Binomische Reihe

Definition und Grundform

Die binomische Reihe oder Binomialreihe ist eine Potenzreihe zur Funktion f(x)=(1+x)^α mit Entwicklungspunkt x₀=0. Dabei kann α eine komplexe Zahl sein (α∈ℂ). Sie lautet

∑_{k=0}^{∞} (α über k) x^k = 1+αx + α(α−1)/2 · x² + α(α−1)(α−2)/(2·3) · x³ + α(α−1)(α−2)(α−3)/(2·3·4) · x⁴ + …

Die Zahlen (α über k) sind die verallgemeinerten Binomialkoeffizienten der Analysis. Die Reihe entsteht als formale Taylorentwicklung von (1+x)^α.

Konvergenz nach dem Exponenten

Das Konvergenzverhalten hängt vom Exponenten α und vom Wert x ab.

Ist α eine natürliche Zahl, so gilt (α über k)=0 für alle k>α. Die Reihe bricht daher nach dem Glied mit k=α ab und ist ein endliches Polynom. Für jedes x gilt dann der binomische Lehrsatz:

∑_{k=0}^{α} (α über k) x^k = (x+1)^α.

Für α∈ℂ\ℕ handelt es sich dagegen um eine echte, also unendliche Reihe. Sie konvergiert für alle x mit |x|<1 gegen die entwickelte Funktion:

∑_{k=0}^{∞} (α über k) x^k = (1+x)^α.

Verallgemeinerte Form

Für a>0 kann die Reihe erweitert werden zu

∑_{k=0}^{∞} (α über k) x^k a^{α−k}.

Sie konvergiert für |x/a|<1 und entspricht dann der Funktion f(x)=(a+x)^α. Das folgt aus der Umformung a+x=a(1+x/a) und der Anwendung der ursprünglichen binomischen Reihe auf x/a.

Wichtige Spezialfälle und Entwicklung

Für α=−1 ergibt sich die alternierende Reihe

1/(1+x)=∑_{k=0}^{∞}(−1)^k x^k=1−x+x²−x³+x⁴−x⁵±… .

Ersetzt man x durch −x, erhält man die geometrische Reihe:

1/(1−x)=∑_{k=0}^{∞}x^k=1+x+x²+x³+x⁴+x⁵+… .

Für α=1/2 entsteht die Reihenentwicklung der Quadratwurzel:

√(1+x)=1+1/2·x−1/(2·4)·x²+ (1·3)/(2·4·6)·x³−(1·3·5)/(2·4·6·8)·x⁴±… .

Eng damit verbunden ist für α=−1/2:

1/√(1−x)=1+1/2·x+(1·3)/(2·4)·x²+(1·3·5)/(2·4·6)·x³+(1·3·5·7)/(2·4·6·8)·x⁴+… .

Historisch wurde die Formel für positive ganze Exponenten vermutlich bereits Omar Chayyām (1048–1131) zugeschrieben; möglicherweise war sie auch Zhu Shijie (1260–1320) bekannt. Isaac Newton dehnte sie 1669 auf rationale Exponenten aus, ohne einen Beweis oder eine Untersuchung des Konvergenzbereichs zu liefern. Niels Henrik Abel untersuchte sie 1826 für komplexe α und x und bewies den Konvergenzradius 1 für α∈ℂ\ℕ₀.