Jordansche Normalform

Grundidee und Aufbau

Die jordansche Normalform ist eine standardisierte Darstellung einer Matrix bis auf Ähnlichkeit. Sie macht sichtbar, welche Eigenwerte eine Matrix besitzt und wie stark die zugehörigen Eigenvektoren zu Jordanketten erweitert werden müssen. Eine Matrix ist genau dann trigonalisierbar, wenn ihr charakteristisches Polynom vollständig in Linearfaktoren zerfällt. Über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ist dies immer der Fall.

Für eine komplexe n×n-Matrix A gibt es eine invertierbare Matrix Q mit J = Q⁻¹AQ beziehungsweise A = QJQ⁻¹.

J ist eine Blockdiagonalmatrix aus Jordanblöcken J₁, …, Jₖ. Ein Jordanblock zum Eigenwert λ hat die Form

Jⱼ = [[λ, 1, 0, …, 0], [0, λ, 1, …, 0], …, [0, …, 0, λ, 1], [0, …, 0, 0, λ]].

Die λⱼ sind die Eigenwerte von A. Zu jedem Eigenwert gibt es so viele Jordanblöcke wie seine geometrische Vielfachheit, also die Dimension seines Eigenraums. Die Summe der Größen dieser Blöcke ist seine algebraische Vielfachheit, also seine Vielfachheit im charakteristischen Polynom.

In einem Block sind Hauptvektoren v₁, …, vₙ zu einer Jordankette angeordnet. Für einen Block zum Eigenwert λ gilt (A − λE)v₁ = 0 und (A − λE)vₗ = vₗ₋₁ für l = 2, …, n. Daher gilt Av₁ = λv₁ sowie Avₗ = vₗ₋₁ + λvₗ. Bezüglich dieser Basis besitzt A genau die angegebene Jordanblockform. Alternativ können die Einsen auf der unteren Nebendiagonalen stehen. Ist A diagonalisierbar, bestehen alle Blöcke aus einer einzigen Zeile und Spalte; die jordansche Normalform ist dann eine Diagonalmatrix.

Bestimmung der komplexen Normalform

Zur Bestimmung der komplexen jordanschen Normalform einer Matrix A ∈ ℂⁿˣⁿ geht man schrittweise vor.

Zuerst berechnet man das charakteristische Polynom χ_A = det(λEₙ − A). Seine paarweise verschiedenen Nullstellen λ₁, …, λₖ sind die Eigenwerte. Sie werden dabei nicht entsprechend ihrer Vielfachheit wiederholt aufgeführt.

Für jeden Eigenwert λⱼ bestimmt man anschließend

aⱼ,ₛ = dim Kern(A − λⱼEₙ)ˢ, s ∈ ℕ₀.

Dabei ist stets aⱼ,₀ = 0, und aⱼ,₁ ist die geometrische Vielfachheit. Die Kerndimensionen können über den Rang und den Dimensionssatz berechnet werden, wobei der Rang etwa mit dem gaußschen Algorithmus bestimmt wird. Die Folge aⱼ,ₛ wächst monoton und wird spätestens bei der algebraischen Vielfachheit stationär.

Die Anzahl der Jordanblöcke der Größe s zum Eigenwert λⱼ ist (aⱼ,ₛ − aⱼ,ₛ₋₁) − (aⱼ,ₛ₊₁ − aⱼ,ₛ).

Außerdem ist aⱼ,₁ die Gesamtzahl der Jordanblöcke zu λⱼ. Kennt man für jeden Eigenwert die Blockgrößen, setzt man die Blöcke zu J zusammen. Die Normalform ist bis auf die Reihenfolge der Jordanblöcke eindeutig bestimmt.

Das Minimalpolynom von A lautet g = ∏ⱼ₌₁ᵏ (X − λⱼ)ᵐⱼ,

wobei mⱼ die Größe des größten Jordanblocks zum Eigenwert λⱼ ist. Haben alle Blöcke Größe 1, ist A diagonalisierbar. Für nicht trigonalisierbare Matrizen übernimmt die rationale oder Frobenius-Normalform die Rolle eines standardisierten Repräsentanten.

