Minor (Lineare Algebra)

Minor und Kofaktor

Ein Minor oder eine Unterdeterminante ist die Determinante einer quadratischen Untermatrix. Diese entsteht aus einer Matrix, indem eine oder mehrere Zeilen und Spalten gestrichen werden. Die Ordnung des Minors entspricht der Anzahl der Zeilen beziehungsweise Spalten der verbleibenden Untermatrix.

Für eine quadratische n×n-Matrix A = (aᵢⱼ) sind die Kofaktoren (auch Cofaktoren) definiert durch

ãᵢⱼ = (−1)ⁱ⁺ʲ · Mᵢⱼ.

Dabei ist Mᵢⱼ der Minor (n−1)-ter Ordnung: Man streicht die i-te Zeile und die j-te Spalte und bildet die Determinante der verbleibenden Untermatrix. Das Vorzeichen wechselt also abhängig von i+j.

Alternativ kann man die i-te Zeile und die j-te Spalte durch Nullen ersetzen und den Eintrag an der Stelle (i,j) durch 1. Die Determinante dieser so veränderten Matrix ist ebenfalls der Kofaktor ãᵢⱼ.

Aus allen Kofaktoren lässt sich die Kofaktormatrix oder Komatrix cof(A) bilden. Ihre Transponierte heißt Adjunkte beziehungsweise komplementäre Matrix. Mit der Adjunkten kann die Inverse einer Matrix berechnet werden. Außerdem verwendet der Laplace’sche Entwicklungssatz Kofaktoren zur Berechnung einer Determinante.

Berechnung eines Kofaktors

Für die Matrix

A = ((1, 4, 7), (3, 0, 5), (−1, 9, 11))

soll der Minor M₂,₃ und der Kofaktor ã₂,₃ bestimmt werden. Dazu streicht man die zweite Zeile und die dritte Spalte. Es bleibt

A₂,₃ = ((1, 4), (−1, 9)).

Damit ergibt sich

M₂,₃ = det((1, 4; −1, 9)) = 9 + 4 = 13.

Der Kofaktor lautet

ã₂,₃ = (−1)²⁺³ · M₂,₃ = −13.

Mit der alternativen Darstellung erhält man denselben Wert als Determinante:

det((1, 4, 0; 0, 0, 1; −1, 9, 0)) = −13.

Kofaktormatrix, Kreuzprodukt und Anwendungen

Für zwei Vektoren a⃗ und b⃗ gilt bei einer durch A transformierten Darstellung:

(Aa⃗) × (Ab⃗) = cof(A)(a⃗ × b⃗).

Das Kreuzprodukt der transformierten Vektoren kann somit mithilfe der Kofaktormatrix aus der ursprünglichen Situation bestimmt werden. Die Beziehung folgt aus dem Spatprodukt mit einem dritten transformierten Vektor Ac⃗. Einerseits gilt

(Ac⃗) · [(Aa⃗) × (Ab⃗)] = det(Ac⃗, Aa⃗, Ab⃗).

Andererseits ist dies gleich

|A| · c⃗ · (a⃗ × b⃗),

weil die Determinante einer Matrixmultiplikation den Faktor |A| = det(A) liefert. Mit der Einheitsmatrix E und der Identität

Aᵀ cof(A) = |A|E

folgt nach Umformung

(Ac⃗) · [(Aa⃗) × (Ab⃗) − cof(A)(a⃗ × b⃗)] = 0.

Da diese Gleichung für alle Vektoren c⃗ gilt, folgt die angegebene Kreuzproduktformel.

