Elektrostatik

Grundidee der Elektrostatik

Die Elektrostatik ist das Teilgebiet der Physik, das ruhende elektrische Ladungen, Ladungsverteilungen und die elektrischen Felder geladener Körper untersucht. Sie gehört zur klassischen Elektrodynamik und betrachtet den Spezialfall unbewegter Ladungen und stationärer, also zeitlich gleichbleibender elektrischer Felder. Das entsprechende Gegenstück für stationäre Magnetfelder heißt Magnetostatik.

Elektrostatische Erscheinungen entstehen durch Kräfte zwischen elektrischen Ladungen. Diese Kräfte werden durch das coulombsche Gesetz beschrieben. Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab, entgegengesetzte Ladungen ziehen sich an. Obwohl solche Kräfte im Alltag oft klein wirken, ist die elektrische Kraft im Vergleich zur Gravitation sehr stark: Zwischen einem Elektron und einem Proton ist sie ungefähr 39 Größenordnungen größer als ihre gegenseitige Massenanziehung.

Typische Beispiele sind Styropor, das vom Fell einer Katze elektrostatisch angezogen wird, oder Blitze als Folge elektrostatischer Aufladung. Schon im Altertum war bekannt, dass Bernstein nach dem Reiben an Tuch oder Fell kleine leichte Teilchen anzieht. William Gilbert zeigte später, dass auch andere Stoffe durch Reibung elektrisiert werden können, entwickelte das Versorium als frühe Form eines Elektroskops und führte 1600 in seinem Werk De Magnete den Begriff „electrica“ für solche Erscheinungen ein.

Felder, Ladungen und Materialien

Die Kraft, die eine gegebene Ladung Q auf ein Objekt mit der Ladung q ausübt, ist proportional zu q. Sie wird durch die Gleichung F⃗ = q E⃗ beschrieben. Dabei ist E⃗ die elektrische Feldstärke des elektrischen Feldes, das die Ladung Q begleitet. Ein elektrisches Feld ist ein Bereich, in dem auf elektrische Ladungen Kräfte wirken.

Äußere elektrische Felder wirken auf Leiter und Isolatoren unterschiedlich. In elektrischen Leitern, zum Beispiel Metallen, können sich freie Ladungen wie Leitungselektronen makroskopisch verschieben. Sie ordnen sich so an, dass das elektrische Feld im gesamten Inneren des Leiters verschwindet; dieses Phänomen heißt Influenz und erklärt unter anderem den faradayschen Käfig. In Isolatoren sind die Ladungen lokal gebunden. Elektronen und Atomkerne können sich aber gegeneinander verschieben; dadurch wird der Isolator polarisiert.

Ein elektrostatisches Kraftfeld ist konservativ. Das bedeutet: Die potentielle Energie W einer Probeladung hängt im elektrostatischen Feld nur von ihrer Position x⃗ ab, nicht vom Weg dorthin. Deshalb kann man ein elektrostatisches Feld als Gradient eines elektrischen Potentials φ darstellen. Für die potentielle Energie gilt W = qφ. Die Differenz zweier elektrischer Potentiale ist die elektrische Spannung. Wenn das elektrische Feld verschwindet, also E⃗ = 0⃗, ist das elektrische Potential räumlich konstant: φ = konst.

Elektrisches Feld berechnen

Für den elektrostatischen Spezialfall stationärer magnetischer Felder (B⃗˙ = 0⃗) und verschwindender elektrischer Ströme (j⃗ = 0⃗) ergibt sich aus dem coulombschen Gesetz und der Definition E⃗ = F⃗/q das elektrische Feld einer Punktladung Q am Ort x⃗′. Am Ort x⃗ gilt:

E⃗(x⃗) = k Q · (x⃗ − x⃗′) / |x⃗ − x⃗′|³.

Das Feld ist ein gerichtetes Vektorfeld. Bei einer positiven Ladung zeigt es von der Ladung weg, bei einer negativen Ladung zur Ladung hin. Seine Stärke ist proportional zur Ladung Q und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands von Q. Der Proportionalitätsfaktor k ist die Coulomb-Konstante. Im SI-Einheitensystem gilt k = 1/(4π ε₀) ≈ 9 · 10⁹ Nm²/C², im gaußschen Einheitensystem gilt k = 1. Die elektrische Feldstärke kann in SI-Einheiten als V/m, N/C oder kg·m/(s³·A) angegeben werden.

Für mehrere Ladungen Qi addieren sich die Feldbeiträge nach dem Superpositionsprinzip:

E⃗(x⃗) = k Σi Qi · (x⃗ − x⃗i) / |x⃗ − x⃗i|³.

Bei einer kontinuierlichen Raumladungsverteilung ρ wird statt der Summe ein Integral verwendet:

E⃗(x⃗) = k ∫ ρ(x⃗′) · (x⃗ − x⃗′) / |x⃗ − x⃗′|³ d³x′.

Das gaußsche Gesetz beschreibt, dass der Fluss des elektrischen Feldes durch eine geschlossene Oberfläche A proportional zur eingeschlossenen Ladung Q ist: ∫ E⃗ · dA⃗ ∼ Q = ∫ ρ dV. Mit dem gaußschen Integralsatz folgt, dass die Divergenz des elektrischen Feldes proportional zur Raumladungsdichte ist: ∇⃗ · E⃗ ∼ ρ. Ein konservatives elektrisches Feld kann außerdem durch ein skalares elektrisches Potential beschrieben werden: E⃗ = −∇⃗φ. Daraus folgt die Poisson-Gleichung: ρ ∼ ∇⃗ · E⃗ = −∇⃗ · (∇⃗φ) = −Δφ.