Transformationsmatrix und Vorgehen

Die Transformationsmatrix Q beziehungsweise P besteht spaltenweise aus den Eigenvektoren und Hauptvektoren, geordnet nach den Jordanblöcken:

Q = (v₁,₁ | … | v₁,ₛ₁ | … | vₖ,₁ | … | vₖ,ₛₖ).

Dann gilt Q⁻¹AQ = J. Die Matrix ist nicht eindeutig, weil bei der Wahl bestimmter Hauptvektoren ein Spielraum besteht.

Ein Standardverfahren arbeitet die Blöcke nacheinander ab. Bei mehreren Blöcken zum selben Eigenwert beginnt man mit dem größten Block. Für einen Block der Größe s zum Eigenwert λ wählt man zunächst

vˢ ∈ Kern(A − λI)ˢ \ Span(Kern(A − λI)ˢ⁻¹ ∪ M),

wobei M die bereits verwendeten Basisvektoren der Stufe s aus früher bearbeiteten Blöcken zum selben Eigenwert enthält. Danach sind die übrigen Vektoren festgelegt durch vʲ = (A − λI)vʲ⁺¹ für j = s − 1, …, 1.

Für s = 1 ist v¹ direkt ein Eigenvektor. Nach der Bearbeitung aller Blöcke sind die Spalten von P eine Basis, P ist regulär und P⁻¹AP = J. Bei der Variante mit Einsen auf der unteren Nebendiagonalen muss nur die Reihenfolge der Basisvektoren innerhalb jedes Blocks umgekehrt werden.

Beispiele zur komplexen Form

Für die im Artikel angegebene Matrix A ∈ ℂ⁵ˣ⁵ lautet das charakteristische Polynom χ_A = (X − 3)⁵.

Es gibt also nur den Eigenwert 3. Mit B = A − 3E₅ gilt Rang(B) = 2. Daher ist a₁ = 5 − 2 = 3.

Da B² die Nullmatrix ist, gilt Rang(B²) = 0 und damit a₂ = 5. Die Folge ist danach stationär. Somit gibt es drei Jordanblöcke. Die Formel für die Blockzahlen liefert

(a₁ − a₀) − (a₂ − a₁) = 3 − 2 = 1

Block der Größe 1 sowie

(a₂ − a₁) − (a₃ − a₂) = 2 − 0 = 2

Blöcke der Größe 2. Die Normalform ist daher

J = [[3,1,0,0,0], [0,3,0,0,0], [0,0,3,1,0], [0,0,0,3,0], [0,0,0,0,3]].

Das Minimalpolynom ist (X − 3)².

Für eine passende Basistransformation wählt man zunächst für den ersten Block der Größe 2 beispielsweise v² = (1,0,0,0,0)ᵀ. Daraus folgt v¹ = (A − 3I)v² = (22,13,−18,−9,11)ᵀ.

Für den zweiten Block wählt man beispielsweise w² = (0,1,0,0,0)ᵀ und erhält w¹ = (A − 3I)w² = (−16,−10,12,6,−8)ᵀ.

Für den letzten Block der Größe 1 kann man x¹ = (2,0,0,1,0)ᵀ wählen. Die daraus gebildete Matrix P ist regulär und erfüllt P⁻¹AP = J.

Nilpotente, reelle und allgemeine Formen

Eine nilpotente Matrix besitzt ausschließlich den Eigenwert 0. Ihre Jordanblöcke haben daher Nullen auf der Hauptdiagonalen. Jede nilpotente n×n-Matrix ist ähnlich zu genau einer Blockdiagonalmatrix aus Blöcken Nₚ der Größe p, wobei p₁ + p₂ + … + pₖ = n und p₁ ≥ p₂ ≥ … ≥ pₖ. Die Partitionsfunktion P(n) gibt die Anzahl der Äquivalenzklassen nilpotenter n×n-Matrizen an. In den Potenzen eines Jordanblocks rücken die Einsen schrittweise von der Hauptdiagonalen weg. Deshalb ist der Nilpotenzgrad höchstens n.

