Inverse Matrix

Grundidee und Definition

Die inverse Matrix (auch reziproke Matrix oder Kehrmatrix) zu einer quadratischen Matrix A ist eine ebenfalls quadratische Matrix A⁻¹, für die bei der Matrizenmultiplikation die Einheitsmatrix I entsteht:

A · A⁻¹ = A⁻¹ · A = I.

Nur reguläre, also invertierbare, Matrizen besitzen eine Inverse. Eine reguläre Matrix beschreibt eine bijektive lineare Abbildung; ihre Inverse beschreibt die Umkehrabbildung. Für A ∈ Rⁿˣⁿ, wobei R ein unitärer Ring ist, gilt diese Definition. Ist R ein kommutativer Ring, ein Körper oder ein Schiefkörper, sind Rechts- und Linksinverse gleichwertig: Eine rechtsinverse Matrix ist dann auch linksinvers und umgekehrt.

Die regulären Matrizen fester Größe bilden mit der Matrizenmultiplikation die allgemeine lineare Gruppe GL(n,R). Die Einheitsmatrix ist darin das neutrale Element, A⁻¹ das inverse Element zu A.

Wichtige Rechenregeln und besondere Fälle

Die Inverse einer regulären Matrix ist eindeutig. Es gilt:

• I⁻¹ = I
• (A⁻¹)⁻¹ = A
• (A · B)⁻¹ = B⁻¹ · A⁻¹
• (A₁ · A₂ · … · Aₖ)⁻¹ = Aₖ⁻¹ · … · A₂⁻¹ · A₁⁻¹
• (Aᵏ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵏ = A⁻ᵏ

Die umgekehrte Reihenfolge beim Invertieren eines Produkts ist wichtig, weil Matrizenmultiplikation im Allgemeinen nicht kommutativ ist. Für einen von null verschiedenen Skalar c gilt (cA)⁻¹ = c⁻¹A⁻¹. Außerdem gelten

(Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ und (Aᴴ)⁻¹ = (A⁻¹)ᴴ.

Für eine reguläre n×n-Matrix ist rang(A⁻¹) = rang(A) = n und det(A⁻¹) = (det A)⁻¹. Ist λ ein Eigenwert von A zum Eigenvektor x, dann ist λ⁻¹ ein Eigenwert von A⁻¹ zum selben Eigenvektor.

Bei einer Diagonalmatrix diag(d₁,…,dₙ) mit d₁,…,dₙ ≠ 0 erhält man die Inverse besonders einfach durch Kehrwerte auf der Diagonale: diag(d₁⁻¹,…,dₙ⁻¹). Unter der Inversion bleiben unter anderem Dreiecksmatrizen, positiv oder negativ definite Matrizen, symmetrische Matrizen sowie unimodulare und ganzzahlige unimodulare Matrizen in ihrer jeweiligen Klasse.

Berechnung mit Gauß-Jordan

Die j-te Spalte âⱼ der Inversen ist die Lösung des linearen Gleichungssystems

A · âⱼ = eⱼ,

wobei eⱼ der j-te Einheitsvektor ist. Daher setzt sich A⁻¹ spaltenweise aus den Lösungen von n Gleichungssystemen zusammen:

A⁻¹ = (â₁ | â₂ | … | âₙ).

Beim Gauß-Jordan-Algorithmus löst man diese Systeme gleichzeitig. Dazu erweitert man A um die Einheitsmatrix und formt die Zeilen elementar um:

(A | I) → (I | A⁻¹).

Zunächst wird die linke Seite auf obere Dreiecksgestalt gebracht. A ist genau dann invertierbar, wenn dabei keine Null auf der Hauptdiagonalen entsteht. Anschließend werden die Einträge oberhalb der Diagonale eliminiert und die Diagonaleinträge auf 1 normiert. Die rechte Seite ist dann die gesuchte Inverse.

Beispiel: Für A = ((1,2),(2,3)) ergibt der Algorithmus

A⁻¹ = ((-3,2),(2,-1)).

