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Leere Summe
Die leere Summe ist in der Mathematik der Sonderfall einer Summe mit null Summanden. Der leeren Summe wird der Wert Null, das neutrale Element der Addition …
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Begriff und Bedeutung
Eine leere Summe ist eine Summe mit null Summanden. Ihr Wert wird als Null festgelegt, weil Null das neutrale Element der Addition ist: Beim Addieren von Null ändert sich ein Wert nicht. Das entsprechende Gegenstück bei der Multiplikation ist das leere Produkt.
Formale Definition
Eine Summe von Zahlen heißt leer, wenn über die leere Menge summiert wird. Für eine leere Indexmenge I=\emptyset gilt daher
\displaystyle \sum_{i\in I} a_i=0.
Auch eine endliche Summe ist leer, wenn ihr Startindex m größer als ihr Endindex n ist. Dann gilt
\displaystyle \sum_{i=m}^{n} a_i=0 \quad\text{für } m>n,
weil die Indexmenge I=\{j\in\mathbb Z\mid m\le j\le n\} in diesem Fall leer ist. Da es genau eine Möglichkeit gibt, nichts zu addieren, spricht man von der leeren Summe.
Verallgemeinerung auf algebraische Strukturen
Summen können außer für Zahlen auch in algebraischen Strukturen wie Vektorräumen, Körpern, Ringen und abelschen Gruppen definiert werden. Die leere Summe ergibt dort jeweils das neutrale Element bezüglich der Addition.
Für Vektoren v_i eines Vektorraums V ist dieses Element der Nullvektor 0_V. Deshalb gilt
\displaystyle \sum_{i\in\emptyset} v_i=0_V.