Jede trigonalisierbare Matrix besitzt außerdem eine additive Zerlegung J = D + N mit DN = ND. D ist die Diagonalmatrix mit den Eigenwerten auf der Hauptdiagonalen, N entsteht aus J, indem man diese Diagonale durch Nullen ersetzt. Damit wird die Normalform in einen diagonalisierbaren und einen nilpotenten Anteil zerlegt.

Bei reellen Matrizen zerfällt das charakteristische Polynom im Allgemeinen nicht vollständig in lineare Faktoren. Über ℝ sind die irreduziblen Faktoren jedoch linear oder quadratisch. Ein quadratischer Faktor hat die Form (λ − aⱼ)² + bⱼ² mit bⱼ > 0.

Der zugehörige reelle Jordanblock enthält wiederholte 2×2-Blöcke [[aⱼ,bⱼ], [−bⱼ,aⱼ]] sowie Einsen an den entsprechenden Stellen der Nebendiagonalen. Für reelle Eigenwerte bestimmt man die Räume Kⱼ,ₘ = Kernℝ(A − λⱼE)ᵐ. Die Zahl dim Kⱼ,ₘ − dim Kⱼ,ₘ₋₁ gibt die Anzahl der Blöcke zum Eigenwert λⱼ mit Größe mindestens m an. Für einen quadratischen Faktor verwendet man Kʲ,ₘ = Kernℝ(((A − aⱼE)² + bⱼ²E)ᵐ). Dann ist ½(dim Kʲ,ₘ − dim Kʲ,ₘ₋₁) die Anzahl der Blöcke zum Faktor mit Größe mindestens 2m. Die Summe der Blockgrößen beträgt bei einem reellen Eigenwert μⱼ und bei einem quadratischen Faktor 2νⱼ.

Über allgemeinen Körpern wird die entsprechende Normalform häufig Weierstraß- oder Frobenius-Normalform genannt. Sie charakterisiert ähnliche Matrizen über die Elementarteiler ihrer charakteristischen Matrizen; außerdem sind Minimalpolynom und charakteristisches Polynom aus der Darstellung ablesbar.

Matrixfunktionen und Differentialgleichungen

Eine skalare Funktion f kann mithilfe der jordanschen Normalform auf Matrizen erweitert werden: f(A) = Q f(J) Q⁻¹.

Besonders wichtig ist die Matrixexponentialfunktion exp(B) = eᴮ = ∑ₖ₌₀∞ (1/k!)Bᵏ. Für einen Jordanblock der Größe n gilt

exp(tJ) = eᵗλ [[1, t/1!, t²/2!, …, tⁿ⁻¹/(n−1)!], [0,1,t/1!, …, tⁿ⁻²/(n−2)!], …, [0,…,0,1,t/1!], [0,…,0,0,1]].

Für eine Blockdiagonalmatrix J = diag(J₁, …, Jₘ) ist exp(tJ) = diag(exp(tJ₁), …, exp(tJₘ)). Kennt man A = PJP⁻¹, folgt exp(tA) = P exp(tJ) P⁻¹.

Damit lassen sich lineare Differentialgleichungssysteme erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten lösen. Für y′ = A·y + g(x), mit A ∈ ℂⁿˣⁿ und stetigem g: ℝ → ℂⁿ, lautet die eindeutige Lösung zum Anfangswert y(x₀) = y₀:

y(x) = e^(x−x₀)A y₀ + ∫ₓ₀ˣ e^(x−t)A g(t) dt.

Durch die Jordanform kann e^(tA) explizit berechnet werden. Im homogenen Fall g = 0 entfällt das Integral vollständig.