Rechenfehler

Begriff und Bedeutung

Rechenfehler sind Fehler beim Rechnen in der Mathematik oder im Alltag. Sie entstehen bei Rechenoperationen durch eine Abweichung von den Rechenregeln. Ein Rechenfehler zeigt sich daran, dass das Rechenergebnis vom wahren mathematischen Wert abweicht.

Rechenfehler gehören zu häufigen Alltagsfehlern, ähnlich wie Schreibfehler, Denkfehler, Druckfehler, Fat-Finger-Fehler, Sprechfehler oder Tippfehler. Wenn sie unentdeckt bleiben und Schäden verursachen, können sie zu groben Fehlern werden.

Arten und Folgen

Beim Kopfrechnen ist ein Rechenfehler ein Verstoß gegen Rechengesetze. Bei der Benutzung von Rechenmaschinen, zum Beispiel Taschenrechnern, entsteht ein Rechenfehler meist durch eine falsche Eingabe.

Bei Kettenaufgaben können sich Rechenfehler fortsetzen. Das nennt man Fehlerfortpflanzung: Ein falsches Zwischenergebnis beeinflusst weitere Rechenschritte und verfälscht dadurch das Endergebnis.

Zu den Rechenfehlern zählen auch Rundungsfehler und, streng betrachtet, der Näherungswert. Fehler, die im Wesentlichen durch Rundung entstehen, heißen auch Rechnungsfehler. Sie entstehen etwa, wenn eine irrationale Zahl wie √2 oder π durch einen endlichen Dezimalbruch ersetzt wird, oder allgemeiner, wenn eine reelle Zahl durch eine Gleitkommazahl ersetzt wird.

Einzelne lokale Rechnungsfehler können sich zu einem akkumulierten Rechnungsfehler summieren. Je mehr Rechenoperationen durchgeführt werden, desto größer ist die Gefahr, dass das Ergebnis verfälscht wird, im Extremfall bis zur völligen Unbrauchbarkeit.

Rechenfehler im Recht

Rechenfehler können im Geschäftsverkehr rechtliche Folgen haben. Mit dem Hinweis „Rechenfehler vorbehalten“ (lateinisch salvo errōre calcŭli, Abkürzung s.e.c.) weist ein Geschäftspartner darauf hin, dass seine Rechnung möglicherweise fehlerhaft sein kann.

In der Buchhaltung sind Additionsfehler die häufigsten Rechenfehler, Subtraktionsfehler kommen seltener vor. Eng damit verbunden sind Saldenfehler. Bei der Fakturierung können auch Multiplikationsfehler auftreten, etwa bei der Formel Menge · Preis = Kaufpreis.

Ein häufiger Fall ist der Kalkulationsirrtum. Bei Angeboten oder Bestellungen bleibt trotz Rechenfehler ein bindendes Vertragsangebot im Sinne von § 145 BGB bestehen. Der Anbieter kann seinen Antrag also nicht einfach zurücknehmen, wenn er den Kalkulationsirrtum später entdeckt. Auch bei Ausschreibungen ist das Angebot eines Bieters nach den akzeptierten Ausschreibungsbedingungen ein bindendes Vertragsangebot im Sinne von § 145 BGB.

Eine Anfechtung wegen Irrtums ist in solchen Fällen nach dem Artikel nicht möglich. Die Angebotssumme beruht nicht auf einem bloßen Schreibfehler, der eine Anfechtung wegen Erklärungsirrtums nach § 119 Abs. 1 BGB erlauben würde. Der Kalkulationsirrtum gilt vielmehr als unbeachtlicher Motivirrtum. Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichtshofs (BGH) gilt das sogar dann, wenn der Erklärungsempfänger den Kalkulationsirrtum erkannt hat.

Berichtigung und Abrechnungen

Bei Vergaben im Bauwesen müssen Angebote gemäß § 16c Abs. 1 VOB/A unter anderem in rechnerischer, technischer und wirtschaftlicher Hinsicht geprüft werden. In Ausschreibungen können auch bewusste, sogenannte „taktische“ Rechenfehler eingebaut werden, um ein Angebot nach Veröffentlichung der Ergebnisse korrigieren zu können. Solche beabsichtigten Fehler führen zwar nicht automatisch zum Ausschluss des Angebots, können bei großer Zahl aber Zweifel an der Eignung des Bieters begründen.

