Residuensatz

Kernidee und Bedeutung

Der Residuensatz ist ein zentraler Satz der Funktionentheorie. Er verallgemeinert den cauchyschen Integralsatz und die cauchysche Integralformel. Seine besondere Bedeutung besteht darin, dass sich viele komplexe Kurvenintegrale und auch reelle Integrale über unendliche Intervalle auf die Berechnung einzelner Residuen und Umlaufzahlen zurückführen lassen.

Betrachtet wird eine Funktion, die überall holomorph ist, außer an isolierten Singularitäten. Eine isolierte Singularität ist ein einzelner Ausnahme-Punkt, der keine Häufungspunkte innerhalb des betrachteten Gebiets besitzt. Für eine geschlossene Kurve muss dann nicht das gesamte Kurvenintegral direkt berechnet werden. Entscheidend sind nur die Residuen der Singularitäten im Innern beziehungsweise diejenigen, um die die Kurve eine von null verschiedene Umlaufzahl besitzt.

Der Satz

Sei D ⊆ ℂ ein Elementargebiet, also ein einfach zusammenhängendes Gebiet in der komplexen Zahlenebene. Sei f eine bis auf eine Ausnahmemenge D_f isoliert liegender Singularitäten in D definierte holomorphe Funktion. Weiter seien I ein reelles Intervall und Γ: I → D \ D_f ein geschlossener Weg. Dann gilt für das komplexe Wegintegral:

(1/(2πi)) ∫Γ f = Σ{a∈D_f} ind_Γ(a) Res_a f.

Dabei bezeichnet ind_Γ(a) die Umlaufzahl von Γ bezüglich a und Res_a f das Residuum von f in a. Die Umlaufzahl beschreibt, wie oft und in welcher Orientierung die Kurve den Punkt a umläuft. Damit wird das Wegintegral vollständig durch die Singularitäten, ihre Residuen und die Umlaufzahlen bestimmt.

Wichtige Folgerungen

Die Summe im Residuensatz ist stets endlich. Das von Γ umschlossene Gebiet Int Γ liegt relativ kompakt in D und ist daher beschränkt. Da D_f in D keine Häufungspunkte besitzt, enthält Int Γ nur endlich viele Singularitäten. Für alle übrigen Punkte ist entweder die Umlaufzahl oder das Residuum null.

Sind die Ausnahme-Punkte hebbare Singularitäten, so verschwinden die dortigen Residuen. Der Residuensatz liefert dann den Integralsatz von Cauchy:

∫_Γ f = 0.

Ist f auf D holomorph und z ∈ D, so hat die Funktion ζ ↦ f(ζ)/(ζ−z) in z einen Pol erster Ordnung mit Residuum f(z). Daraus folgt die cauchsche Integralformel:

(1/(2πi)) ∫_Γ f(ζ)/(ζ−z) dζ = ind_Γ(z) f(z).

Eine weitere wichtige Anwendung zählt Null- und Polstellen. Sei f ≢ 0 auf D meromorph, mit Nullstellenmenge N und Polstellenmenge P, und liege die Spur von Γ nicht in N ∪ P. Dann gilt:

(1/(2πi)) ∫Γ f′/f = Σ{a∈N∪P} ind_Γ(a) ord_a f.

Die Ordnung ord_a f ist k bei einer Nullstelle k-ter Ordnung, −k bei einer Polstelle k-ter Ordnung und 0 in allen anderen Fällen. Wegen der Residuenregel für die logarithmische Ableitung gilt außerdem ord_a f = Res_a(f′(z)/f(z)). Nullstellen werden somit positiv, Polstellen negativ gezählt.

Reelle Integrale mit rationalen Funktionen

Der Residuensatz ermöglicht die Berechnung reeller Integrale mit unendlichen Integrationsgrenzen. Dazu wird die reelle Integrationsstrecke durch eine geschlossene Kurve in der komplexen Ebene ergänzt. Der zusätzliche Kurvenabschnitt wird so gewählt, dass sein Integral beim Grenzübergang verschwindet.

