Lageparameter (deskriptive Statistik)

Grundidee und Definition

Lageparameter oder Lagemaße sind Kennzahlen der deskriptiven Statistik. Sie beschreiben die zentrale Tendenz eines Datensatzes, also insbesondere, wo sich das Zentrum der Beobachtungswerte befindet oder in welchem Bereich ein großer Teil der Werte liegt. Beispiele sind das mittlere oder durchschnittliche Einkommen bei einer Einkommenserhebung.

Ausgangspunkt ist ein Datensatz x = (x₁, …, xₙ) ∈ ℝⁿ aus reellwertigen Beobachtungswerten. Die Werte können Messwerte, Stichprobenwerte oder Beobachtungswerte einer gesamten Grundgesamtheit sein.

Manche Autoren verlangen für einen Lageparameter L: ℝⁿ → ℝ die Verschiebungsäquivarianz. Wird jeder Beobachtungswert um a verschoben, also y = (x₁ + a, x₂ + a, …, xₙ + a), soll gelten: L(y) = a + L(x). Eine Verschiebung der Daten führt dann zu derselben Verschiebung des Lageparameters. Nicht alle Kennzahlen, die üblicherweise als Lageparameter bezeichnet werden, erfüllen diese Bedingung. Daher werden Lageparameter meist allgemeiner als Kennzahlen beschrieben, die die zentrale Tendenz eines Datensatzes ausdrücken.

Modus, Median und arithmetisches Mittel

Der Modus oder Modalwert D ist der Wert, der am häufigsten vorkommt. Treten mehrere Werte gleich häufig und am häufigsten auf, sind sie alle Modi; die Häufigkeitsverteilung ist dann multimodal. Der Modus kann bereits bei nominalskalierten Daten bestimmt werden, für die lediglich gleiche oder verschiedene Kategorien unterschieden werden.

Der Median, bezeichnet mit x̃, x̃₀,₅ oder xₘₑd, teilt die Beobachtungswerte in zwei Hälften: Eine Hälfte ist höchstens so groß wie der Median, die andere mindestens so groß. Dazu werden die Werte der Größe nach geordnet. Der geordnete Datensatz lautet (x₍₁₎, x₍₂₎, …, x₍ₙ₎), wobei x₍ₖ₎ der k-größte Beobachtungswert ist. Für ungerades n gilt x̃ = x₍(n+1)/2₎. Für gerades n ist x̃ = ½(x₍n/2₎ + x₍n/2+1₎).

Das arithmetische Mittel, auch empirischer Mittelwert oder kurz Mittelwert genannt, ist die Summe aller Merkmalswerte geteilt durch ihre Anzahl: x̄ = (1/n) ∑ᵢ₌₁ⁿ xᵢ.

Wenn nur m verschiedene Werte a₁, …, aₘ mit ihren absoluten Häufigkeiten F₁, …, Fₘ vorliegen, kann man berechnen: x̄ = (1/n) ∑ⱼ₌₁ᵐ aⱼFⱼ. Mit den relativen Häufigkeiten fⱼ = Fⱼ/n gilt auch x̄ = ∑ⱼ₌₁ᵐ aⱼfⱼ. Dabei ist n die Gesamtzahl der Beobachtungswerte.

Beispiel zur Berechnung

Für den Datensatz x = (10, 1, 3, 1, 9, 8, 9) ergeben sich folgende Lageparameter:

• Die Werte 10, 3 und 8 kommen jeweils einmal vor; 1 und 9 kommen jeweils zweimal vor. Daher gibt es zwei Modi: D₁ = 1 und D₂ = 9.

• Nach dem Sortieren erhält man s = (1, 1, 3, 8, 9, 9, 10). Da n = 7 ungerade ist, ist der Median der vierte Wert: x̃ = x₍(7+1)/2₎ = x₍₄₎ = 8.

• Das arithmetische Mittel beträgt x̄ = (1/7)(10 + 1 + 3 + 1 + 9 + 8 + 9) = 41/7 ≈ 5,9.

Die verschiedenen Werte (10, 1, 3, 9, 8) besitzen die absoluten Häufigkeiten (1, 2, 1, 2, 1) und die relativen Häufigkeiten (1/7, 2/7, 1/7, 2/7, 1/7). Mit absoluten Häufigkeiten ergibt sich x̄ = (1/7)(1·10 + 2·1 + 1·3 + 2·9 + 1·8); mit relativen Häufigkeiten ergibt sich x̄ = (1/7)·10 + (2/7)·1 + (1/7)·3 + (2/7)·9 + (1/7)·8.

Existenz, Eindeutigkeit und Robustheit

Der Modus existiert stets, auch wenn die Beobachtungswerte nicht numerisch sind. Bei (Zebra, Elefant, Giraffe, Zebra) ist Zebra der Modus. Ein Median ist für solche Daten nicht sinnvoll, weil keine klar definierte Ordnung besteht. Ein arithmetisches Mittel ist ebenfalls nicht definiert, weil beispielsweise unklar ist, was „Zebra + Giraffe“ bedeuten soll.

Ist eine Ordnungsstruktur vorhanden, kann der Median bestimmt werden. Das Vorhandensein einer Größer-kleiner-Relation reicht jedoch im Allgemeinen nicht aus, um ein arithmetisches Mittel zu bilden, da dafür zusätzlich eine sinnvolle Addition erforderlich ist.

Der Modus ist im Allgemeinen nicht eindeutig, wie das Beispiel mit den beiden Modi 1 und 9 zeigt. Der Median ist eindeutig; in der Literatur gibt es jedoch leicht unterschiedliche Definitionen, die aus verschiedenen pragmatischen Überlegungen stammen. Je nach verwendeter Definition kann der Median deshalb unterschiedliche Werte annehmen.

Der Median ist gegenüber einzelnen starken Ausreißern robuster als das arithmetische Mittel. Für den Datensatz (10, 1, 3, 1, 9, 8, 9) gelten xₘₑd = 8 und x̄ = 41/7 ≈ 5,9. Wird nur ein Wert von 9 zu 1000 geändert, also x′ = (10, 1, 3, 1, 9, 8, 1000), bleibt der Median x′ₘₑd = 8. Das arithmetische Mittel steigt dagegen auf x̄′ = 1032/7 ≈ 147. Der Ausreißer verändert somit das arithmetische Mittel stark, den Median aber nicht.

Weitere Lageparameter

Die Bereichsmitte ist das arithmetische Mittel aus dem kleinsten und dem größten Beobachtungswert.

Ein p-Quantil ist diejenige Zahl, sodass ein Anteil p beziehungsweise p·100 % der Beobachtungswerte kleiner als das p-Quantil und ein Anteil 1 − p beziehungsweise (1 − p)·100 % größer ist. Der Median ist genau das 1/2-Quantil. Spezielle Quantile tragen eigene Namen, darunter Terzile, Quartile, Quintile, Dezile und Perzentile.

Beim getrimmten Mittelwert werden ein bestimmter Anteil der größten und der kleinsten Werte aus dem Datensatz entfernt. Das arithmetische Mittel der verbleibenden Werte ist der getrimmte Mittelwert.

Das geometrische Mittel gehört im weiteren Sinn zu den Lageparametern. Für positive Beobachtungswerte x₁, …, xₙ ist es die n-te Wurzel aus ihrem Produkt: x_geom = ⁿ√(x₁ · x₂ · … · xₙ).

Das harmonische Mittel ist definiert durch x_harm = n / (1/x₁ + … + 1/xₙ).

Weitere Lagemaße sind das winsorisierte Mittel und das Lehmann-Hodges-Mittel.