglied: m₁m₂ = 4ay₀. Bei orthogonalen Geraden muss das Steigungsprodukt −1 sein. Deshalb gilt

4ay₀ = −1 beziehungsweise y₀ = −1/(4a).

Diese Gleichung beschreibt die Leitlinie der Parabel. Die Leitlinie ist somit ihre orthoptische Kurve.

Ellipse und Hyperbel

Für die Ellipse E: x²/a² + y²/b² = 1 liegen die vier Schnittpunkte der senkrechten Tangenten durch die Hauptscheitel (±a, 0) und der waagrechten Tangenten durch die Nebenscheitel (0, ±b) bei (±a, ±b). Sie liegen auf einem Kreis um den Ursprung mit Radius √(a² + b²).

Für einen Ellipsenpunkt (u, v) lautet die Tangente in Normalform u/a² · x + v/b² · y = 1. Als Funktion y = mx + n hat sie die Parameter

m = −b²u/(a²v), n = b²/v.

Wegen der Punktsymmetrie gibt es zu jeder Steigung m zwei parallele Tangenten, deren Achsenabschnitte sich nur im Vorzeichen unterscheiden. Daraus folgt für nicht senkrechte Tangenten die Hauptform

y = mx ± √(m²a² + b²).

Für einen Punkt (x₀, y₀) ergeben sich die beiden Tangentensteigungen aus

m² − [2x₀y₀/(x₀² − a²)]m + (y₀² − b²)/(x₀² − a²) = 0.

Nach Vieta ist ihr Produkt (y₀² − b²)/(x₀² − a²). Orthogonalität verlangt, dass dieses Produkt −1 ist. Daraus folgt x₀² + y₀² = a² + b². Die orthoptische Kurve der Ellipse ist daher der Kreis um den Ursprung mit Radius √(a² + b²). Von jedem Punkt dieses Kreises aus erscheint die Ellipse unter einem Öffnungswinkel von 90°.

Für die Hyperbel x²/a² − y²/b² = 1 wird im Wesentlichen b² durch −b² ersetzt; zusätzlich gilt für die Tangentensteigungen |m| > b/a. Die orthogonalen Tangentenschnittpunkte liegen auf dem Kreis mit Radius √(a² − b²). Dafür muss a > b sein.

Orthoptische Kurve der Astroide

Die Astroide wird parametrisch beschrieben durch

c⃗(t) = (cos³t, sin³t), 0 ≤ t < 2π.

Die Tangentenrichtung ist durch c⃗˙(t) gegeben. Orthogonale Tangenten werden über die Bedingung c⃗˙(t) · c⃗˙(t + α) = 0 bestimmt. Unabhängig von t ergibt sich α = ±π/2.

Die beiden entsprechenden Tangenten lauten

y = −tan t(x − cos³t) + sin³t

und

y = 1/tan t(x + sin³t) + cos³t.

Ihr Schnittpunkt hat die Koordinaten

x = sin t cos t(sin t − cos t),

y = sin t cos t(sin t + cos t).

Diese Gleichungen sind zugleich eine Parameterdarstellung der orthoptischen Kurve. Nach Eliminierung des Parameters erhält man

2(x² + y²)³ − (x² − y²)² = 0.

Mit φ = t − 5π/4 kann die Kurve auch in der Form

x = 1/√2 · cos(2φ) cos φ, y = 1/√2 · cos(2φ) sin φ

geschrieben werden. Daraus folgt die Polardarstellung r = 1/√2 · cos(2φ), 0 ≤ φ < 2π. Die Kurve ist ein Vierblatt beziehungsweise Quadrifolium.

Gleichungen der isoptischen Kurven

Für einen festen Schnittwinkel α ≠ 90° heißen die zugehörigen Kurven α-isoptische Kurven. Bei der Parabel y = ax² sind sie die beiden Äste der Hyperbel

x² − tan²α · (y + 1/(4a))² − y/a = 0.

Die beiden Äste entsprechen den Winkeln α und 180° − α.

Für die Ellipse x²/a² + y²/b² = 1 sind die α-isoptischen Kurven Teile der Kurve 4. Grades

tan²α · (x² + y² − a² − b²)² = 4(a²y² + b²x² − a²b²).

Für die Hyperbel x²/a² − y²/b² = 1 lauten sie als Teile der Kurve 4. Grades

tan²α · (x² + y² − a² + b²)² = 4(a²y² − b²x² + a²b²).

Die isoptischen Kurven von Ellipse und Hyperbel sind spirische Kurven.

Herleitung der Isoptischen

Für die Parabel kann man die Tangenten durch ihre Steigungen parametrisieren:

c⃗(m) = (m/(2a), m²/(4a)), m ∈ ℝ,

y = mx − m²/(4a).

Für einen Punkt (x₀, y₀) erfüllen die beiden Tangentensteigungen m₁ und m₂ die quadratische Gleichung m² − 4ax₀m + 4ay₀ = 0. Der Winkel zwischen zwei Geraden mit Steigungen m₁ und m₂ erfüllt

tan²α = ((m₁ − m₂)/(1 + m₁m₂))².

Setzt man die Lösungen der quadratischen Gleichung in diese Beziehung ein und beseitigt die Nenner, erhält man

x₀² − tan²α · (y₀ + 1/(4a))² − y₀/a = 0.

Das ist die angegebene Hyperbelgleichung der beiden isoptischen Kurven.

Bei der Ellipse beginnt die Rechnung mit der quadratischen Gleichung

m² − [2x₀y₀/(x₀² − a²)]m + (y₀² − b²)/(x₀² − a²) = 0.

Wie bei der Parabel setzt man die beiden Lösungen in tan²α = ((m₁ − m₂)/(1 + m₁m₂))² ein. Nach dem Beseitigen der Nenner ergibt sich

tan²α · (x₀² + y₀² − a² − b²)² = 4(a²y₀² + b²x₀² − a²b²).

Der Hyperbelfall folgt durch die Ersetzung von b² durch −b². Für α = 90° geht die Betrachtung in die orthoptischen Kurven über.