Wikipedia · einfach zusammengefasst · Stand
Quersumme
Man addiert zum Wert der ersten Ziffer den der dritten, fünften, siebten usw. · Man addiert zum zweiten Ziffernwert den vierten, sechsten, achten usw.
Inhalt6 Abschnitte
Grundidee und Definition
Die Quersumme, auch Ziffernsumme genannt, ist üblicherweise die Summe der Ziffernwerte einer natürlichen Zahl. Im Dezimalsystem hat zum Beispiel die Zahl n = 36036 die Quersumme q = 3 + 6 + 0 + 3 + 6 = 18. Wie das Querprodukt hängt die Quersumme vom verwendeten Zahlensystem ab.
Allgemein wird eine natürliche Zahl n zur Basis b mit b >= 2 als n = Summe von a_i · b^i dargestellt. Dabei sind die a_i die Ziffernwerte und es gilt 0 <= a_i <= b - 1. Die Quersumme zur Basis b ist dann q_b(n) = Summe der Ziffernwerte = a_0 + a_1 + ... + a_(k-1). Die Anzahl der Ziffern ist k = 1 für n = 0 und k = floor(log_b n) + 1 für n >= 1. Dabei bezeichnet mod die Modulo-Funktion, also den Rest einer Division, und floor die Gaußklammer, also Abrunden auf die nächstkleinere ganze Zahl.
Rekursiv kann man die Quersumme so definieren: Ist 0 <= n <= b - 1, dann ist q_b(n) = n. Ist n >= b, dann ist q_b(n) = n mod b + q_b(floor(n / b)). Das bedeutet: Man nimmt die letzte Ziffer, addiert dazu die Quersumme der Zahl ohne diese letzte Ziffer und wiederholt das Verfahren.
Verlauf der Quersummenfunktion
Der Graph der Quersummenfunktion q(n) zeigt im Dezimalsystem ein typisches Muster. Für jeweils zehn aufeinanderfolgende Zahlen mit den Endziffern 0 bis 9 steigt die Quersumme Schritt für Schritt um 1. Danach fällt sie für einen Zahlenschritt wieder ab. Die niedrigsten und höchsten Werte solcher Anstiegsbereiche verschieben sich dabei jeweils um 1 nach oben.
Dieses Verhalten wiederholt sich bei jeder Zehnerpotenz. Bei 10, 100, 1000 und so weiter fällt q(n) wieder auf 1. Dadurch entsteht eine Selbstähnlichkeit des Graphen. Nur für n = 0 gilt q(n) = 0; für alle größeren Zahlen ist q(n) >= 1. Nach oben ist q(n) nicht beschränkt.
Teilbarkeit und Prüfen von Zahlen
Quersummen werden als einfache Prüfsummen verwendet, weil beim Eingeben oder Übertragen von Zahlen technische oder menschliche Fehler auftreten können. Eine Prüfsumme ist ein Kontrollwert, mit dem man Daten auf mögliche Fehler prüft.
Ein wichtiges Ergebnis ist der Quersummensatz. Gegeben sei ein Stellenwertsystem mit der Basis b = n + 1, ein Teiler t von n und eine natürliche Zahl a. Dann gilt: a ist genau dann durch t teilbar, wenn ihre Quersumme in diesem Stellenwertsystem durch t teilbar ist. Im Dezimalsystem ist die Basis 10, also n = 9. Daher kann man die Quersummenregel zur Prüfung der Teilbarkeit durch 3 und durch 9 verwenden. Im Hexadezimalsystem ist n = 15; dort kann man damit die Teilbarkeit durch 3, 5 und 15 prüfen.
Allgemein lässt die Quersumme q_b einer Zahl a im Stellenwertsystem mit Basis b den Rest modulo b - 1 unverändert: q_b(a) ≡ a mod (b - 1). Die alternierende Quersumme aqs_b lässt entsprechend den Rest modulo b + 1 unverändert: aqs_b(a) ≡ a mod (b + 1).
Der wichtigste Spezialfall im Dezimalsystem ist die Neunerprobe: Eine dezimal dargestellte Zahl n ist genau dann durch 3 beziehungsweise 9 teilbar, wenn ihre Quersumme q(n) ohne Rest durch 3 beziehungsweise 9 teilbar ist. Außerdem gilt n ≡ q(n) mod 3 beziehungsweise n ≡ q(n) mod 9. Anders gesagt: Die Differenz einer Zahl und ihrer Quersumme ist immer durch 9 teilbar.
ISBN und gewichtete Quersummen
Eine gewichtete Quersumme entsteht, wenn die Ziffern zuerst mit bestimmten Gewichten multipliziert und die Produkte anschließend addiert werden. Bei der einfachen Quersumme sind alle Gewichte gleich 1. Bei gewichteten Verfahren beginnt man mit der niederwertigsten Ziffer, also der Einerstelle; die Wichtungsfolge kann periodisch oder nichtperiodisch sein.
