Neuner- und Elferprobe

Grundidee und Nutzen

Neuner- und Elferprobe sind Rechenproben für natürliche Zahlen. Sie dienen dazu, Fehler bei Addition, Subtraktion oder Multiplikation zu erkennen. Der Nutzen liegt darin, dass man eine lange Rechnung durch einfachere Rechnungen mit Resten überprüft. Wenn die Probe zu einer falschen Aussage führt, ist die ursprüngliche Rechnung sicher falsch.

Wichtig ist die Einschränkung: Wenn eine Neuner- oder Elferprobe aufgeht, ist das Ergebnis nicht sicher richtig. Manche Fehler bleiben unentdeckt. Umgangssprachlich wird „Neunerprobe“ auch allgemeiner für eine überschlägige Prüfung von Ergebnissen verwendet.

Die Verfahren lassen sich auf Additionen, Subtraktionen und Multiplikationen anwenden, aber nicht auf Divisionen und Potenzen.

Neunerrest und Neunerprobe

Der Neunerrest einer natürlichen Zahl n wird über die Quersumme berechnet. Die Quersumme q(n) ist die Summe der Ziffern einer Zahl. Danach bildet man wieder die Quersumme, bis nur noch eine einstellige Zahl bleibt. Ergibt sich dabei 9, wird 9 durch 0 ersetzt.

Beispiele: Der Neunerrest von 5919 ist 6, denn 5 + 9 + 1 + 9 = 24 und 2 + 4 = 6. Der Neunerrest von 81 ist 0, denn 8 + 1 = 9 und aus 9 wird 0.

Bei der Neunerprobe ersetzt man die beteiligten Zahlen einer Rechnung durch ihre Neunerreste und führt dieselbe Rechnung mit diesen Resten durch. Beispiel: Die Rechnung 12 + 47 = 69 soll geprüft werden. Der Neunerrest von 12 ist 3, der von 47 ist 2, also müsste der Rest der Summe 3 + 2 = 5 sein. Der Neunerrest von 69 ist aber 6. Daher ist die Rechnung sicher falsch; richtig wäre 59.

Die Neunerprobe erkennt keine Fehler, bei denen das falsche Ergebnis um ein Vielfaches von 9 vom korrekten Ergebnis abweicht. Auch Zahlendreher können unentdeckt bleiben, weil die Reihenfolge der Ziffern für die Quersumme keine Rolle spielt. Die Neunerprobe deckt 8 von 9 Fehlern auf, also mit einer Fehlererkennungswahrscheinlichkeit von 88,8 %.

Elferrest und Elferprobe

Der Elferrest wird ähnlich wie der Neunerrest berechnet, aber mit der alternierenden Quersumme. Dabei werden die Ziffern einer Zahl, beginnend bei der letzten Ziffer, abwechselnd subtrahiert und addiert.

Beispiel: Der Elferrest von 5919 ist 1, denn 9 − 1 + 9 − 5 = 12 und 2 − 1 = 1. Negative Reste können in positive Reste umgewandelt werden, indem man 11 addiert. Beispiel: Der Elferrest von 492 ist 2 − 9 + 4 = −3; durch Addition von 11 erhält man 8.

Die Elferprobe funktioniert analog zur Neunerprobe: Man führt die entsprechende Rechnung mit den Elferresten der Operanden und des Ergebnisses durch und prüft, ob die Aussage stimmt. Wenn sie nicht stimmt, ist die ursprüngliche Rechnung sicher falsch. Allein angewendet deckt die Elferprobe 10 von 11 Fehlern auf; das entspricht 90,90 %.

Die Kombination beider Proben erhöht die Sicherheit. Wenn Neuner- und Elferprobe beide aufgehen, ist das Ergebnis in 98 von 99 Fällen richtig; die Fehlererkennungswahrscheinlichkeit beträgt 98,98 %.

Typische Rechenbeispiele

Bei einer Addition wie 573 + 492 + 145 = 1210 gehen sowohl Neunerprobe als auch Elferprobe auf. Daraus folgt nicht, dass das Ergebnis bewiesen richtig ist, sondern nur, dass die Proben keinen Fehler nachweisen. Bei erfolgreicher Kombination beider Proben wird im Artikel die Wahrscheinlichkeit mit 98/99 = 98,\overline{98} % angegeben.