Eigenschaften der Kofaktormatrix

Die Kofaktormatrix ist die transponierte Matrix zur Adjunkten und besitzt damit verwandte Eigenschaften. Für alle Matrizen aus Kⁿˣⁿ gelten insbesondere:

• cof(E) = E für die Einheitsmatrix E.
• cof(0) = 0 für n > 1. Bei einer 1×1-Matrix A = [a₁₁] gilt dagegen stets cof([a₁₁]) = [1], auch wenn die Matrix die Nullmatrix ist.
• cof(AB) = cof(A) · cof(B).
• cof(Aᵀ) = cof(A)ᵀ.
• Aᵀ · cof(A) = cof(A) · Aᵀ = det(A) · E.
• Für λ ∈ K gilt cof(λA) = λⁿ⁻¹ cof(A).
• det(cof(A)) = (det A)ⁿ⁻¹.
• cof(cof(A)) = (det A)ⁿ⁻² A. Für 2×2-Matrizen vereinfacht sich dies zu cof(cof(A)) = A.

Für invertierbare Matrizen gilt zusätzlich die Cramersche Regel:

cof(A) = det(A)A⁻ᵀ ⇔ A⁻¹ = 1/det(A) · (cof(A))ᵀ.

Dabei bedeutet A⁻ᵀ = (A⁻¹)ᵀ = (Aᵀ)⁻¹. Durch Invertieren erhält man außerdem

(cof(A))⁻¹ = 1/det(A) · Aᵀ = cof(A⁻¹).

Für K = R oder K = C ist die Fréchet-Ableitung der Determinante det : Kⁿˣⁿ → K an der Stelle A gegeben durch

D(det A)H = spur(cof(A)ᵀH) = ∑ᵢ,ⱼ₌₁ⁿ cof(A)ᵢⱼ hᵢⱼ.

Hier bezeichnet spur(A) = ∑ᵢ₌₁ⁿ aᵢᵢ die Spur, also die Summe der Diagonaleinträge einer Matrix.

Hauptminoren und führende Hauptminoren

Hauptminoren entstehen, wenn Zeilen und Spalten mit denselben Nummern gestrichen werden. Ein Hauptminor k-ter Ordnung ist die Determinante der verbleibenden k×k-Untermatrix. Bleiben genau die ersten k Zeilen und Spalten erhalten, heißt der Minor führender Hauptminor k-ter Ordnung. Diese werden auch natürlich geordnete Hauptminoren genannt. Im Deutschen sind außerdem die Bezeichnungen Hauptabschnittsdeterminante sowie, verkürzt, Hauptminor gebräuchlich.

Bei einer 3×3-Matrix gibt es drei Hauptminoren zweiter Ordnung: Man streicht jeweils gleichzeitig die i-te Zeile und i-te Spalte für i = 1, 2, 3. Durch das Streichen jeweils zweier Zeilen und der gleich nummerierten Spalten entstehen drei Hauptminoren erster Ordnung. Je mehr Zeilen und Spalten gestrichen werden, desto kleiner ist die Ordnung.

Hauptminoren sind insbesondere für das Hauptminorenkriterium wichtig. Dieses dient zur Feststellung der Definitheit symmetrischer beziehungsweise hermitescher Matrizen.

Beispiel zu führenden Hauptminoren

Für

A = ((1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9))

entstehen durch sukzessives Kürzen vom Ende her die Untermatrizen

A₁ = (1), A₂ = ((1, 2), (4, 5)), A₃ = ((1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9)).

Ihre Determinanten sind die führenden Hauptminoren:

• 1. Ordnung: det(A₁) = 1.
• 2. Ordnung: det(A₂) = |1 2; 4 5| = −3.
• 3. Ordnung: det(A₃) = |1 2 3; 4 5 6; 7 8 9| = 0.

Der Hauptminor 3. Ordnung ist eindeutig zugleich führend, da er der Determinante der gesamten Matrix entspricht. Zusätzlich gibt es bei dieser Matrix vier weitere wichtige Hauptminoren: die Hauptminoren 1. Ordnung det(a₂₂) = 5 und det(a₃₃) = 9 sowie die Hauptminoren 2. Ordnung

det((1, 3; 7, 9)) = −12

und

det((5, 6; 8, 9)) = −3.