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Matrixpotenz

Negative Exponenten. Bearbeiten. Für invertierbare Matrizen sind auch Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten definiert. Die Schreibweise A − 1 …

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Inhalt5 Abschnitte
  1. 1. Grundidee und Definition
  2. 2. Potenzgesetze
  3. 3. Negative und gebrochene Exponenten
  4. 4. Effiziente Berechnung
  5. 5. Anwendungen

Grundidee und Definition

Eine Matrixpotenz ist in der linearen Algebra das Ergebnis einer wiederholten Multiplikation derselben Matrix. Sie ist für eine quadratische Matrix A ∈ R^{n×n} über einem Halbring R analog zu den Potenzen gewöhnlicher Zahlen definiert. Quadratisch bedeutet dabei, dass die Matrix gleich viele Zeilen wie Spalten besitzt.

Es gilt A^0 = E, wobei E die Einheitsmatrix ist, A^1 = A, A^2 = A · A und A^3 = A · A · A. Allgemein ist A^n das Produkt von n Faktoren A. Formal lautet die rekursive Definition: A^0 = E und für alle k ∈ ℕ = {0, 1, 2, …} gilt A^{k+1} = A^k · A.

Potenzgesetze

Für natürliche Zahlen n und m gelten die bekannten Potenzgesetze auch für Matrixpotenzen:

  • A^{n+m} = A^n · A^m.
  • A^{n·m} = (A^n)^m.

Diese Regeln beruhen darauf, dass stets dieselbe Matrix A miteinander multipliziert wird.

Negative und gebrochene Exponenten

Für eine invertierbare Matrix, also eine Matrix mit inverser Matrix A^{-1}, sind auch negative ganzzahlige Exponenten möglich. Für n ∈ ℕ wird definiert: A^{-n} = (A^{-1})^n. Insbesondere kann A^{-1} als Matrixpotenz mit Exponent −1 verstanden werden.

Nicht ganzzahlige Exponenten, etwa eine Quadratwurzel einer Matrix, lassen sich nur in Sonderfällen definieren. Ist A diagonalisierbar, gibt es also eine reguläre Matrix T und eine Diagonalmatrix D mit A = T · D · T^{-1}; dann gilt A^n = T · D^n · T^{-1}. Die Diagonalmatrix D wird potenziert, indem ihre Diagonalelemente potenziert werden. Diese Elemente sind zugleich die Eigenwerte von A. Sind alle diese Eigenwerte positiv, gelten die Potenzgesetze auch für gebrochene Exponenten.

Ist eine Matrix nicht diagonalisierbar, kann eine Verallgemeinerung über die binomische Reihe verwendet werden. Eine schnelle Berechnung dieser Verallgemeinerung ist über die Jordansche Normalform möglich: Bei einer Jordanzerlegung A = T · J · T^{-1} gilt A^n = T · J^n · T^{-1}.

Effiziente Berechnung

Bei ganzzahligem Exponenten kann A^n effizient durch binäre Exponentiation berechnet werden. Für nichtnegative Exponenten müssen die Matrixelemente in einem Ring liegen. Bei negativen Exponenten müssen sie in einem Körper liegen, damit inverse Matrizen gebildet werden können.

Ist der Zahlenbereich der Matrixelemente algebraisch abgeschlossen, sodass beliebige algebraische Gleichungen darin lösbar sind, können auch rationale Exponenten verwendet werden. Die Berechnung lässt sich dann mithilfe der Jordanschen Normalform von A auf Potenzen skalarer Werte zurückführen.

Anwendungen

Mit Matrixpotenzen können Polynome für Matrizen definiert werden; ein Beispiel ist das Minimalpolynom. Auch Potenzreihen für Matrizen sind möglich. Wichtige Beispiele sind der Matrixlogarithmus, das Matrixexponential und die Neumann-Reihe.

In der Graphentheorie kann das Finden kürzester Wege auf Matrixpotenzen zurückgeführt werden. Dazu verwendet man für den Halbring R die erweiterten reellen Zahlen ℝ* = ℝ^+ ∪ {∞}. Die Addition in R entspricht der Minimumbildung, die Multiplikation entspricht der gewöhnlichen Addition; dabei gilt x + ∞ = ∞ + x = ∞. Die absorbierende Null ist ∞, das Einselement wird durch 0 dargestellt. Ist K ∈ R^{n×n} die Kostenmatrix eines Graphen mit n Knoten, so ist D = Σ_{k=0}^{n} K^k die Entfernungsmatrix der kürzesten Pfadlängen. Weil die Addition in R idempotent ist, gilt D = (1 + K)^n.

Weitere Anwendungen liegen in der Analyse langfristiger Populationsentwicklungen in theoretischer Ökonomie und Biologie, beispielsweise mit einer Leslie-Matrix, sowie bei der Stereobasisverbreiterung.

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