Die Korrektheit beruht darauf, dass die Zeilenumformungen einer Multiplikation mit Elementarmatrizen N₁,…,Nₘ entsprechen. Wenn I = Nₘ · … · N₁ · A gilt, folgt A⁻¹ = Nₘ · … · N₁ · I. Die Laufzeit für eine n×n-Matrix beträgt O(n³).

Explizite und weitere Berechnungswege

Über die Adjunkte lässt sich die Inverse explizit angeben:

A⁻¹ = 1/det(A) · adj A.

Dabei ist Aᵢⱼ die Untermatrix, die durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte entsteht. det Aᵢⱼ heißt Minor, (-1)ⁱ⁺ʲ · det Aᵢⱼ heißt Kofaktor. Die Kofaktoren bilden die Kofaktormatrix; ihre Transponierte ist die Adjunkte adj A. Die Formel gilt, sofern det A invertierbar ist.

Für eine 2×2-Matrix lautet sie:

((a,b),(c,d))⁻¹ = 1/(ad-bc) · ((d,-b),(-c,a)).

Für größere Matrizen werden solche Formeln schnell aufwändig. Eine weitere Formel nutzt das charakteristische Polynom χ_A(t) = α₀ + α₁t + … + αₙtⁿ. A ist genau dann regulär, wenn α₀ ≠ 0; dabei ist α₀ = det(A). Nach dem Satz von Cayley-Hamilton gilt:

A⁻¹ = -1/det(A) · (α₁Iₙ + α₂A + … + αₙAⁿ⁻¹).

Bei Blockmatrizen können Inversen mithilfe von Schur-Komplementen berechnet werden. Für M = ((A,B),(C,D)) ist beispielsweise M/A = D - CA⁻¹B. Sind A und M/A regulär, ist auch M regulär. Die blockweise Inversion einer k×k-Blockmatrix mit b×b-Blöcken hat die Laufzeit O(k² · b³ · 4ᵏ), gegenüber O(n³) = O(k³ · b³) beim Gauß-Jordan-Algorithmus.

In der Numerik löst man Ax = b normalerweise nicht über x = A⁻¹b: Das wäre aufwändiger und weniger stabil als spezielle Verfahren für lineare Gleichungssysteme. Für sehr große Matrizen können Näherungen verwendet werden, etwa die bei Konvergenz gültige Neumann-Reihe A⁻¹ = Σₖ₌₀^∞(I-A)ᵏ. Auch für Bandmatrizen und Toeplitz-Matrizen gibt es eigene effiziente Verfahren.

Bedeutung und Anwendungen

Inverse Matrizen kennzeichnen wichtige Matrixklassen: Bei einer selbstinversen Matrix gilt A⁻¹ = A, bei einer orthogonalen Matrix A⁻¹ = Aᵀ und bei einer unitären Matrix A⁻¹ = Aᴴ.

Für bijektive lineare Abbildungen f: V → W zwischen n-dimensionalen Vektorräumen gilt f⁻¹ ∘ f = f ∘ f⁻¹ = id. Wählt man Basen von V und W, dann ist die Matrix der Umkehrabbildung die Inverse der Abbildungsmatrix:

A_f⁻¹ = A_{f⁻¹}.

Auch bei dualen Basen tritt die Inverse auf. Besteht die Basismatrix A_v aus den Koordinatenvektoren einer Basis, dann ist die duale Matrix A_{v*} = A_v⁻¹. Die duale Basis ist durch vᵢ*(vⱼ) = δᵢⱼ charakterisiert, wobei δᵢⱼ das Kronecker-Delta ist.

Weitere Anwendungen liegen bei Ähnlichkeit und Äquivalenz von Matrizen, bei Normalformen wie Jordan- und Frobenius-Normalform, bei Matrixzerlegungen wie der Singulärwertzerlegung sowie bei der Berechnung der Kondition regulärer Matrizen.