Ein Beispiel ist die Prüfziffer der ISBN-10. Die mit den Faktoren (10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1) gewichtete Quersumme einer ISBN-10 ist modulo 11 immer 0. Die Ziffer „X“ hat dabei den Zahlenwert 10 und kann in der letzten Ziffer auftreten. Die ersten 9 Ziffern beschreiben das Produkt; die zehnte Ziffer wird so ergänzt, dass die Bedingung erfüllt ist. Für die ISBN 3-442-54210-3 ergibt sich 3·1 + 4·2 + 4·3 + 2·4 + 5·5 + 4·6 + 2·7 + 1·8 + 0·9 + 3·10 = 132, und 132 mod 11 = 0. Daher ist dies eine formal gültige ISBN.
Auch Teilbarkeitsregeln lassen sich mit gewichteten Quersummen bilden. Für die Zahl 7 kann man die periodische Wichtungsfolge 1, 3, 2, -1, -3, -2, ... verwenden. Bei 422625 ergibt sich, von der niedrigsten Stelle angefangen: 5·1 + 2·3 + 6·2 - 2·1 - 2·3 - 4·2 = 7. Die zugehörigen Gewichte erhält man aus den Resten der 10er-Potenzen modulo m. Für m = 7 sind die Reste 1, 3, 2, -1, -3, -2 und danach wieder 1. Für viele Teiler ist dieses Verfahren aber unpraktisch, weil es nur wenige gut merkbare periodische Wichtungsfolgen gibt.
Iterierte und alternierende Quersummen
Bei der einstelligen oder iterierten Quersumme bildet man wiederholt die Quersumme, bis nur noch eine einstellige Zahl übrig bleibt. Beispiel: q(93) = 9 + 3 = 12 und q(12) = 1 + 2 = 3. Für die iterierte Quersumme qs(k,t), wobei t die Basis des Zahlensystems minus 1 ist, gilt: qs(k,t) = 0, wenn k = 0; qs(k,t) = t, wenn k mod t = 0 und k ≠ 0; sonst qs(k,t) = k mod t. Im Dezimalsystem ist t = 9. Für 4582 erhält man über 4 + 5 + 8 + 2 = 19, dann 1 + 9 = 10, dann 1 die iterierte Quersumme 1; zugleich ist 4582 mod 9 = 1. Eine positive natürliche Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre iterierte Quersumme im Dezimalsystem 9 ist.
Die alternierende Quersumme, auch Querdifferenz, Paarquersumme oder Wechselsumme genannt, erhält man, indem man Ziffern abwechselnd subtrahiert und addiert. Man kann links oder rechts beginnen; im Artikel wird von rechts begonnen. Für n = 36036 ist aqs(n) = 6 - 3 + 0 - 6 + 3 = 0. Gleichwertig kann man die Ziffern an ungeraden Positionen von rechts addieren, die Ziffern an geraden Positionen von rechts addieren und die zweite Summe von der ersten abziehen.
Im Dezimalsystem dient die alternierende Quersumme als Teilbarkeitskriterium für 11: Eine Zahl n ist genau dann durch 11 teilbar, wenn ihre alternierende Quersumme aqs(n) durch 11 teilbar ist. Wiederholte Anwendung liefert den Rest bei Division durch 11; negative Werte werden durch Addition von 11 normalisiert. Für n = 2536874 ergibt sich 4 + 8 + 3 + 2 = 17 und 7 + 6 + 5 = 18, also 17 - 18 = -1; mit -1 + 11 = 10 bleibt bei Division durch 11 der Rest 10.
k-Quersummen
Bei k-Quersummen werden nicht einzelne Ziffern, sondern Gruppen aus k Ziffern betrachtet. Die nichtalternierende 2er-Quersumme erhält man, indem man von rechts beginnend jeweils zwei Ziffern als Block addiert. Für n = 36036 ist sie q = 36 + 60 + (0)3 = 99. Sie ist ein Teilbarkeitskriterium für alle Teiler von 99, also für 3, 9, 11, 33 und 99. Allgemein ist die nichtalternierende k-Quersumme identisch mit der nichtalternierenden Quersumme zur Basis 10^k und liefert ein Teilbarkeitskriterium für alle Teiler von 10^k - 1.
Die nichtalternierende 3er-Quersumme von 36036 ist q = 036 + (0)36 = 72. Sie ist ein Teilbarkeitskriterium für alle Teiler von 999, also für 3, 9, 27, 37, 111, 333 und 999.
Bei der alternierenden k-Quersumme werden die k-stelligen Blöcke abwechselnd addiert und subtrahiert. Die alternierende 2er-Quersumme von 36036 ist q = 36 - 60 + (0)3 = -21 und liefert ein Teilbarkeitskriterium für 101. Die alternierende 3er-Quersumme von 36036 ist q = 036 - (0)36 = 0. Sie ist ein Teilbarkeitskriterium für alle Teiler von 1001, also für 7, 11, 13, 77, 91, 143 und 1001. Allgemein ist die alternierende k-Quersumme identisch mit der alternierenden Quersumme zur Basis 10^k und liefert ein Teilbarkeitskriterium für alle Teiler von 10^k + 1.