Für f = p/q, wobei p und q Polynome sind, deg p + 2 ≤ deg q gilt und q(z) ≠ 0 für alle z ∈ ℝ, erhält man mit der oberen Halbebene ℍ = {z ∈ ℂ: Im z > 0}:

∫{−∞}^{∞} f(z) dz = 2πi Σ{a∈ℍ} Res_a f(z).

Man integriert zunächst über einen geschlossenen Halbkreis mit Durchmesser [−R,R]. Für große |z| gilt |p(z)/q(z)| ≤ c/|z|². Da die Länge des Halbkreisbogens πR beträgt, ist sein Integral höchstens πR · c/R² und geht für R → ∞ gegen null.

Beispiel: Für f(z) = 1/(z²+1) liegen Pole erster Ordnung bei i und −i. Das Residuum in i ist Res_i f(z) = 1/(2i). Daher folgt

∫_{−∞}^{∞} 1/(z²+1) dz = 2πi · 1/(2i) = π.

Weitere Anwendungen

Bei rationalen Funktionen mit Exponentialfunktion seien P und Q Polynome mit deg(P)+1 ≤ deg(Q). Q habe keine reellen Nullstellen und die Nullstellen a₁,…,a_k in der oberen komplexen Halbebene. Für jedes α > 0 gilt mit f(z) = P(z)/Q(z) · exp(iαz):

∫{−∞}^{∞} P(x)/Q(x) · exp(iαx) dx = 2πi Σ{i=1}^k Res_{a_i} f(z).

Hier wird statt eines Halbkreises ein Rechteck der Höhe √r verwendet. Die Integrale über die vertikalen Seiten sind höchstens C/√r. Auf der oberen Seite gilt |exp(iαz)| = exp(−α√r), sodass auch dieser Beitrag verschwindet. Als Beispiel ergibt sich

∫_{−∞}^{∞} x exp(2ix)/(x²+1) dx = iπ exp(−2).

Für λ ∈ ℝ⁺ \ ℤ gilt unter den Bedingungen deg Q > deg P + λ, dass Q keine Nullstellen in ℝ⁺ besitzt und P/Q keine Nullstelle in 0 hat:

∫₀^∞ x^{λ−1} P(x)/Q(x) dx = [π/sin(λπ)] Σ_{p∈ℂ\ℝ⁺} Res_p [(-z)^{λ−1} P(z)/Q(z)].

Für f(x) = x^{3/2−1}/(x²+1) ist λ = 3/2; die Pole liegen bei ±i. Daraus folgt ∫₀^∞ √x/(1+x²) dx = π/√2.

Trigonometrische Integrale rationaler Funktionen r(cos t, sin t) werden mit z = e^{it} auf ein Integral über den Rand ∂ℰ der Einheitskreisscheibe ℰ = {z ∈ ℂ: |z|<1} zurückgeführt. Dabei werden cos t durch (z+1/z)/2, sin t durch (z−1/z)/(2i) und dt durch dz/(iz) ersetzt. Die Umlaufzahl der Einheitskreislinie im Innern beträgt 1. Für 0 ≤ t ≤ 2π gilt daher die entsprechende Summe der Residuen im Einheitskreis. Beispiel:

∫₀^{2π} dt/(2+sin t) = 2π/√3.

Auch Fourier-Integrale können so berechnet werden. Ist f ∈ C∞(ℝ) ∩ L¹(ℝ), holomorph bis auf Punkte a₁,…,a_k in der oberen Halbebene und gilt |f(z)| ≤ C|z|^{−1−δ} für große |z| mit C, δ > 0, dann gilt für x > 0:

∫{−∞}^{∞} f(y)e^{ixy}dy = 2πi Σ{a∈ℍ} Res_a(f(z)e^{ixz}).

Die Formel gilt entsprechend auch für x < 0. Das Verschwinden des oberen Kurvenanteils folgt mit dem Lemma von Jordan.

Verallgemeinerung auf Riemannsche Flächen

Der Residuensatz lässt sich auf kompakte riemannsche Flächen verallgemeinern. Für eine meromorphe 1-Form auf einer solchen Fläche ist die Summe aller Residuen gleich null. Als Folgerung ergibt sich der zweite Satz von Liouville über elliptische Funktionen.