Approximation, Potential und Spannung

Die elektrostatische Approximation beruht auf der Annahme rotationsfreier elektrischer Felder. Mathematisch wird dies als ∇⃗ × E⃗ = −∇⃗ × (∇⃗φ) ≡ 0⃗ ausgedrückt. Betrachtet man unter dieser Annahme das Faraday’sche Induktionsgesetz, folgt daraus, dass ein zeitlich veränderliches Magnetfeld verschwindet: ∂B⃗/∂t = 0⃗.

Das bedeutet nicht, dass in der Elektrostatik keine Magnetfelder existieren dürfen. Zeitlich konstante Magnetfelder sind nicht ausgeschlossen. Auch zeitlich veränderliche elektrische Felder und elektrische Ströme werden durch die Approximation nicht grundsätzlich ausgeschlossen. Wenn Magnetfelder oder elektrische Ströme vorhanden sind, dürfen sie sich jedoch nicht oder höchstens sehr langsam mit der Zeit verändern. Elektrostatik und Magnetostatik können beide als Galileischer Grenzfall des Elektromagnetismus betrachtet werden.

Die Potentialdifferenz U = Δφ zwischen zwei Punkten heißt elektrische Spannung. Das Produkt aus der Ladung eines Teilchens und der Spannung zwischen zwei Punkten ergibt die Energie, die benötigt wird, um das Teilchen von einem Punkt zum anderen zu bringen. Die Einheit von elektrischem Potential und elektrischer Spannung ist Volt; nach Definition gilt Volt = Joule/Coulomb.

Das Potential wird durch φ = −∫ E⃗ · ds⃗ berechnet. Die Integrationsgrenzen hängen von der Wahl des Nullniveaus ab, das oft willkürlich in unendlicher Entfernung festgelegt wird. Eine Punktladung Q am Ort x⃗′ verursacht am Ort x⃗ das Potential φ(x⃗) = kQ / |x⃗ − x⃗′|. Für eine kontinuierliche Raumladungsverteilung gilt φ(x⃗) = k ∫ ρ(x⃗′) / |x⃗ − x⃗′| d³x′.

Bei dynamischen Vorgängen stößt das Spannungskonzept an Grenzen. Für veränderliche Magnetfelder kann zwar eine Induktionsspannung definiert werden, sie ist aber nicht mehr über eine Potentialdifferenz definierbar. Auch die Gleichsetzung der benötigten Energie mit der Potentialdifferenz gilt nur, solange die Beschleunigung der Ladung vernachlässigbar klein ist. Beschleunigte Ladungen senden nach der Elektrodynamik elektromagnetische Wellen aus, die in der Energiebilanz berücksichtigt werden müssen.

Energie im elektrischen Feld

Ein wichtiges Beispiel für die Energie eines elektrischen Feldes ist der Plattenkondensator. In ihm besteht näherungsweise ein homogenes Feld. Wenn die eine Platte die Ladung Q und die andere Platte die Ladung −Q trägt und die Plattenfläche A beträgt, ergibt sich der Betrag des elektrischen Feldes zu E = Q/(ε₀ A). Dabei ist ε₀ die elektrische Feldkonstante.

Bei konstantem Plattenabstand d muss Arbeit gegen das elektrische Feld verrichtet werden, wenn eine infinitesimal kleine Ladung dQ von einer Platte auf die andere gebracht wird. Der Betrag dieser Arbeit ist dW = dF · d = E · dQ · d. Wegen der Energieerhaltung erhöht diese Arbeit die Energie des Kondensators, und diese Energie steckt im elektrischen Feld.

Durch den Ladungsübertrag erhöht sich die Feldstärke um dE = dQ/(ε₀ A). Nach Umformung ergibt sich dW = ε₀ · A · d · E · dE. Da V = A · d das Volumen des Plattenkondensators ist, erhält man nach Integration und Division durch V die Energiedichte des elektrischen Feldes:

ρel = W/V = 1/2 · C · U²/(A · d) = 1/2 ε₀E² = 1/2 DE.

Dabei ist D die dielektrische Verschiebung. Im idealen Plattenkondensator verschwindet das elektrische Feld außerhalb des Kondensators, also gilt dort E = 0.

Vorkommen und Anwendungen

Statische Ladungen treten in der Natur und im Alltag an vielen Stellen auf. Beispiele sind Gewitterwolken, das elektrostatische Feld der Erde und elektrostatische Entladungen. Solche Entladungen können nach dem Aufladen durch Laufen über Teppichböden, durch Kunststoff-Geländer, durch Sitzen auf Sesseln mit Kunstfaser-Bezug, durch Kämmen mit einem Plastik-Kamm oder beim Ausziehen eines Kunstfaser-Pullovers auftreten.

Hohe Spannungen können durch den Transport statischer Ladungen erzeugt werden. In Forschung, Lehre und Industrie dienen dazu zum Beispiel Elektrisiermaschinen, Bandgeneratoren und Influenzmaschinen.

Elektrostatische Effekte werden technisch genutzt, unter anderem in Elektrofiltern, beim elektrostatisch unterstützten Spritzlackieren, bei der Fixierung von Papierblättern auf Flachbettplottern und X-Y-Schreibern, beim Pulverbeschichten und in der Xerographie.