Schreibfehler, Rechenfehler und ähnliche offenbare Unrichtigkeiten, etwa mechanische Fehler in Verwaltungsakten und Urteilen, können jederzeit von Amts wegen durch Behörden oder Gerichte berichtigt werden. Genannt werden § 118 VwGO, § 107 FGO und § 138 SGG. Die Finanzbehörde kann nach § 129 AO Schreibfehler, Rechenfehler und ähnliche offenbare Unrichtigkeiten beim Erlass eines Verwaltungsakts jederzeit berichtigen. Dafür muss die Unrichtigkeit nicht für den Steuerpflichtigen erkennbar gewesen sein. Entscheidend ist, ob der Fehler bei Offenlegung des Sachverhalts für jeden unvoreingenommenen Dritten klar und deutlich als offenbare Unrichtigkeit erkennbar ist.

Bei Betriebskostenabrechnungen oder Nebenkostenabrechnungen gelten Rechenfehler, falsche Flächenangaben oder falsche Umlageschlüssel als materielle Fehler. Eine Nach- oder Rückforderung wegen solcher Fehler ist nur zulässig, solange die Abrechnungsfrist läuft. Nach Ablauf der Frist darf eine Korrektur nicht mehr zu einer Nachzahlung durch den Mieter führen (§ 556 Abs. 3 Satz 3 BGB).

Bekannte Beispiele

Der Artikel nennt mehrere bekannte Rechenfehler. Im Buch Esra werden silberne und goldene Tempelgeräte aufgezählt; am Ende wird eine Summe von 5400 angegeben. Addiert man nur die Einzelzahlen, ergibt sich aber 2499. Die Differenz löst sich erst auf, wenn man die in Vers 6 erwähnten Gaben der in Babel verbliebenen Juden hinzurechnet.

In Josua 19,2-6 werden 14 Städte aufgezählt, obwohl von 13 Städten gesprochen wird. Am 31. Januar 1918 reichte Albert Einstein einen Artikel mit dem Titel „Über Gravitationswellen“ ein, weil seine frühere Darstellung nach seinen Worten durch „einen bedauerlichen Rechenfehler verunstaltet“ gewesen sei.

Bei der Landtagswahl in Schleswig-Holstein 1992 wurde das offizielle Ergebnis der Grünen am Wahltag mit 5,0 % angegeben. Dabei war mit Rundungen pro Wahlkreis auf eine Nachkommastelle gerechnet worden. Tatsächlich betrug das Ergebnis 4,97 %, wie sich am nächsten Tag herausstellte. Wegen der Sperrklausel kam die Partei dadurch unerwartet nicht in den Landtag.

Der Pentium-FDIV-Bug wurde im November 1994 etwa 1 ½ Jahre nach der Markteinführung bekannt. Er führte bei Gleitkomma-Divisionen mit bestimmten, relativ wenigen Wertepaaren zu ungenauen Ergebnissen.

Entdecken und Vermeiden

Die Behandlung von Rechenfehlern gehört zum Fehlermanagement und zur Fehler-Ursachen-Analyse. Dabei ist zu unterscheiden, ob die rechnende Person ihre Aufgabe selbst kontrolliert oder ob eine andere Kontrollinstanz die Kontrolle übernimmt.

Rechenfehler werden eher bemerkt und korrigiert, wenn sie nicht zur Ergebniserwartung der rechnenden Person passen. Erwartungskonforme Rechenfehler werden dagegen leicht übersehen; das nennt man selektive Fehlerkorrektur.

Zur Selbstkontrolle helfen mehrere Verfahren: Nachrechnen, Rückrechnung mit gegensätzlichen Grundrechenarten, Einsetzen des Ergebnisses in die gelöste Formel als Proberechnung, Neunerprobe und Elferprobe, Einsetzen bekannter Lösungen in eine gefundene Formel, Ausprobieren, Plausibilitätskontrollen, Schätzwerte und Überschlagsrechnungen.

Kontrollinstanzen wie Lehrkräfte in der Schule oder die Rechnungsprüfung in Behörden und Unternehmen vergleichen Rechenergebnisse mit vorliegenden Ideallösungen. In der doppelten Buchführung entsteht außerdem automatisch eine Gegenkontrolle, weil die Summen der Konten (Bestandskonten) mit den Summen der Gegenkonten (Erfolgskonten) verglichen werden können.