Neunerrest

Definition und Bedeutung

Der Neunerrest einer ganzen Zahl n ∈ Z ist der Rest, den n bei der Division durch 9 lässt. Er ist also eine der Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 oder 8.

Als Formel: Neunerrest von n = n mod 9 ∈ N₀. Die Modulo-Funktion mod liefert den Rest einer ganzzahligen Division, hier also den Rest von n : 9.

Der Neunerrest ist wichtig für die Neunerprobe, mit der man Rechnungen auf mögliche Fehler prüfen kann.

Berechnung im Dezimalsystem

Für eine natürliche Zahl n ∈ N₀ berechnet man den Neunerrest über die dezimale Quersumme q(n). Die Quersumme ist die Summe der Ziffern einer Zahl. Danach bildet man wieder die Quersumme dieser Quersumme, also q(q(n)), und setzt das fort, bis eine einstellige Zahl entsteht.

Wenn dabei 9 herauskommt, wird 9 durch 0 ersetzt. Der Grund ist: 9 = 1 · 9 + 0, also ist der Rest von 9 bei Division durch 9 gleich 0 und nicht 9.

Für negative ganze Zahlen kann man die Regel erweitern, indem man q(-n) = -q(n) verwendet. Falls dadurch ein negativer Rest entsteht, addiert man 9, gegebenenfalls mehrfach, bis ein Rest aus 0 bis 8 entsteht.

Typische Beispiele

Bei n = 5387 gilt: q(5387) = 5 + 3 + 8 + 7 = 23 und q(23) = 2 + 3 = 5. Der Neunerrest von 5387 ist 5.

Bei n = 5643 gilt: q(5643) = 5 + 6 + 4 + 3 = 18 und q(18) = 1 + 8 = 9. Weil 9 durch 0 ersetzt wird, ist der Neunerrest von 5643 gleich 0.

Bei n = -418 gilt: q(-418) = -q(418) = -(4 + 1 + 8) = -13 und q(-13) = -q(13) = -(1 + 3) = -4. Da das Ergebnis negativ ist, addiert man 9: -4 + 9 = 5. Der Neunerrest von -418 ist 5. Für +418 ist der Neunerrest dagegen 4.

Zentrale Eigenschaft

Für jede natürliche Zahl n gilt: Wenn man von n ihre Quersumme q(n) abzieht, entsteht eine Zahl, die ohne Rest durch 9 teilbar ist.

Formal lautet der Satz: ∀ n ∈ N₀: (n - q(n)) / 9 ∈ N₀.

Ein Beispiel ist 23456789. Die Quersumme ist q(23456789) = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 44. Dann gilt: (23456789 - 44) / 9 = 23456745 / 9 = 2606305.

Begründung mit Stellenwerten

Die Herleitung nutzt die dezimale Zifferndarstellung einer m-stelligen natürlichen Zahl n:

n = Σ(k=0 bis m-1) 10^k · z_k = z₀ + 10 · z₁ + 100 · z₂ + ... + 10^(m-1) · z_(m-1).

Die Quersumme ist q(n) = Σ(k=0 bis m-1) z_k = z₀ + z₁ + z₂ + ... + z_(m-1).

Beim Subtrahieren erhält man n - q(n) = Σ(k=0 bis m-1) (10^k - 1) · z_k. Das ergibt Terme wie 0 · z₀, 9 · z₁, 99 · z₂, 999 · z₃ und so weiter. Jeder dieser Faktoren ist durch 9 teilbar, deshalb ist auch die Summe durch 9 teilbar.

Nach Division durch 9 erhält man Repunits R_k = (10^k - 1) / 9. Eine Repunit ist hier eine Zahl, deren k Ziffern alle 1 sind, also zum Beispiel 1, 11, 111 usw.

Andere Stellenwertsysteme

Das beschriebene Verfahren gilt in dieser Form nur im Dezimalsystem. In anderen Stellenwertsystemen gibt es eine entsprechende Regel: An die Stelle von 9 tritt die größte Ziffer des Systems, also die Basis minus 1.

Im Hexadezimalsystem rechnet man daher mit F₁₆, also dezimal 15. Man spricht vom hexadezimalen F-Rest oder 15er-Rest. Beispiel: Für n = AD37E9 ist q(AD37E9) = A + D + 3 + 7 + E + 9 = 38 und q(38) = 3 + 8 = B. Der F-Rest ist B. Bei n = 210F84 ergibt die iterierte Quersumme F; daraus wird 0.

Im Oktalsystem rechnet man entsprechend mit 7₈ und spricht vom oktalen 7er-Rest. Beispiel: Für n = 17365 ist q(17365) = 26, q(26) = 10 und q(10) = 1. Der 7er-Rest ist 1. Bei n = 52016734 ergibt die iterierte Quersumme 7; daraus wird 0.