Operator endlichen Ranges

Grundidee und Definition

Ein Operator endlichen Ranges, auch endlichdimensionaler Operator genannt, ist eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen, deren Bild endlichdimensional ist. Ist F: V → W eine lineare Abbildung zwischen zwei K-Vektorräumen, dann ist die Bildmenge Bild(F) := {F(v) | v ∈ V} ein Untervektorraum von W. F hat endlichen Rang, wenn dieser Untervektorraum F(V) endlichdimensional ist.

Der Körper K kann beliebig sein. In Anwendungen, besonders in der Funktionalanalysis, sind meist K = R oder K = C gemeint, also die reellen oder komplexen Zahlen. Lineare Abbildungen heißen oft auch lineare Operatoren. Die Dimension des Bildes nennt man den Rang des Operators. Das entspricht dem Rang einer Matrix aus der linearen Algebra, weil eine Matrix bezüglich einer Basis als lineare Abbildung aufgefasst werden kann.

Typische Beispiele

Wenn der Zielraum W endlichdimensional ist, dann hat jeder lineare Operator F: V → W endlichen Rang. Der Grund ist, dass Bild(F) ein Untervektorraum von W ist und deshalb ebenfalls endlichdimensional sein muss.

Wenn der Ausgangsraum V endlichdimensional ist, dann hat ebenfalls jeder lineare Operator F: V → W endlichen Rang. Das Bild kann keine größere Dimension haben als V.

Eine wichtige Darstellungsform ist: Sind w1, …, wn ∈ W und f1, …, fn: V → K lineare Funktionale, dann ist F: V → W, v ↦ ∑_{i=0} f_i(v)w_i ein endlichdimensionaler Operator. Sein Bild liegt in der linearen Hülle von w1, …, wn und ist daher endlichdimensional. Umgekehrt kann jeder endlichdimensionale Operator in dieser Form dargestellt werden, sogar mit linear unabhängigen w1, …, wn. Der Nulloperator wird dabei durch die leere Summe dargestellt. Sind die w_i linear unabhängig, dann sind die Koeffizientenfunktionale f_i eindeutig bestimmt.

Ein Gegenbeispiel ist der identische Operator id_V: V → V auf einem unendlichdimensionalen Vektorraum V. Er ist nicht von endlichem Rang, denn sein Bild ist V selbst und damit nicht endlichdimensional.

Stetigkeit und Kompaktheit

Bei R- oder C-Vektorräumen mit einer hausdorffschen Vektorraumtopologie kann man fragen, ob ein Operator endlichen Ranges stetig ist. Eine hausdorffsche Vektorraumtopologie ist eine topologische Struktur auf einem Vektorraum, in der verschiedene Punkte durch Umgebungen getrennt werden können. Operatoren endlichen Ranges müssen nicht automatisch stetig sein; ein unstetiges lineares Funktional liefert bereits ein Beispiel.

Hat ein endlichdimensionaler Operator die Form v ↦ ∑_{i=0}^{n} f_i(v)w_i mit linear unabhängigen w_i, dann ist F genau dann stetig, wenn die Koeffizientenfunktionale f_i stetig sind.

Zwischen normierten Räumen gilt außerdem: Stetige, endlichdimensionale Operatoren sind kompakt. Ein kompakter Operator ist hier ein Operator, bei dem das Bild der Einheitskugel relativ kompakt ist. Der Grund ist, dass das Bild der Einheitskugel in einer Kugel eines endlichdimensionalen Raums liegt und deshalb nach dem Satz von Heine-Borel relativ kompakt ist.

Rechenregeln und Ideale

Operatoren endlichen Ranges sind stabil unter Summen und skalaren Vielfachen: Addiert man zwei solche Operatoren oder multipliziert man einen mit einem Skalar, erhält man wieder einen Operator endlichen Ranges. Die Menge der Operatoren endlichen Ranges zwischen zwei Vektorräumen bildet daher einen Vektorraum.

Auch bei Kompositionen bleibt die Eigenschaft erhalten. Hat man lineare Operatoren U --F→ V --G→ W und ist einer der beiden Operatoren F oder G endlichdimensional, dann ist auch die Komposition G ∘ F endlichdimensional.

Daraus folgt: Die Menge E(V) der endlichdimensionalen Operatoren auf einem Vektorraum V bildet ein Ideal in der Algebra aller linearen Operatoren auf V. Ein Ideal ist dabei eine Teilmenge einer Algebra, die insbesondere unter Addition und unter Multiplikation mit beliebigen Elementen der Algebra von links und rechts abgeschlossen ist.

Für einen Banachraum V bildet die Menge F(V) der endlichdimensionalen, stetigen Operatoren ein Ideal in der Banachalgebra der beschränkten linearen Operatoren. Ist V unendlichdimensional, dann ist F(V) in der Operatortopologie nicht abgeschlossen. F(V) ist im Ideal der Spurklasseoperatoren und deshalb auch im Ideal der kompakten Operatoren enthalten. Wenn V die Approximationseigenschaft besitzt, dann liegt F(V) dicht im Ideal der kompakten Operatoren.

Dualität

Zu einem linearen Operator F: V → W gibt es den dualen Operator F*: W* → V* zwischen den Dualräumen. Der Dualraum V* besteht aus den linearen Funktionalen auf V. Ist F von endlichem Rang, dann ist auch F* von endlichem Rang.

Hat F die Form F(v) = ∑{i=0}^{n} f_i(v)w_i mit f_i ∈ V* und w_i ∈ W, dann hat der duale Operator F*: W* → V* die Form F*(g) = ∑{i=0}^{n} ŵ_i(g)f_i. Dabei ist ŵ_i das durch ŵ_i(g) := g(w_i) definierte lineare Funktional auf W*.

Für R- oder C-Vektorräume mit hausdorffscher Vektorraumtopologie kann man bei stetigen linearen Operatoren F: V → W auch den stetigen dualen Operator F': W' → V' bilden. Ist F von endlichem Rang, dann ist auch F' von endlichem Rang. Für F' gilt in der genannten Darstellungsform dieselbe Formel wie für F*.

Tensorprodukt-Darstellung

Für normierte Räume V und W lässt sich der Raum der stetigen linearen Operatoren endlichen Ranges mit Hilfe von Tensorprodukten beschreiben. Ist V' der Dualraum von V, dann betrachtet man die Abbildung V' × W → F(V,W), (f,w) ↦ F_(f,w), wobei F_(f,w)(v) := f(v)w gilt.

Diese Abbildung ist bilinear, das heißt linear in beiden Argumenten. Dabei bezeichnet F(V,W) den Raum der stetigen linearen Operatoren endlichen Ranges von V nach W. Aus der universellen Eigenschaft des Tensorprodukts folgt ein Isomorphismus V' ⊗ W ≅ F(V,W). Der Raum der stetigen linearen Operatoren endlichen Ranges kann also als Tensorprodukt geschrieben werden.