Formelsammlung Trigonometrie

Trigonometrie im Dreieck

Die Formelsammlung verknüpft Seiten, Winkel und besondere Linien eines ebenen Dreiecks ABC. Dabei gelten a=BC, b=CA, c=AB; die gegenüberliegenden Winkel heißen α, β, γ. Der halbe Umfang ist s=(a+b+c)/2, der Flächeninhalt F. Der Umkreisradius heißt r, der Inkreisradius ρ und die Ankreisradien heißen ρₐ, ρᵦ, ρ𝚌. In anderen Bezeichnungsweisen stehen dafür oft R, r, rₐ, rᵦ, r𝚌.

Grundlage ist die Winkelsumme α+β+γ=180°. Der Sinussatz lautet a/sin α=b/sin β=c/sin γ=2r=abc/(2F). Für einen rechten Winkel liefert er beispielsweise bei γ=90°: sin α=a/c und sin β=b/c.

Der Kosinussatz lautet a²=b²+c²−2bc cos α und entsprechend zyklisch für b und c. Bei γ=90° wird daraus a²+b²=c², also der Satz des Pythagoras; außerdem gilt dann cos α=b/c und cos β=a/c. Der Projektionssatz ist a=b cos γ+c cos β, mit entsprechenden zyklischen Formeln.

Weitere Beziehungen sind die Mollweideschen Formeln, etwa (b+c)/a=cos((β−γ)/2)/sin(α/2), sowie der Tangenssatz (b+c)/(b−c)=tan((β+γ)/2)/tan((β−γ)/2)=cot(α/2)/tan((β−γ)/2). Im rechtwinkligen Dreieck gilt etwa bei γ=90°: tan α=a/b und tan β=b/a.

Fläche, Kreise und besondere Dreieckslinien

Der Flächeninhalt kann allein aus den Seiten mit der Heronschen Formel bestimmt werden: F=√(s(s−a)(s−b)(s−c)). Wichtige Alternativen sind F=½bc sin α=½ca sin β=½ab sin γ, F=½ahₐ=½bhᵦ=½ch𝚌, F=abc/(4r) und F=ρs. Damit folgt auch r=abc/(4F).

Halbwinkel lassen sich über s ausdrücken, zum Beispiel sin(α/2)=√(((s−b)(s−c))/(bc)), cos(α/2)=√(s(s−a)/(bc)) und tan(α/2)=√(((s−b)(s−c))/(s(s−a))). Außerdem ist s=4r cos(α/2) cos(β/2) cos(γ/2).

Für den Inkreisradius gelten ρ=F/s, ρ=4r sin(α/2) sin(β/2) sin(γ/2) und ρ=√(((s−a)(s−b)(s−c))/s). Die wichtige Ungleichung lautet 2ρ≤r; Gleichheit gilt nur beim gleichseitigen Dreieck. Für den Ankreis gegenüber A gilt beispielsweise ρₐ=F/(s−a)=s tan(α/2); analoge Formeln gelten für ρᵦ und ρ𝚌. Zudem ist 1/ρ=1/ρₐ+1/ρᵦ+1/ρ𝚌.

Die Höhen erfüllen hₐ=b sin γ=c sin β=2F/a; zyklische Varianten gelten für hᵦ und h𝚌. Bei γ=90° gilt h𝚌=ab/c, hₐ=b und hᵦ=a. Seitenhalbierende sind etwa sₐ=½√(2b²+2c²−a²). Für die Winkelhalbierende bei A gilt wα=2bc cos(α/2)/(b+c).

Grundregeln der Winkelfunktionen

Am Einheitskreis werden sin, cos, tan und cot verwendet; außerdem sind sec=1/cos und csc=1/sin. Die zentralen Umrechnungsregeln sind tan x=sin x/cos x und sin²x+cos²x=1. Daraus folgen 1+tan²x=sec²x und 1+cot²x=csc²x. Beim Umformen mit Quadratwurzeln muss das Vorzeichen zum Winkelbereich passen.

Sinus und Kosinus haben die Periode 2π, Tangens und Kotangens die Periode π: sin x=sin(x+2nπ), cos x=cos(x+2nπ), tan x=tan(x+nπ), cot x=cot(x+nπ), jeweils n∈ℤ. Symmetrien sind sin(−x)=−sin x, cos(−x)=cos x, tan(−x)=−tan x und cot(−x)=−cot x. Eine Verschiebung um π/2 verbindet die Funktionen, etwa sin(x+π/2)=cos x und cos(x+π/2)=−sin x.