Bei der Subtraktion 573 − 492 = 18 liegt ein Zahlendreher vor, denn richtig wäre 81. Die Neunerprobe erkennt diesen Fehler nicht, weil q(81) = q(18) = 9 ≡ 0 mod 9 gilt. Die Elferprobe erkennt ihn dagegen und zeigt, dass das Ergebnis 18 sicher falsch ist.

Bei der Multiplikation 573 × 492 = 281916 gehen beide Proben auf. Auch hier bedeutet das nur, dass weder Neuner- noch Elferprobe einen Fehler beweisen können.

Das Verfahren kann auch bei zusammengesetzten Rechnungen verwendet werden, etwa bei −25198 + 519948 × (18192 − 717) = 9086066102. Dabei werden alle vorkommenden Zahlen durch ihre Neuner- beziehungsweise Elferreste ersetzt. Für die Neunerprobe entsteht zum Beispiel −7 + 0 × (3 − 6) = 2, was nach Umformung und Addition von 9 zu 2 = 2 wird. Für die Elferprobe entsteht −8 + 0 × (9 − 2) = 3, was nach Addition von 11 ebenfalls zu 3 = 3 wird. Beide Proben gehen also auf.

Mathematischer Hintergrund

Die besondere Rolle von Neuner- und Elferprobe im Dezimalsystem hängt mit der Basis 10 zusammen. In einem Stellenwertsystem zur Basis b lassen sich wegen b^n ≡ 1 mod (b−1) und b^n ≡ (−1)^n mod (b+1) die Proben mit b−1 und b+1 besonders einfach durchführen. Im Dezimalsystem sind das 9 und 11.

Für eine Basis b deckt die (b−1)er-Probe allein b−2 von b−1 Fehlern auf. Die Fehlererkennungswahrscheinlichkeit ist (b−2)/(b−1). Die (b+1)er-Probe allein deckt b von b+1 Fehlern auf, also mit Wahrscheinlichkeit b/(b+1). Werden beide Proben erfolgreich durchgeführt, ist die Wahrscheinlichkeit (kgV(b−1,b+1)−1)/kgV(b−1,b+1), wobei kgV das kleinste gemeinsame Vielfache bedeutet.

Im Dualsystem kann die Dreierprobe sinnvoll sein. Für die TR 440 wurde sie mit einer regulären Wortlänge von 48 Bits umgesetzt; dazu kamen 2 Bits für die Dreierprobe und 2 Bits für die Typenkennung. Die Prüfsumme entstand aus der Quersumme der 24 Dualziffernpaare von je 2 Bits modulo 3. Damit konnten Speicherfehler und Fehler bei arithmetischen Operationen erkannt werden.

Andere Basen und Herkunft

Im Hexadezimalsystem mit Basis 16 ergibt die Quersumme den 15er-Rest, auch „F-Rest“ genannt. Die alternierende Quersumme ergibt den 17er-Rest. Bei der Beispielrechnung A1F + C02 = 1621 gehen sowohl die 15er- als auch die 17er-Probe auf. Die kombinierte Fehlererkennungswahrscheinlichkeit wird mit (kgV(15,17)−1)/kgV(15,17) = 254/255 ≈ 99,608 % angegeben.

Historisch wird die Neunerprobe im „Algorismus“ von al-Chwarizmi im 9. Jahrhundert erstmals für Verdopplung und Multiplikation besprochen, dort allerdings ohne Verwendung der Quersummen. Die Faktoren oder Produkte wurden durch 9 dividiert und der Rest notiert; diese Reste entsprechen den Neunerresten.

Die Elferprobe wurde wahrscheinlich um das Jahr 1010 von dem persischen Mathematiker Abu Bakr al-Karadschi entdeckt und in al-Kāfī fī l-hisāb beschrieben. Durch arabische Vermittlung war das Verfahren vermutlich seit dem 12. Jahrhundert in Europa bekannt. Leonardo Fibonacci beschrieb es im Liber abbaci, dessen zweite Fassung spätestens um 1227 existierte.