Symmetrische Funktion

Grundidee und Definition

Eine symmetrische Funktion ist eine Funktion mehrerer Variablen, bei der man die Variablen vertauschen kann, ohne dass sich der Funktionswert ändert. Das bedeutet: Die Reihenfolge der Eingaben spielt für das Ergebnis keine Rolle. Wichtige Spezialfälle sind symmetrische Multilinearformen und symmetrische Polynome. Das Gegenstück dazu sind antisymmetrische Funktionen. In der Quantenmechanik werden Bosonen dadurch beschrieben, dass ihre Wellenfunktion symmetrisch bezüglich des Austauschs der Teilchenpositionen ist.

Formal gilt: Sind X und Y zwei Mengen, dann heißt eine multivariate Funktion f: X^n → Y symmetrisch, wenn für alle Permutationen σ ∈ S_n der symmetrischen Gruppe S_n und alle Elemente x_1, …, x_n ∈ X gilt:

f(x_1, …, x_n) = f(x_{σ(1)}, …, x_{σ(n)}).

Eine Permutation ist dabei eine Umordnung der Variablen. Die symmetrische Gruppe S_n ist die Menge aller Permutationen von n Elementen. In der Praxis sind X und Y meist Vektorräume über den reellen oder komplexen Zahlen.

Abzählbar viele Argumente

Die Definition kann auf Funktionen mit abzählbar vielen Argumenten erweitert werden. Eine Funktion f: X^N → Y heißt n-symmetrisch, wenn sie in den ersten n Argumenten symmetrisch ist. Das heißt: Für alle Permutationen σ ∈ S_n und alle Elemente x_i ∈ X gilt

f(x_1, …, x_n, x_{n+1}, …) = f(x_{σ(1)}, …, x_{σ(n)}, x_{n+1}, …).

Eine Funktion f: X^N → Y heißt symmetrisch, wenn sie n-symmetrisch für alle n ∈ N ist. Dann kann also jede endliche Anfangsgruppe ihrer Argumente beliebig vertauscht werden, ohne den Funktionswert zu ändern.

Beispiele

Einfache Beispiele sind Summe und Produkt zweier Variablen:

f(x_1, x_2) = x_1 + x_2 bzw. f(x_1, x_2) = x_1 · x_2.

Beide Funktionen sind symmetrisch, weil sich das Ergebnis nicht ändert, wenn x_1 und x_2 vertauscht werden.

Ein Beispiel für eine symmetrische Funktion dreier Variablen ist die Diskriminante

f(x_1, x_2, x_3) = (x_1 − x_2)^2 (x_1 − x_3)^2 (x_2 − x_3)^2.

Auch hier bleibt der Funktionswert gleich, wenn man die Variablen umordnet, weil alle paarweisen Differenzen quadratisch auftreten.

Eine symmetrische Funktion muss keine Polynomfunktion sein. Ein Beispiel ist

f(x_1, x_2, x_3) = max{|x_1 − x_2|, |x_1 − x_3|, |x_2 − x_3|}.

Allgemeiner ist jede konstante Funktion symmetrisch. Eine kommutative zweistellige Verknüpfung ist eine symmetrische Funktion ihrer beiden Operanden. Auch der Mittelwert einer Menge gegebener Werte ist symmetrisch, weil die Reihenfolge der Werte keine Rolle spielt. Eine symmetrische multilineare Abbildung ist symmetrisch und zusätzlich linear in jedem Argument. Ein symmetrisches Polynom ist eine symmetrische Polynomfunktion.

Kriterien zum Nachweis

Um zu zeigen, dass eine Funktion symmetrisch ist, muss man nicht alle n! möglichen Permutationen aus S_n einzeln überprüfen. Es genügen bestimmte Vertauschungen, weil sich jede Permutation aus einfacheren Vertauschungen zusammensetzen lässt.

Da jede Permutation als Hintereinanderausführung von Transpositionen der Form (i j) geschrieben werden kann, ist eine Funktion genau dann symmetrisch, wenn sich der Funktionswert durch die Vertauschung zweier beliebiger Variablen x_i und x_j nicht verändert:

f(…, x_i, …, x_j, …) = f(…, x_j, …, x_i, …)

für i, j ∈ {1, …, n} mit i < j.

Es reicht sogar, nur benachbarte Variablen zu betrachten. Weil sich jede Transposition aus Nachbarvertauschungen der Form (i i+1) zusammensetzen lässt, genügt für i = 1, …, n−1 die Bedingung

f(…, x_i, x_{i+1}, …) = f(…, x_{i+1}, x_i, …).

Eine weitere Möglichkeit ist, eine feste Variable mit allen anderen zu vertauschen. Zum Beispiel ist eine Funktion genau dann symmetrisch, wenn die erste Variable mit der i-ten Variablen vertauscht werden kann, ohne dass sich der Funktionswert ändert:

f(x_1, …, x_i, …) = f(x_i, …, x_1, …)

für i = 2, …, n. Statt der ersten Variablen kann auch eine beliebige andere feste Variable gewählt werden.

Minimalkriterium

Ein besonders knappes Kriterium verwendet ein minimales Erzeugendensystem der symmetrischen Gruppe S_n. Dieses besteht aus den beiden Permutationen (1 2 … n) und (1 2). Daher ist eine Funktion bereits genau dann symmetrisch, wenn die beiden Bedingungen

f(x_1, x_2, …, x_n) = f(x_2, …, x_n, x_1)

und

f(x_1, x_2, …, x_n) = f(x_2, x_1, …, x_n)

erfüllt sind. Die erste Bedingung verschiebt die Variablen zyklisch, die zweite vertauscht die ersten beiden Variablen. Das Paar (1 2 … n) und (1 2) kann auch durch einen beliebigen Zyklus der Länge n sowie irgendeine Transposition aufeinanderfolgender Elemente in diesem Zyklus ersetzt werden.

Eigenschaften und Symmetrisierung

Die symmetrischen Funktionen bilden einen Untervektorraum im Vektorraum aller Funktionen von X^n nach Y, wenn Addition und Skalarmultiplikation komponentenweise definiert sind. Das heißt: Ein skalares Vielfaches einer symmetrischen Funktion ist wieder symmetrisch, und die Summe zweier symmetrischer Funktionen ist ebenfalls symmetrisch. Die Nullfunktion ist trivialerweise symmetrisch.

Durch Symmetrisierung kann man jeder nicht symmetrischen Funktion f eine zugehörige symmetrische Funktion Sf zuordnen. Dazu bildet man den Mittelwert über alle möglichen Permutationen:

Sf(x_1, …, x_n) = 1/n! · Σ_{σ ∈ S_n} f(x_{σ(1)}, …, x_{σ(n)}).

Der Symmetrisierungsoperator S führt dabei eine Projektion auf den Untervektorraum der symmetrischen Funktionen durch. Anschaulich bedeutet das: Man berechnet die Funktion für alle möglichen Umordnungen der Argumente und mittelt diese Werte. Das Ergebnis ist symmetrisch, weil keine bestimmte Reihenfolge der Variablen bevorzugt wird.