Die Vorzeichen folgen aus dem Quadranten: sin x ist zwischen 0° und 180° positiv, cos x in [0°,90°[ und ]270°,360°] positiv; tan x ist in ]0°,90°[ sowie ]180°,270°[ positiv. Wichtige Werte sind sin 30°=1/2, cos 30°=√3/2, sin 45°=cos 45°=√2/2, tan 45°=1, sin 60°=√3/2 und cos 60°=1/2. Dabei entsprechen 30°, 45°, 60° den Bogenmaßen π/6, π/4, π/3.

Winkel umformen und Terme vereinfachen

Die Additionstheoreme sind die wichtigsten Regeln für zusammengesetzte Winkel:

• sin(x±y)=sin x cos y±cos x sin y. • cos(x±y)=cos x cos y∓sin x sin y. • tan(x±y)=(tan x±tan y)/(1∓tan x tan y).

Setzt man x=y, entstehen Doppelwinkelformeln: sin(2x)=2 sin x cos x=2tan x/(1+tan²x), cos(2x)=cos²x−sin²x=1−2sin²x=2cos²x−1 und tan(2x)=2tan x/(1−tan²x). Umgekehrt liefern Halbwinkelformeln, beispielsweise sin(x/2)=√((1−cos x)/2) für x∈[0,2π] und cos(x/2)=√((1+cos x)/2) für x∈[−π,π]. Mit t=tan(x/2) gilt sin x=2t/(1+t²), cos x=(1−t²)/(1+t²) und tan x=2t/(1−t²).

Für Mehrfachwinkel stehen unter anderem sin(3x)=3sin x−4sin³x, cos(3x)=4cos³x−3cos x und tan(3x)=(3tan x−tan³x)/(1−3tan²x). Diese Formeln lassen sich über die Euler- und De-Moivre-Formel gewinnen.

Summen können als Produkte geschrieben werden: sin x+sin y=2sin((x+y)/2)cos((x−y)/2) und cos x+cos y=2cos((x+y)/2)cos((x−y)/2). Umgekehrt gilt sin x sin y=½(cos(x−y)−cos(x+y)), cos x cos y=½(cos(x−y)+cos(x+y)) und sin x cos y=½(sin(x−y)+sin(x+y)). Für Potenzen sind besonders gebräuchlich sin²x=½(1−cos(2x)), cos²x=½(1+cos(2x)) und tan²x=(1−cos(2x))/(1+cos(2x)).

Für Dreieckswinkel mit α+β+γ=180° gelten zusätzlich beispielsweise tan α+tan β+tan γ=tan α tan β tan γ sowie sin α+sin β+sin γ=4cos(α/2)cos(β/2)cos(γ/2).

Arkusfunktionen, Reihen und komplexe Darstellung

Arkusfunktionen liefern Winkel aus Funktionswerten. Bei ihren Additionsformeln sind Fallunterscheidungen nötig, weil die Hauptwerte beschränkt sind. Beispielsweise ist arctan x+arctan y=arctan((x+y)/(1−xy)) für xy<1; bei xy>1 muss abhängig vom Vorzeichen von x noch π addiert oder −π addiert werden. Außerdem gilt sin(arccos x)=cos(arcsin x)=√(1−x²) und sin(arctan x)=x/√(1+x²).

Trigonometrische Terme gleicher Frequenz können zu einer Sinusfunktion zusammengefasst werden: a sin α+b cos α=√(a²+b²) sin(α+arctan(b/a)) für a>0. Allgemeiner lautet a sin(x+α)+b sin(x+β)=√(a²+b²+2ab cos(α−β))·sin(x+δ), wobei δ=atan2(a sin α+b sin β,a cos α+b cos β).

In der Analysis werden Winkel in Reihen im Bogenmaß angegeben. Für alle reellen x gilt sin x=x−x³/3!+x⁵/5!−x⁷/7!±… und cos x=1−x²/2!+x⁴/4!−x⁶/6!±…. Die Tangensreihe beginnt mit tan x=x+⅓x³+2/15x⁵+17/315x⁷+… für |x|<π/2. Bestimmte Integrale von Potenzen von Sinus und Kosinus werden mithilfe der Betafunktion B ausgedrückt, etwa ∫₀^(π/2) cos^ν₁φ sin^ν₂φ dφ=½B((ν₁+1)/2,(ν₂+1)/2), wenn Re((νⱼ+1)/2)>0.

Die komplexe Eulerformel verbindet beide Funktionen: exp(±ix)=cos x±i sin x=e^(±ix). Folglich sind cos x=(exp(ix)+exp(−ix))/2 und sin x=(exp(ix)−exp(−ix))/(2i). Diese Darstellung ermöglicht besonders einfache Herleitungen von Additionstheoremen und Mehrfachwinkelformeln. Die sphärische Trigonometrie für Dreiecke auf einer Kugeloberfläche wird nur als eigenes, weiterführendes Kapitel erwähnt.