Orientierte Fläche

Kernidee und Bedeutung

Eine orientierte Fläche ist eine orientierbare Fläche, für die festgelegt wurde, welche ihrer zwei Seiten als Außen- beziehungsweise Innenseite gilt. Diese Festlegung erfolgt durch die Wahl eines der zwei möglichen Flächennormalenvektoren. Ein Normalenvektor steht senkrecht auf der Fläche; die Außenseite ist diejenige Seite, von der der gewählte Normalenvektor wegführt.

Nicht jede Fläche ist orientierbar. Ein Beispiel ist das Möbiusband. Bei einer orientierten Fläche ist die Orientierung nicht nur möglich, sondern tatsächlich ausgewählt. Die entgegengesetzte Wahl des Normalenvektors führt zur entgegengesetzten Orientierung.

Mathematische Definition

Eine reguläre Fläche S beziehungsweise eine reguläre Fläche mit Rand S ⊆ ℝ³ heißt orientierbar, wenn es auf S ein stetiges Einheitsnormalenvektorfeld gibt. Ein Einheitsnormalenvektorfeld ordnet jedem Flächenpunkt einen Normalenvektor der Länge 1 zu, wobei sich dieser Vektor beim Bewegen auf der Fläche stetig verändert.

Ein solches stetiges Einheitsnormalenvektorfeld n legt die Orientierung von S fest. Formal ist eine orientierte Fläche daher ein Paar (S, n) aus einer orientierbaren Fläche S und einem auf S gewählten stetigen Einheitsnormalenvektorfeld n.

Ist n₁ ein solches Feld, dann ist auch n₂ = −n₁ ein stetiges Einheitsnormalenvektorfeld und definiert die andere Orientierung. Für eine zusammenhängende orientierbare Fläche gibt es genau diese zwei Orientierungen. Besteht die Fläche aus mehreren Zusammenhangskomponenten, kann die Orientierung auf jeder Komponente unabhängig von den anderen gewählt werden. Die ausgewählte Orientierung heißt positiv, die entgegengesetzte negativ.

Flächen mit Rand und Umlaufsinn

Bei einer orientierten Fläche mit Rand bestimmt die Orientierung der Fläche den Durchlaufsinn ihrer Randkurve oder Randkurven.

Anschaulich betrachtet man die ausgewählte Seite der Fläche als „oben“. Ein Beobachter geht auf dieser Oberseite längs des Randes so, dass die Fläche links von ihm liegt. Die Richtung, in der er die Randkurve durchläuft, ist die positive Richtung.

Der Umlaufsinn der Randkurve bildet mit der Flächennormale eine Rechtsschraube beziehungsweise eine Rechtsschraubung. Das bedeutet: Eine zur Flächennormale parallele Rechtsschraube würde sich bei einer Drehung im Umlaufsinn der Randkurve in Richtung der Flächennormale bewegen. Wird die Fläche durch genau eine Randkurve begrenzt, kann umgekehrt ein vorgegebener Durchlaufsinn dieser Randkurve die Orientierung der Fläche festlegen.

Beim klassischen Integralsatz von Stokes wird vorausgesetzt, dass Flächenorientierung und Durchlaufsinn der Randkurve oder Randkurven auf diese Weise zusammenhängen.

Geschlossene Flächen und orientierte Ebenen

Eine zusammenhängende geschlossene Fläche, etwa eine Sphäre oder ein Torus, zerlegt den Raum in zwei zusammenhängende Teile: das Innere und das Äußere. Die Wahl der Außenseite entspricht einem nach außen gerichteten Einheitsnormalenvektorfeld, die Wahl der Innenseite einem nach innen gerichteten Feld. Wenn nichts anderes festgelegt ist, wird eine geschlossene Fläche durch ein nach außen weisendes Einheitsnormalenvektorfeld orientiert. Diese Orientierung wird beim Gaußschen Integralsatz vorausgesetzt.

Eine Ebene im dreidimensionalen Raum ℝ³ teilt den Raum in einen positiven und einen negativen Halbraum. Als Orientierung wird – abgesehen vom undefinierten Sonderfall der Ursprungsebene – diejenige gewählt, bei der der Koordinatenursprung im negativen Halbraum liegt. Der Normalenvektor zeigt dann in Richtung des positiven Halbraums, also vom Ursprung weg. Orientierte Ebenen spielen beispielsweise bei Abstandsberechnungen mit der Hesseschen Normalform der vektoriellen Ebenengleichung eine Rolle.

Diese Vorstellung lässt sich auf Hyperebenen im n-dimensionalen Raum ℝⁿ übertragen. Im zweidimensionalen Raum ℝ² ist eine orientierte Gerade ein entsprechendes Beispiel: Sie teilt ℝ² in zwei Halbebenen, und der Normalenvektor zeigt – außer im undefinierten Fall der Ursprungsgeraden – in die positive Halbebene und damit vom Koordinatenursprung weg. Hyperebenen höherer Dimension finden unter anderem bei bestimmten wirtschaftsmathematischen Fragen Anwendung.

Bedeutung für Integrale und Physik

Die Orientierung einer Fläche ist besonders für vektorielle Oberflächenintegrale wichtig, zum Beispiel in der Elektrostatik bei der Anwendung des Gaußschen Integralsatzes. Sie bestimmt das Vorzeichen des Ergebnisses.

Soll die Ladung Q innerhalb eines Volumens V bestimmt werden und ist nur das elektrische Feld E(x) auf der Oberfläche des Volumens bekannt, kann die eingeschlossene Ladung über den Gaußschen Integralsatz berechnet werden. Zunächst gilt mit der unbekannten Ladungsdichte ϱ und der Dielektrizitätskonstanten ε₀ sowie der Divergenz div:

Q = ∫ᵥ dV ϱ(x) = ε₀ ∫ᵥ dV div E(x).

Mit dem Gaußschen Integralsatz wird das Volumenintegral in ein Oberflächenintegral über die Oberfläche ∂V umgeformt:

Q = ε₀ ∫∂V d𝐀 · E(x).

Dabei ist d𝐀 ein infinitesimales orientiertes Flächenelement der Oberfläche ∂V. Ist d𝐀 parallel zum elektrischen Feld E(x), beträgt das Skalarprodukt d𝐀 · E(x) = dA E; sind beide Vektoren antiparallel, gilt d𝐀 · E(x) = −dA E. Das Vorzeichen des Oberflächenintegrals hängt daher von der gewählten Orientierung ab. Als Konvention wird die positive Orientierung verwendet, bei der das Einheitsnormalenvektorfeld nach außen zeigt.